第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

三角函数 5.2.2　同角三角函数的基本关系 第五章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点　同角三角函数的基本关系 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 证明 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 证明 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 随堂演练 A 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 C 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 A 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 1．计算下列式子的值． (1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 你能得出什么结论？ 2．设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sinα＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). 观察上述定义，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ sin2α＋cos2α＝1 tan α 同角三角函数的基本关系 1．文字语言：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于__，商等于角α的____． 2．符号语言：(1)___________________________； (2)当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝_________． 1 正切 (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意角”关系式都成立； (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立； (3)sin2α是(sinα)2的缩写，不能写成sin α2. 角度1　求值问题 [例1] 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． ∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， ∴sin α＝＝＝， tanα＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， ∴sin α＝－＝－＝－， tanα＝＝. 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． [练1]已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ B 因为α是第二象限角，所以cos α<0， 由tan α＝－，得＝－. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－. 角度2　化简问题 [例2] 化简： (1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； (2)＋(180°＜α＜270°). (1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. (2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0， 原式＝＋＝＋＝＝－. 三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [练2] 若<α<π，化简＋. 因为<α<π， 所以cosα＝－，sinα＝， 所以原式＝＋＝－＝－＝0. 角度3　证明问题 [例3] (2024·济宁高一检测)求证：＝. 左边＝＝＝＝＝右边，所以原等式成立． 证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． (2)原则：由繁到简，变异为同． [练3] 求证：＝. 左边＝＝＝＝＝＝＝右边， ∴原等式成立． 1．知识清单 (1)同角三角函数的基本关系； (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法． 3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论． 1.等于(　　) A．sin B．cos C．－sin D．－cos ∵0<<，∴sin >0， ∴＝＝sin. 2．(2024·海淀区高一联考)已知角α终边过点(m，2)，m≠0，且＝，则实数m＝(　　) A．2 B． C．3 D． 因为角α的终边过点(m，2)，m≠0， 所以tan α＝， 所以＝＝＝＝， 解得m＝3. 3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于(　　) A． B．－ C． D．－ 由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cosα＝或cos α＝－2(舍去). 4．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________． tan α＝＝. 5．若α是第四象限角，cos α＝，求sin α的值． 因为α是第四象限角，所以sin α＜0. 因为 所以sin α＝－. $$