第2章 2.1 第1课时 不等关系与不等式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [对应学生用书P24] 学习目标 1.理解不等式的概念，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．初步学会作差法比较两实数的大小． 知识点一　用不等式(组)表示不等关系 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如： 在数学中，我们怎么样来表示这些不等关系？ 1．不等关系：不等关系用不等式来表示． 2．不等式：用不等号(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫做不等式． (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. [例1] 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝(15－)(m). 因此菜园面积S＝x·(15－)，依题意有S≥110， 即x(15－)≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤 (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量； (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)； (3)列不等式(组).挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件). [练1](2024·柳州高一检测)某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的和高于200分且低于240分，用不等式组表示为(　　) A． B． C． D． D　解析：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的和高于200分且低于240分表示为200<y＋z<240，即 [练2]京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 解：设复兴号列车速度为v1，民航飞机的最低时速为v2，普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，v1，v3的关系：v1＞3v3. 知识点二　实数a，b的大小比较 你能说出上图中数轴上实数a，b的大小关系吗？ 由“基本事实”可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． [例2] 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. [变式探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 作差法比较两个实数大小的基本步骤 [练3](2024·杭州高一期中)设M＝2a2－4a＋7，N＝a2－5a＋6，则有(　　) A．M<N B．M≤N C．M>N D．M≥N C　解析：因为M－N＝a2＋a＋1＝＋>0， 所以M>N，故选C. 知识点三　重要不等式 如图是由在北京召开第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 重要不等式 　一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． [练4]不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立． [练5]已知a>0，求证：a＋≥2. 证明：方法一　利用a2＋b2≥2ab. ∵a>0，∴a＋＝()2＋()2≥2·＝2.当且仅当＝，即a＝1时，等号成立． 方法二　∵a＋－2＝()2＋()2－2＝(－)2≥0，∴a＋≥2. 1．知识清单 (1)用不等式(组)表示不等关系； (2)作差法比较大小； (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法． 3．常见误区：实际问题中变量的实际意义． ◎随堂演练 1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　 　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C　解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 2．已知x＝a2－2a＋3，y＝2a－2，则(　　) A．x<y B．x＝y C．x>y D．x与y的大小无法判断 C　解析：因为x＝a2－2a＋3，y＝2a－2，所以x－y＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，故x>y. 3．(2024·菏泽高一上学期期中)“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180 m2的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为________m2. 答案：90　解析：设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x>0，y>0，依题意≤，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤90， 故改造前的窗户面积最大为90 m2. 4．若实数a>b，则a2－ab_______ba－b2.(填“>”或“<”) 答案：>　解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0. 学科网（北京）股份有限公司 $$