专题2.3 等腰三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.3 等腰三角形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、等腰三角形 1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形． 2．等腰三角形性质： ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°． 3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）． · 典例分析 【典例1】在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得； （2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论； （3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：过点作于，过点作于，如图， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 即点到直线的距离为； （2）证明：延长交于点，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接， 则，， ，， ， ， ， ，且满足， ， ， 在和中， ， ， ， 即点在直线上运动， 当且仅当时，最短，即点与点重合， 如图，连接， 则，即， ， ， ， ， ， ． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小． 某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 7．（2024·四川达州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为 ． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．    9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为． （1）试说明的理由 （2）猜想和的位置关系，并说明理由； （3）试说明：． 11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．    （1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且    （1）求证：是等腰三角形； （2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； （3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度． 15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.       （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线．    （1）直接写出的大小； （2）求证：； （3）E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F． ①如图2，若E是的中点，求证：； ②如图3，若E是的中点，直接写出三条线段，，之间的数量关系． 18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．    （1）当点在线段上（不与点，点重合），求证：； （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值； （3）如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．    （1）如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） （2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； （3）若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．    （1）填空：当时，（用含的式子表示）； （2）经过几秒，的面积等于？ （3）当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ （4）直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 等腰三角形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、等腰三角形 1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形． 2．等腰三角形性质： ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°． 3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）． · 典例分析 【典例1】在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得； （2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论； （3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：过点作于，过点作于，如图， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 即点到直线的距离为； （2）证明：延长交于点，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接， 则，， ，， ， ， ， ，且满足， ， ， 在和中， ， ， ， 即点在直线上运动， 当且仅当时，最短，即点与点重合， 如图，连接， 则，即， ， ， ， ， ， ． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；再以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，这两点也符合条件；在的左边作一个，使，结合全等三角形的性质可确定符合条件的点，同理在的右边作一个，也可获得符合条件的点． 【解题过程】 解：如下图，    ①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的点； ②作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，其中一点是点，另一点为符合要求的点； ③作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的点； ④在的左边作一个，使，这点也是符合要求的点； ⑤同理在的右边作一个，使，这点也是符合要求的点． 所以，共有6个符合条件的点． 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题根据，得到，即可判断A项，根据题意证明，由等腰三角形性质得到，由角平分线性质得到，推出,即可判断B、D项，根据题意继续推出，即可判断C项． 【解题过程】 解：， ， 即， A项正确，不符合题意． ，， ， ， 又， ， 平分， ， ， ，， B、D项正确，不符合题意． ，， ， ， ， ， C项错误，符合题意． 故选：C． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确． 【解题过程】 解：如图，过点F作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故（1）正确； 在AD上截取， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故（2）正确； 连接AG，过点作，，，垂足分别为，，， ，，， ， ， ， ， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 故（4）正确； 故选：C 4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【思路点拨】 ①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系． 【解题过程】 解：因为等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形，故③正确； 过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， 由①可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故选：A 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小． 某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 ①当时，则，作的平分线交于点，从而得，，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对①进行判断； ②当时，则，作的平分线交于点，从而得，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对②进行判断； ③当时，则，作的垂直平分线角于点，连接，则为等腰三角形，，进而得，，由此可判定为等腰三角形，进而可对③进行判断； ④当时，则，作的垂直平分线交于点，连接，则为等腰三角形，从而得，，，由此可判定为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案． 【解题过程】 解：在中，， ， ， ①当时，则， 作的平分线交于点，如图1所示：    ， ， ，， 和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故①正确； ②当时，则， 作的平分线交于点，如图2所示：    ， ，， 和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故②正确； ③当时，则， 作的垂直平分线角于点，连接，如图3所示：    则，即为等腰三角形， ， ，， 为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故③正确； ④当时，则， 作的垂直平分线交于点，连接，如图4所示：    则，即为等腰三角形， ， ，， ， 为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故④正确； 综上所述：正确的结果是①②③④，共4个， 故选：A． 6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【思路点拨】 过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到． 【解题过程】 解：过点C作，交的延长线于点F，延长两线交于点G，    ∵平分， ∴，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 7．（2024·四川达州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为 ． 【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形存在性问题等知识，掌握三线合一性质是解题的关键．分①当且点E在内部时，②当时，③当时三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【解题过程】 解：依题意可知：， 如图1中，当且点E在内部时， ∵，， ∴ ． 如图2中，当时，点N与点E重合，点M与点F重合，． 如图3中，当且点E在外部时， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的的值为或或． 故答案为：或或． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．    