第1章 1.5.1 全称量词与存在量词（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑 1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 第一章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.通过已知的数学实例，理解全称量词、存在量词的意义． 2．理解全称量词命题、存在量词命题的含义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点一　全称量词与全称量词命题 知识点一 观察下面表述： (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 上面表述是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点一 ∀ 全称量词 任意 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ [例1] 判断下列命题是否为全称量词命题并判断真假． (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有二次函数的图象的开口都向上． 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 判断全称量词命题的思路 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可． 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ [练1]判断下列全称量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数； (2)末位是零的整数，可以被5整除； (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. 知识点一 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点二　存在量词与存在量词命题 知识点二 观察下面表述： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 上面的表述内容是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 存在量词与存在量词命题 知识点二 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 [例2] 判断下列命题是否为存在量词命题并判断真假． (1)有的集合中不含有任何元素； (2)存在对角线不互相垂直的菱形； (3)有些整数只有两个正因数． 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 判断存在量词命题的思路 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立． 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 C 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 [变式探究] 将本例的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围． 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 1．知识清单 (1)全称量词命题、存在量词命题的概念； (2)含量词的命题的真假判断； (3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围． 2．方法归纳：定义法、转化法． 3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”． 知识点二 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 1．(2024·朝阳高一月考)下列结论中正确的个数是(　　) ①“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题； ③“∃x∈R，x2＋2x＋1<0”是真命题； ④“有一个偶数是质数”是真命题． A.0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 随堂演练 D 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 2．下列命题不是存在量词命题的是(　　) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D.存在x∈R，2x＋1是奇数 C 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个 符号表示 __ 全称量词命题 含有________的命题 形式 “对M中____一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” (1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．真命题． (2)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0，为真命题． (3)含有全称量词“所有”，是全称量词命题．对于任意二次函数，它的图象开口都向上，为假命题． (1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． (2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． (3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题． 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号表示 __ 存在量词命题 含有________的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“______________” (1)含有存在量词“有的”，是存在量词命题. 由于空集中不含有任何元素，因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． (2)含有存在量词“存在”，是存在量词命题．由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线互相不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． (3)含有存在量词“有些”，是存在量词命题. 由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． [练2]判断下列存在量词命题的真假． (1)有些二次方程只有一个实数根； (2)某些平行四边形是菱形； (3)存在实数x1，x2，当x1<x2时，x>x. (1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实数根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实数根”是真命题． (2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题． (3)当x1＝－2，x2＝1时，有x>x，故“存在实数x1，x2，当x1<x2时，x>x”为真命题． 综合应用：全称量词命题与存在量词命题的应用 [例3] 已知命题p：“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A.m<3 B．m>3 C.m≤3 D．m≥3 ∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立⇔Δ＝12－4m≥0，解得m≤3. 依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解， 所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1. 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决. 因为①“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①正确；因为②“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题，所以②正确；因为x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，所以③不正确；因为④“有一个偶数是质数”是真命题，如2，所以④正确．综上，正确的个数为3. “有的”“存在”属于存在量词，“任意”属于全称量词，所以不是存在量词命题的是选项C，故选C. 3．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根：_________________________________________； (2)存在一个有理数x，使得x2＝8：___________________． ∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根 ∃x∈Q，使得x2＝8 (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根可表示为∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根． (2)存在一个有理数x，使得x2＝8可表示为∃x∈Q，使得x2＝8. 4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. (1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． $$