专题2.1 认识无理数（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 认识无理数（专项练习） 【知识要点】 1、 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数. 2、 无理数的三种类型：（1）π及一些含π的数，如2π、π等等；（2）排列有规律但不循环的无限小数，如0.101001000100001....（每相邻的两个1之间依次增加1个0)；（3）开方开不尽的数，如等等. 3、 知识拓展：(1）在实数范围内，一个实数如果不是有理数，它就一定是无理数，(2）任意两个实数之间有无数个有理数和无理数. 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）在下列各数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C．3.141 D． 2．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在，，，18中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．18 3．（23-24七年级下·河南许昌·期末）下面四个数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 4．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列各数：3，，，0，，（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（18-19七年级上·江苏常州·期末）在数：3.14159，﹣1.010010001…，-7，π，中，无理数的个数有（   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）下列是无理数的是（　　） A． B． C．0 D． 7．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D．0 8．（19-20八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（   ) A．无限小数是无理数 B．无理数是带根号的数 C．无理数的相反数还是无理数 D．两个无理数的和还是无理数 9．（19-20七年级上·江苏连云港·期中）下列一组数(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2012·江苏扬州·一模）请写出一个大于且小于的无理数 ． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列各数中：，无理数有 个． 13．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下列数中：（每两个3之间的0依次增加），其中无理数有 个． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为4 ． 15．（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个无理数 ． 16．（2019·广东广州·一模）两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． 17．（2023·河南驻马店·二模）写出一个无理数，使得，则可以是 （只要写出一个满足条件的即可）． 18．（20-21九年级下·湖南常德·阶段练习）在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24七年级上·浙江·期中）在数轴上表示数2，，，，并按从小到大的顺序用“<”号连接． 20．（8分）（20-21七年级上·浙江温州·期中）小颖与小聪一起制作了张数字卡片．两个人规定做出一张无理数卡片给小颖加分，做出一张有理数卡片给小聪加分． （1）小颖得到 ___________ 分． （2）请找出正分数： ___________ ；负整数： ___________ ． 21．（10分）（20-21七年级上·江苏徐州·阶段练习）把下列各数填入大括号：－2.4，3，2.004，，，，0，，，3.14，，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）． （1）正有理数集合：｛                     …}； （2）整数集合：｛                         …}； （3）负分数集合：｛                       …}； （4）无理数集合：｛                       …}． 22．（10分）设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数． 23．（10分）举反例说明下列命题是假命题． （1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； （2）无限小数是无理数； （3）两直线被第三条直线所截，同位角相等． 24．（12分）500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题： （1）x是整数吗？为什么不是？ （2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是无限不循环小数；根据无理数的定义逐个判断即可； 【详解】解：、0是有理数，故本选项不符合题意； 、是无理数，故本选项符合题意； 、3.141是有理数，故本选项不符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，18中，是无理数的是； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查无理数的判断，无理数是无限不循环小数．常见的无理数：含的数、开方开不尽的数、有一定规律但不循环小数． 根据无理数的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】A．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是无理数．故本选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义进行判断即可得；掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，无理数有：，（每两个3之间增加1个0）， 即无理数的个数是2， 故选：A． 5．B 【分析】根据无理数的三种形式找出无理数的个数． 【详解】无理数有：﹣1.010010001…，π，共2个． 故选B． 【点拨】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 6．B 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”，熟记定义是解题关键．根据无理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，则此项不符合题意； B、是无理数，则此项符合题意； C、0是整数，属于有理数，则此项不符合题意； D、是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意； 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了无理数的定义，实数分为有理数和无理数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数为无理数，带根号且开不尽才是无理数，根据定义进行判断即可． 【详解】解：，是分数，0是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：B． 8．