第4章 4.5.1 函数的零点与方程的解（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

指数函数与对数函数 4．5　函数的应用(二) 4．5.1　函数的零点与方程的解 第四章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.结合图象，了解函数零点与方程解的联系． 2．结合连续函数及其图象特点，了解函数零点存在定理，会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数． 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点一　函数的零点与方程的解 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点三 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点三 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点三 B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 1．知识清单 (1)函数的零点定义； (2)函数的零点与方程的解的关系； (3)函数零点存在定理； (4)函数零点个数的判断． 2．方法归纳：定理法、方程法、数形结合法． 3．常见误区 (1)零点理解成点； (2)零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题． 知识点三 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 随堂演练 B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系． 1．概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． f(x)＝0 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系 (1)“零点”不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标； (2)求零点可转化为求对应方程的解； (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． [例1] (1)求函数f(x)＝－x2－4x－4的零点； (2)求函数f(x)＝的零点． (1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2. 所以函数的零点为－2. (2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. 函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [练1](2024·合肥高一检测)函数f(x)＝的零点是________． 1，－2 根据题意，函数f(x)＝ 若f(x)＝0，即或 解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2. 知识点二　函数零点存在定理 探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？ f(c)＝0 函数零点存在定理 　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有____________________．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 连续不断 f(a)f(b)＜0 (1)“在区间[a，b]上图象连续不断”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可； (2)f(a)f(b)<0是连续函数y＝f(x)在[a，b]上有零点的充分不必要条件； (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． [例2] (1)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(1，)和(3，4) D．(e，＋∞) B (2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间为(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) C (1)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴在(1，2)内f(x)无零点，排除A.又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2，3)内存在零点． (2)构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0，1)上． 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． [练2](2024·济南高一检测)函数f(x)＝3x＋3x－8的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，) C．(，3) D．(3，4) 因为函数y＝3x，y＝3x－8均为R上的增函数，故函数f(x)为R上的增函数． 因为函数f(x)在R上是连续的曲线，且f(1)＝－2＜0，f()＝3－＞0， 所以函数f(x)的零点所在的区间为(1，). 知识点三　判断函数零点的个数 [例3] 判断函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数． 方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(2)＝4＋lg 3－2>0， ∴f(x)在(0，2)上必定存在零点． 又f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数， 故f(x)有且只有一个零点． 方法二　在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图，如图所示． 由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点． 判断函数零点个数的三种方法 方法一：直接求出函数的零点进行判断； 方法二：结合函数图象进行判断； 方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示． [练3](2024·宁德高一检测)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表，则下列结论正确的是(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 10 8 －3 2 －7 －9 A.f(x)在(1，6)内恰有3个零点 B.f(x)在(1，6)内至少有3个零点 C.f(x)在(1，6)内最多有3个零点 D.f(x)在(1，6)内不可能有4个零点 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0， 根据函数零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)和(3，4)及(4，5)内各至少含有一个零点，故函数在区间(1，6)内的零点至少有3个，故选B. 1．(2024·滨海新区质检)设函数f(x)＝2x＋x3，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A.(－2，－1) B．(－1，0) C.(1，2) D．(2，3) 因为f(－2)＝－8<0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，所以f(－1)f(0)<0， 又因为函数f(x)＝2x＋x3是R上的增函数， 所以函数f(x)的零点所在区间是(－1，0)，故选B. 3 2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个． ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.所以函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有3个． 3．已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 152.613 26.782 －6.72 19.82 73.948 －198.604 函数y＝f(x)在哪几个区间内一定有零点？为什么？ 由对应值表可得，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(6)·f(5)<0， 由零点存在定理可知，f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(5，6)上有零点． $$