第1章 1.3 第2课时 全集、补集及综合运用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　全集、补集及综合运用 [对应学生用书P10] 学习目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 2．在给定情境中，了解全集的含义． 3．能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算． 知识点一　全集 根据方程(x－3)(x2－2)＝0在不同范围内的解集，完成下面的问题： 该方程在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________． 全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 通常记作U “全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体问题加以选择的． 知识点二　补集 观察下面三个集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8} ，完成下面的问题. 1．集合A，B，U有什么关系？ 2．B中元素与U和A有何关系？ 1．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 2．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). (1)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． [例1] (1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． (2)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________________________________________________________________________. 答案：(1){x|x<－3或x＝5}　(2){2，3，5，7} 解析：(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． (2)方法一　A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， ∴B＝{2，3，5，7}． 方法二　借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． 求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解； (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集； (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [练1](2024·山西大学附中高一期中)已知全集U＝{0，4，8，10，12}，集合A＝{4，8，12}，则∁UA＝(　　) A．{0，4，8} B．{0，10} C.{0，4，8，10} D．{0，4，8，10，12} B　解析：全集U＝{0，4，8，10，12}，集合A＝{4，8，12}，则∁UA＝{0，. [练2](2024·石家庄一中高一月考)已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝________． 答案：{x|－3<x≤－2或1<x<3}　解析：因为全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}， 所以∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}． 综合应用：集合中的混合运算 角度1　交集、并集、补集的简单综合 [例2] 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}． 又P＝， 所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝， 所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}． [变式探究1] 在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP). 解：画出数轴，如图所示． 观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝. [变式探究2] 将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB). 解：画出数轴，如图所示． 观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x<2或3<x≤5}． 求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，然后再计算其他，如求(∁RA)∩B时，可先求出∁RA，再求交集． [练3](2024·绍兴一中高一期中)已知全集U＝R，N＝{x|－3<x<0}，M＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0} C.{x|－1≤x<0} D．{x|x<－3} C　解析：由题中图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩(∁UM)，∵M＝{x|x<－1}，∴∁UM＝{x|x≥－1}，∴N∩(∁UM)＝{x|－1≤x<0}． [练4](2024·漳州一中高一期中)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{0，1，2}，则(∁RA)∩B＝(　　) A.{0，1，2} B．{1，2} C.{0，1} D．{2} B　解析：∵A＝{x|－1<x<1}， ∴∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，又B＝{0，1，2}， ∴(∁RA)∩B＝{1，2}． 角度2　利用集合间的关系求参数 [例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x＜－m}， 因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是m≥2. 由集合的补集求解参数的方法 (1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)若集合中元素个数无限时，一般利用数轴分析法求解． [练5]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊆∁UP，求实数a的取值范围． 解：∁UP＝{x|x<－2或x>1}，因为M⊆(∁UP)，所以分M＝∅，M≠∅两种情况讨论． ①当M＝∅时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5； ②当M≠∅时，如图所示， 所以或所以a≤－或≤a<5.综上，实数a的取值范围是a≤－或a≥. 1．知识清单 (1)全集与补集及性质； (2)混合运算； (3)利用集合间的关系求参． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区 (1)利用数轴时，忽视特殊点的实虚． (2)解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况． ◎随堂演练 1．设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA等于(　　) A.{1，3} B．{1，3，5} C.{0，1，3} D．{0，1，3，5} C　解析：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{2，4}，∴∁UA＝{0，1，3}． 2．已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是(　　) A.－1 B．1 C．3 D．±1 A　解析：∵∁UA＝{－1}，∴A＝{1，3}， ∴解得a＝－1. 3．(2024·梅州高一期中)已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}．如图，则阴影部分所表示的集合的元素共有(　　) A.3个 B．2个 C.1个 D．无穷多个 B　解析：由题意得M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}， ∴M∩N＝{x|－1≤x≤3且x＝2k－1，k∈N*}＝{1，3}， ∴M∩N有2个元素，且阴影部分为M∩N， ∴阴影部分所表示的集合的元素共有2个． 4．设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩(∁UN)＝{2，4}，则N＝________． 答案：{1，3，5}　解析：由M∪N中的元素去掉M∩(∁UN)中的元素，可得N＝{1，3，5}． 5．(2024·福州高一联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}． (1)若m＝1，求A∪(∁UB)； (2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝1时，因为B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}， 所以∁UB＝{x|x≥1}， 所以A∪(∁UB)＝{x|x>－2}． (2)因为B＝{x|x<m}， 且A∩B＝A，所以A⊆B， 又因为A＝{x|－2<x<4}， 所以m≥4， 即实数m的取值范围是{m|m≥4}． 学科网（北京）股份有限公司 $$