【思路点拨】 根据，分两种情况讨论：当时，当时，设，过点作，垂足分别为，得出在的角平分线线上，进而根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质，即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，当时，是等腰三角形，    设，过点作，垂足分别为， ∵， ∴对应边上的高相等，即， ∴在的角平分线线上， ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 如图所示，当时，是等腰三角形，    设 同理可得, ∴ ∵ ∴ 解得： ， 由于，不存在的情形， 综上所述，的度数为，或． 故答案为：或． 9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 【思路点拨】 证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【解题过程】 解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 10．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为． （1）试说明的理由 （2）猜想和的位置关系，并说明理由； （3）试说明：． 【思路点拨】 （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【解题过程】 解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．    （1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 【思路点拨】 （1）由“”可证，可得，可得结论； （2），分类讨论：①点F在线段的延长线上时，由（1）可知，，，由“”可证，可得，即可求解；②点F在射线上，画出图形3，结论：． 【解题过程】 （1）解：．理由如下： ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分类讨论： ①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图2所示； 理由如下：延长到点G，使．    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ②如图3，若点F在射线上时，在取点，使得    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【思路点拨】 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【解题过程】 （1）证明： 即 在和中 ， ． （2）与的数量关系是，位置关系是． 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． ， ， ， ， 四边形的面积 14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且    （1）求证：是等腰三角形； （2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； （3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度． 【思路点拨】 （1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论； （2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【解题过程】 （1）证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）可得， ∴，， 如图，连接，    ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∵， ∴，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3）解：如图，连接，并延长交于点M，    根据折叠的性质，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ， ， ． 15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【解题过程】 （1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：由①可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.       （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 【思路点拨】 （1）根据等边对等角和已知条件推出，则可证明，推出，利用证明即可得到结论； （2）由全等三角形的判定得到，由等边对等角得到，则，由三角形内角和定理得到，则，即可推出． 【解题过程】 （1）解：，理由如下： 等腰和等腰中，和是底边， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 即． 17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线．    （1）直接写出的大小； （2）求证：； （3）E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F． ①如图2，若E是的中点，求证：； ②如图3，若E是的中点，直接写出三条线段，，之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）根据等边对等角得到，再根据角平分线得到的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可； （2）过点D作，垂足为点M，证明，即可得到，然后解题即可； （3）①过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，则可得到，借助（2）得到，，然后推导出，可以证明结论；②延长至点K，使得，交于点N，连接，则有，然后证得，由（2）的结论推导出结果即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：过点D作，垂足为点M， ∴， ∵平分，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）①证明：①证明：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N， ∵平分， ∴． ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 由（2）得，， ∴，即， ∵点E为中点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②． 延长至点K，使得，交于点N，连接． 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴，，又， ∴， ∴， ∴． 由（2）得， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，为等腰三角形，，点在射线上（不与点，点重合），以为腰长作等腰，于点．    （1）当点在线段上（不与点，点重合），求证：； （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求的值； （3）如图2，过点作于直线于点，过点作交直线于点，连接．则点在运动过程中，线段、与有怎样的数量关系？请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题； （2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题； （3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题． 【解题过程】 （1）证明：，是等腰直角三角形，于． ，， ， ， 在和中， ， ； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）或理由如下： 如图所示：当P在线段上时，过点作交于点，    ，，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 当P在线段的延长线上时，如图，过点作交于点，    同理可得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．    （1）如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） （2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； （3）若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【思路点拨】 （1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数； （2）作，根据AAS证明 ，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得 ，则可得 ；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得 ，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果． 【解题过程】 （1）解：中，，且=, ，， ， ， ，          ； 故答案为：； （2）证明：如图，过A点作于E点，    中，，， ， 中，， ， ， ,=， ，         ，   ，   ， ． 在和中， ， ∴ ，     ∴，     ∴； （3）解：①如图，作于，于，    ∵与的面积相等， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， 即 ， ， ； ②如图，作于，作垂直于的延长线于，    则， ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴ ， ∴， ， ∴， ， ， 综上，或． 20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，，动点从点开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．    （1）填空：当时，（用含的式子表示）； （2）经过几秒，的面积等于？ （3）当为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ （4）直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【思路点拨】 （1）先得出点P运动的距离为：，由，判断点P在上，问题随之得解； （2）先求出，分当点P在上，和当点P在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，即有，解得：；当是以为底边的等腰三角形时，过P点作于点T，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有，进而可得方程，解方程即可求解； （4）根据直线把的周长分成相等的两部分，可得，即可得方程，问题随之得解． 【解题过程】 （1）在中，，，，， 根据运动的特点可知：点P运动的距离为：， ∵， ∴，即点P在上， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）∵在中，，，，， ∴， 当点P在上，如图，    ∵的面积等于， ∴， ∵， ∴， 解得：（秒）； 当点P在上，如图，    此时：点P运动的距离为：， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（秒）； 综上：经过秒或者秒，的面积等于； （3）当是以为底边的等腰三角形时，如图，    即有， ∴， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ∴， 解得：（秒）； 当是以为底边的等腰三角形时，如图，    过P点作于点T， ∵在等腰中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ∴， 解得：（秒）； 综上：经过秒或者秒，是以或为底边的等腰三角形； （4）如图，    ∵直线把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ∴， 解得：， 即当秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$