C 【分析】直接利用无理数的定义与性质分析得出答案． 【详解】A、无限不循环小数是无理数，故此选项错误； B、无理数是开方开不尽的数字，故此选项错误； C、无理数的相反数还是无理数，正确； D、两个无理数的和不一定是无理数，故此选项错误． 故选C． 【点拨】本题主要考查了实数运算，正确掌握无理数的定义是解题关键． 9．C 【分析】根据无理数与有理数的概念进行判断即可得. 【详解】解：(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有：(相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个 故选C 【点拨】本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等. 10．A 【分析】本题主要考查了整数，近似数，有理数的大小比较，有理数的定义，根据整数的分类可判断①，根据有理数的乘方可判断②，根据近似数可判断③，根据有理数的大小比较可判断④，根据有理数的定义可判断⑤． 【详解】解：①正整数，负整数和0统称整数，原说法错误； ②平方等于9的数是，原说法错误； ③是精确到千位，正确； ④一定比a大，正确； ⑤与都是有理数，原说法错误； 正确的有：③④， 故选：A． 11．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 12．1 【分析】本题考查了无理数与有理数的区别，无理数即是无限不循环小数；而有理数是无限循环小数或有限小数，据此即可判断无理数的个数．解题的关键是掌握无理数的定义以及常见形式． 【详解】各数中，只有是无限不循环小数，即无理数，故无理数的个数是1个． 故答案为：1． 13．2 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数，即可求解． 【详解】解：（每两个3之间的0依次增加）中无理数有，（每两个3之间的0依次增加）共2个， 故答案为：2． 14．和（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数，实数的运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． 写出两个带有理数的无理数，使无理数部分互为相反数即可． 【详解】解：由题意知， ∴两个无理数为，， 故答案为：和（答案不唯一）． 15．π（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，即可写出答案． 【详解】解：由题意可得，π是无理数． 故答案为：π(答案不唯一)． 【点拨】此题考查了无理数的定义，关键是掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，比较简单． 16．和−.(答案不唯一). 【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数，由此即可求解. 【详解】∵两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数， 这两个数可以是和−.(答案不唯一). 【点拨】本题考查的是无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键. 17．（答案不唯一） 【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足即可． 【详解】解：无理数的三种形式为：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 只要写出一个满足条件的即可，比如：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键． 18． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵在-1、0、0.101001、π、5.1、7的6个数中， -1、0、7是整数，有理数； 5.1是有限小数，有理数； 无理数有0.101001…、π共2个， ∴随机抽取一个数，抽到无理数的概率是， 故答案为：． 【点拨】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 19．数轴见解析， 【分析】本题考查了绝对值，数轴，有理数大小比较； 先化简绝对值，再在数轴上找到各数对应的位置，然后根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大用“<”号连接． 【详解】解：， 将各数表示在数轴上如图所示： 由数轴得：． 20．(1)2 (2)、、、 【分析】（1）根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数；无理数的定义：即无限不循环小数；得出结果即可； （2）根据有理数的分类进行解答． 【详解】（1）解：（1） 有理数为：， 一共有个， ∴无理数有个， ∴小颖得到分， 故答案为：2； （2）（2）， 正分数有：； 负整数有：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了实数的分类，熟知无理数的定义以及有理数的定义及分类是解本题的关键． 21．(1)3，2.004，，3.14， (2)3，0， (3) (4)，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0） 【分析】根据有理数和无理数的分类解答即可． 【详解】（1）正有理数集合：3，2.004，，3.14，… 故答案为：3，2.004，，3.14，-（-2.28）； （2）整数集合：3，0，，… 故答案为：3，0， （3）负分数集合：… 故答案为： ； （4）无理数集合：，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0），… 故答案为：，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）． 【点拨】此题考查了实数的定义：有理数和无理数统称为实数，以及有理数的分类，正确掌握实数的定义是解题的关键． 22．详见解析 【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可． 【详解】假设是有理数，则也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数． 同理假设是有理数，也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数． 【点拨】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点． 23．见解析 【分析】根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 【详解】解：（1）当a=3，b=﹣1时，满足a+b＞0，但a＞0，b＞0不成立； （2）如为无限循环小数，但分数是有理数； （3）如图，为同位角，但是 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． 【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理． 24．（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是. 【分析】（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论． 【详解】（1）不是，∵1<2<4，而x2=2 ∴1<x2<4，若x>0，1<x<2， ∴在1和2之间不存在另外的整数. （2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数. 【点拨】本题主要考查无理数和勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$