暑期成果验收卷（ 测试范围：一元二次方程、对称图形——圆）- 2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：一元二次方程、对称图形——圆 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题2分，满分20分） 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽·假期作业）一元二次方程，用配方法变形可得（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）某校美术作品展厅是一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的某点安装了一台监视器，它的监控角度是，为了确保监控无死角，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台数为（    ） A．7台 B．6台 C．5台 D．4台 5．（2024·江苏扬州·一模）2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（    ）的圆周率． A．祖冲之 B．赵爽 C．刘徽 D．朱世杰 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·江苏常州·一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在同一个圆上．若，则该圆的半径为（   ）    A．6 B．8 C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（2024·江苏苏州·二模）若是一元二次方程的实数根，则代数式 ． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，则它的外接圆的半径为 ． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是 ． 14．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 16．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 17．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，正五边形内接于，连接，则 ． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心，为半径作与边相切于点A，若，则的长等于 ． 三． 解答题：（本大题共9题，19-22题每题6分，23-25题每题8分，26-27题每题9分，满分64分） 19．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解方程：． 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，，是的半径，，点，分别是，的中点，与相等吗？为什么？ 21．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 22．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件．设销售单价增加元． (1)每天售出件数_______．（用含有的式子表示）； (2)若市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过元，那么当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润元？ 24．（19-20九年级上·江苏南京·期末）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图： (1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形； (2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形． 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置； (2)请在（1）的基础上，完成下列问题： ①的半径为______（结果保留根号）； ②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． (3)连接，请探究与的位置关系，并说明理由． 26．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 27．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在 ______填内、外、上； (4)如图，是的外接圆，，是上一点请你只用无刻度的直尺，分别画出图和图中的平分线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：一元二次方程、对称图形——圆 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题2分，满分20分） 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 2．（24-25九年级上·安徽·假期作业）一元二次方程，用配方法变形可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法将原方程变形即可． 【详解】解： 配方得：， 即， 故选：C 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，三角形的外接圆，圆的切线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故①错误； ②等腰三角形的外心不一定在三角形内，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③错误； ④圆的切线垂直于过切点的半径，故④错误； 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）某校美术作品展厅是一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的某点安装了一台监视器，它的监控角度是，为了确保监控无死角，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台数为（    ） A．7台 B．6台 C．5台 D．4台 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理．根据题意可知的弧对应的圆心角为，再利用一周为即可得到本题答案． 【详解】解：由题意知：的弧对应的圆心角为， ∴， ∴最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台数为4台， 故选：D． 5．（2024·江苏扬州·一模）2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（    ）的圆周率． A．祖冲之 B．赵爽 C．刘徽 D．朱世杰 【答案】A 【分析】本题考查运用所学知识解决问题的能力，结合所学知识点进行思考解答即可 【详解】解：由题干材料判断是祖冲之， 故选：A 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 7．（2024·江苏常州·一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理是本题的关键． 过点作的垂线，交于点，交于点，连接，根据已知条件求出的长度，在中利用勾股定理求出的长度，再根据垂径定理求出的长度即可． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，连接， 由题意得，    ∵，经过圆心， ∴， ， ， ， ， ． 故选：D． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：若每天票房的增长率都为元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元， 由题意得，， 故选：． 9．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在同一个圆上．若，则该圆的半径为（   ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点，即点为正六边形边的中点，连接，过作于点，    ∴， ∵正六边形的每个内角都为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的半径为， 故选：C． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（2024·江苏苏州·二模）若是一元二次方程的实数根，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，把代入方程，得出关于m的一元二次方程，再整体代入求值即可． 【详解】解：当时，则， 即， 所以，， 故答案为：3． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理；由勾股定理求得斜边，由斜边上中线性质得三角形外接圆半径． 【详解】解：由勾股定理得：， 由于直角三角形外接圆圆心在斜边的中点，半径为斜边的一半， 所以外接圆的半径为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是 ． 【答案】 【分析】根据五边形的内角和公式，可得出圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算，解决本题的关键是将阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 【详解】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为： 则五个阴影部分的面积之和． 故答案为：． 14．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要数形结合，结合图形，设出未知数，然后根据题意列出方程，利用方程即可解决问题． 本题可设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，又因两个正方形的面积和等于，则可列出方程求解即可． 【详解】解：设一个正方形的边长为， 正方形的四边相等， 此正方形的周长是，另一个正方形的边长是， 根据题意得， 解得，． 当时，； 当时，， 所以另一个正方形的边长为和． 较小正方形的边长为． 故答案为：4． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【答案】28 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 16．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵，轴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， ∴当点三点共线时，有的最小值为； 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，正五边形内接于，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心，为半径作与边相切于点A，若，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而求出，从而求出，，再进行求解得到答案． 【详解】解：连接， 是圆的切线， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：3 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 三． 解答题：（本大题共9题，19-22题每题6分，23-25题每题8分，26-27题每题9分，满分64分） 19．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得． 【详解】解：移项得， 配方得，即， 所以原方程的解为：，． 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，，是的半径，，点，分别是，的中点，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．由，，是的半径，，根据弧与圆心角的关系，可得，又由点，分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得． 【详解】解：，理由如下， 证明：，，是的半径，， ， 点，分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ． 21．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 22．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件．设销售单价增加元． (1)每天售出件数_______．（用含有的式子表示）； (2)若市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过元，那么当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，每天售出件数为件； （2）解：根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． 24．（19-20九年级上·江苏南京·期末）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图： (1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形； (2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正多边的性质，准确画图． 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置； (2)请在（1）的基础上，完成下列问题： ①的半径为______（结果保留根号）； ②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． (3)连接，请探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)图见详解； (2)①；②； (3)与相切； 【分析】（1）本题考查垂径定理找圆心，根据格点图形找到，的垂直平分线线交点即为点； （2）①本题考查勾股定理求半径，连接根据勾股定理求解即可得到答案；②本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆周长直接求解即可得到答案； （3）本题考查勾股定理逆定理与圆的切线判定，根据勾股定理逆定理得到即可得到答案； 【详解】（1）解：由垂径定理得，作，的垂直平分线线交点即为点，如图所示， ； （2）解：①连接， ， 由勾股定理得， ， 故答案为：； ②由图像可得， ， ∴， 解得：； （3）解：由图像可得， ，， ∴， ∴， ∴与相切． 26．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 【答案】(1) (2)①；②外；③ 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即即可得到答案． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 故答案为；. 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在 ______填内、外、上； (4)如图，是的外接圆，，是上一点请你只用无刻度的直尺，分别画出图和图中的平分线． 【答案】(1)； (2)； (3)内； (4)见解析 【分析】 （1）的垂直平分线所在直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径； （3）根据，即可判断点位置； （4）连接，则平分；连接与弧交于，连接，则平分． 本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1） 解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心在直线上， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2） 解：， ， 故答案为：； （3） 解：，， ， 点在内， 故答案为：内； （4） 解：图，即为所求， 连接， ， ， ， 平分； 图，即为所求， 连接与弧交于，连接， ， 平分， ， ， ， 平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$