第4章 4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质(一)（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

指数函数与对数函数 4．4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质(一) 第四章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 学习目标 1．能用描点法画出具体函数的图象． 2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点　对数函数的图象和性质 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 1．知识清单 (1)对数函数的图象及性质； (2)利用对数函数的图象及性质比较大小； (3)利用单调性解对数不等式． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合法． 3．常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况． 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 随堂演练 A 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 (2，－1) 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝log5 730 P(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t. 上述问题中t是P的函数吗？为什么？ 对数函数的图象和性质 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 _______________ 值域 R 单调性 增函数 减函数 奇偶性 ____________ 定点 图象过定点__________，即x＝__时，y＝__ 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈____________；当x∈[1，＋∞)时，y∈____________ 当x∈(0，1)时，y∈____________；当x∈[1，＋∞)时，y∈____________ 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于____对称 (0，＋∞) 0 y＝logax(a>0，且a≠1) 值域 R 单调性 增函数 减函数 奇偶性 ____________ 定点 图象过定点__________，即x＝__时，y＝__ 非奇非偶函数 (1，0) 1 (－∞，0] x轴 y＝logax(a>0，且a≠1) 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈__________；当x∈[1，＋∞)时，y∈__________ 当x∈(0，1)时，y∈__________；当x∈[1，＋∞)时，y∈__________ 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于____对称 (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (1)函数图象只出现在y轴右侧； (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1，0)； (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴； (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴； (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． [例1] (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　) (2)已知f(x)＝loga|x|(a＞0且a≠1)，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． C (1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C. (2)因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [变式探究1] 把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) C ∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0， ∴图象只能在y轴的左侧，故排除A项，D项；当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，y＝a－x＝()x是减函数，故排除B项；当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，y＝a－x＝()x是增函数，∴C项满足条件，故选C. [变式探究2] 若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象． 利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图实线所示． 对数型函数图象问题的解题技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象所过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． B C D C [练1](2024·海淀区高一上学期期末)在同一个坐标系中，函数f(x)＝logax，g(x)＝a－x，h(x)＝xa的部分图象可能是(　　) A 因为f(x)＝logax，g(x)＝a－x在同一坐标系中， 所以f(x)，g(x)的单调性一定相反，且f(x)，g(x)的图象均不过原点，故排除A，D； 在B，C选项中，过原点的图象为幂函数h(x)＝xa的图象，由图象可知0<a<1，所以f(x)＝logax单调递减，g(x)＝a－x单调递增，故排除B，故选C. [练2] 若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________． －2，2 ∵函数的图象恒过定点(3，2)，∴将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2，由loga(3＋b)＝0，得3＋b＝1， ∴b＝－2，c＝2. 综合应用：对数函数性质的应用 角度1　比较大小问题 [例2] 比较下列各组数的大小． (1)log与log； (2)log3与log3； (3)loga2与loga3. (1)y＝logx在(0，＋∞)上单调递减， 又因为＜，所以log＞log. (2)方法一　log3－log3＝－＝. ∵y＝lg x是增函数， ∴lg <lg <0<lg 3. ∴log3－log3<0， ∴log3<log3. 方法二　因为当x∈(1，＋∞)时，y＝logx的图象在y＝logx图象的上方，所以log3＜log3. (3)当a＞1时，y＝logax在定义域上为增函数， 所以loga2＜loga3； 当0＜a＜1时，y＝logax在定义域上为减函数， 所以loga2＞loga3. 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． [提醒]比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． [练3](2024·邵阳高一期末)已知a＝log3，b＝log34，c＝log43，则(　　) A．a<c<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<c<a A 因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，且3>1，所以log3<log1＝0，即a<0； 因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3， 所以log34>log33＝1，即b>1； 因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，且1<3<4， 所以0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1. 所以a<c<b. [练4] 已知logm＜logn＜0，则(　　) A．n＜m＜1 B．m＜n＜1 C．1＜m＜n D．1＜n＜m D 因为0＜＜1，y＝logx在定义域上为减函数，logm＜logn＜0，所以m＞n＞1，故选D. 角度2　利用单调性解简单的对数不等式 [例3] (1)已知loga＞1，求a的取值范围； (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． (1)由loga＞1得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜，此时无解． ②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1. ∴a的取值范围是(，1). (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)得解得x＞1. ∴x的取值范围是(1，＋∞). 常见的对数不等式有三种类型 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． [练5](2024·济南高一检测)解下列方程与等式． (1)lg (x2＋4x－26)－lg (x－3)＝1； (2)log2x<log2(x2－3x). (1)由lg (x2＋4x－26)－lg (x－3)＝1， 得lg (x2＋4x－26)＝lg 10(x－3)， 所以x2＋4x－26＝10(x－3)，即x2－6x＋4＝0，解得x＝3±. 因为x2＋4x－26>0，且x－3>0，所以x＝3＋. (2)由log2x<log2(x2－3x)，得0<x<x2－3x， 解得x>4，所以不等式的解集为(4，＋∞). 1．若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a ∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c. D 2．不等式log(2x＋3)＜log(5x－6)的解集为(　　) A．(－∞，3) B．(－，3) C．(－，) D．(，3) 由题意可得解得<x<3. 3．已知f(x)＝loga(x－1)－1(a>0，且a≠1)，则恒过定点P的坐标为_____________． 令x－1＝1，得x＝2，当x＝2时，y＝loga1－1＝－1，所以定点坐标是P(2，－1). $$