第一章 集合 压轴题专练（单元培优 7类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第一章 集合 压轴题专练（题型清单） 题型一　集合的基本概念 例题：已知集合A＝{0,1,2},则集合B＝{x-y｜x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　) A.1　　　　　　B.3　　　　　　C.5　　　　　　D.9 巩固训练 1.若-3∈{x-2,2x2＋5x,12},则x＝　　　　.  2.设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为______． 题型二　集合间的关系 例题：设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，求a，b的值． 巩固训练 1.集合A＝{x｜x＝a2-4a＋5,a∈R},B＝{y｜y＝4b2＋4b＋3,b∈R},则下列关系正确的是(　　) A.A＝B　　B.B⫋A　　C.A⊆B　　D.B⊈A 2.已知集合A＝{x｜0＜x＜4},B＝{x｜x＜a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(　　) A.{a｜0＜a＜4}　　B.{a｜-8＜a＜4} C.{a｜a≥4}　　 D.{a｜a＞4} 题型三　集合的运算 例题：已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A⫋∁RB，求a的取值范围． 巩固训练 设集合M＝{x|－2<x≤5}，N＝{x|2－t≤x<3t＋1}． (1)若t＝2，求M∩(∁RN)； (2)若M∪(∁RN)＝R，求实数t的取值范围． 题型四　补集思想及其应用 例题：设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 巩固训练 已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 题型五　集合的实际应用 例题：某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有　　　　人.  巩固训练 向50名学生调查对A,B两件事的态度,有如下结果:赞成A的人是全体人数的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B都不赞成的学生比对A,B都赞成的学生数的多1人,问:对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 题型六　创新集合新定义 例题：若集合A具有以下性质： ①0∈A，1∈A； ②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”； ②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. 其中，正确说法的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 巩固训练 若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”.则(　　) A.{1，3，4}为“权集” B.{1，2，3，6}为“权集” C.“权集”中元素可以有0 D.“权集”中一定有元素1 题型七　创新集合新运算 例题：定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A⊗B的真子集个数为(　　) A.8 B.7 C.16 D.15 巩固训练 已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　) A.15 B.16 C.20 D.21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合 压轴题专练（题型清单） 题型一　集合的基本概念 例题：已知集合A＝{0,1,2},则集合B＝{x-y｜x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　) A.1　　　　　　B.3　　　　　　C.5　　　　　　D.9 解析　(1)①当x＝0时,y＝0,1,2,此时x-y的值分别为0,-1,-2;②当x＝1时,y＝0,1,2,此时x-y的值分别为1,0,-1;③当x＝2时,y＝0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0.综上可知,x-y的可能取值为-2,-1,0,1,2,共5个,故选C. 答案　C 【点睛】集合中元素的互异性在解题中的应用 (1)借助集合中元素的互异性寻找解题的突破口． (2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性． 巩固训练 1.若-3∈{x-2,2x2＋5x,12},则x＝　　　　.  解析　(2)由题意知,x-2＝-3或2x2＋5x＝-3. ①当x-2＝-3时,x＝-1. 把x＝-1代入,得集合的三个元素为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性; ②当2x2＋5x＝-3时,x＝-或x＝-1(舍去), 当x＝-时,集合的三个元素为-,-3,12,满足集合中元素的互异性,由①②知x＝-. 答案　- 2.设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为______． 解析　∵A∩B＝B， ∴B⊆A， ∴x2＝4或x2＝x， 解得x＝－2，或x＝0，或x＝1，或x＝2， 当x＝1时，A，B均不符合集合中元素的互异性， ∴x≠1，故x的可能取值组成的集合为{0,2，－2}． 答案　 {0,2，－2} 题型二　集合间的关系 例题：设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，求a，b的值． 解析　由B⊆A知，B中的所有元素都属于集合A，又B≠∅，故集合B有三种情形： B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}． 当B＝{－1}时， 故a＝－1，b＝1； 当B＝{1}时， 故a＝b＝1； 当B＝{－1,1}时， 故a＝0，b＝－1. 综上所述，a＝－1，b＝1，或a＝1，b＝1，或a＝0，b＝－1. 【点睛】求解集合间的基本关系问题的要点 (1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解． (2)在解含参数的不等式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答． 巩固训练 1.集合A＝{x｜x＝a2-4a＋5,a∈R},B＝{y｜y＝4b2＋4b＋3,b∈R},则下列关系正确的是(　　) A.A＝B　　B.B⫋A　　C.A⊆B　　D.B⊈A 解析　A＝{x｜x＝(a-2)2＋1,a∈R},即A中的元素x≥1;而B＝{y｜y＝(2b＋1)2＋2,b∈R},即B中的元素y≥2,∴B⫋A. 答案　C 2.已知集合A＝{x｜0＜x＜4},B＝{x｜x＜a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(　　) A.{a｜0＜a＜4}　　B.{a｜-8＜a＜4} C.{a｜a≥4}　　 D.{a｜a＞4} 解析　在数轴上标出A,B两集合如图所示, 结合数轴知,若A⊆B,则a≥4. 答案　C 题型三　集合的运算 例题：已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A⫋∁RB，求a的取值范围． 解　∵∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，且A⫋∁RB. ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，则有2a－2≥a，∴a≥2. ②若A≠∅，则有 ∴a≤1. 综上所述，a的取值范围是{a|a≤1，或a≥2}． 【点睛】集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法 (1)对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组)解出，利用数轴求解即可； (2)对于含有字母参数的，若字母参数的取值对不等式(组)的解有影响，要注意对字母参数分类讨论，再求解不等式(组)，然后利用数轴求解． 巩固训练 设集合M＝{x|－2<x≤5}，N＝{x|2－t≤x<3t＋1}． (1)若t＝2，求M∩(∁RN)； (2)若M∪(∁RN)＝R，求实数t的取值范围． 解　(1)当t＝2时，M＝{x|－2<x≤5}， N＝{x|0≤x<7}， ∴∁RN＝{x|x<0，或x≥7}， ∴M∩(∁RN)＝{x|－2<x<0}． (2)若M∪(∁RN)＝R，则N⊆M， 当2－t≥3t＋1，即t≤时，N＝∅，成立； 当2－t<3t＋1，即t>时， 令得<t≤. 故实数t的取值范围是. 题型四　补集思想及其应用 例题：设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 解　当A∩B＝∅时，如图所示， 则解得－1≤a≤1. 即A∩B＝∅时， 实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}． 而A∩B≠∅时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集， 故实数a的取值范围为{a|a＜－1，或a＞1}． 【点睛】 补集的性质A＝∁U(∁UA)为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路． 巩固训练 已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 解　若A∩B＝A，则A⊆B. 又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}， 所以解得2≤k≤3. 又k∈R，所以当A∩B≠A时， 实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}在R中的补集，即k的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)． 题型五　集合的实际应用 例题：某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有　　　　人.  解析　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.由全班共36名同学可得(26-6-x)＋6＋(15-4-6)＋4＋(13-4-x)＋x＝36,解得x＝8,即同时参加数学和化学小组的有8人. 答案　8 巩固训练 向50名学生调查对A,B两件事的态度,有如下结果:赞成A的人是全体人数的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B都不赞成的学生比对A,B都赞成的学生数的多1人,问:对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 解析　赞成A的人数为50×＝30,赞成B的人数为30＋3＝33.如图,记50名学生组成的集合为全集U,赞成事件A的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A,B都赞成的学生人数为x,则对A,B都不赞成的学生人数为＋1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x. 由已知,得(33-x)＋(30-x)＋x＋＋1＝50. 解得x＝21,＋1＝8. 即对A,B都赞成的学生有21人,都不赞成的学生有8人. 题型六　创新集合新定义 例题：若集合A具有以下性质： ①0∈A，1∈A； ②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”； ②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. 其中，正确说法的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B这与－2∈B矛盾；②有理数集Q是“好集”.因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 答案　C　 巩固训练 若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”.则(　　) A.{1，3，4}为“权集” B.{1，2，3，6}为“权集” C.“权集”中元素可以有0 D.“权集”中一定有元素1 解析　由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误. 答案　B 题型七　创新集合新运算 例题：定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A⊗B的真子集个数为(　　) A.8 B.7 C.16 D.15 解析　由题意A＝{，}，B＝{1，}，则A⊗B有(＋1)(－1)＝1，(＋)(－)＝0，(＋1)(－1)＝2，(＋)(－)＝1四种结果，由集合中元素互异性可知集合A⊗B中有3个元素，故集合A⊗B中的真子集个数为23－1＝7. 答案　B 巩固训练 已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　) A.15 B.16 C.20 D.21 解析　由题意A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3}，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}， 故当x1＝0时，x2＝1，3，此时x＝1，3； 当x1＝1时，x2＝1，3，此时x＝2，4； 当x1＝2时，x2＝1，3，此时x＝3，5； 当x1＝3时，x2＝1，3，此时x＝4，6. 由集合元素互异性可知 A*B＝{1，2，3，4，5，6}，故所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21. 答案　D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$