精品解析：湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

2023—2024学年度下学期高一期末质量检测 数学试卷 2024.07 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ）. A. B. C. D. 2 已知，，若，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（ ）． A. 5 B. 6 C. 25 D. 30 4. 平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，，则∠C＝（ ） A. 60° B. 75° C. 60°或120° D. 15°或75° 8. 已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中的值为 B. 样本的第百分位数约为 C. 样本平均数约 D. 样本平均数小于样本中位数 10. 已知O是坐标原点，平面向量，，，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. ； B ． C. 若，则A，B，C三点共线 D. 若，则面积的最大值是 11. 已知正方体的棱长为2，点E是线段上的动点，点F是线段的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线和直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 直线与平面所成的角为，则的最大值为 D. 三棱锥B-DEF的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于x的方程（）的一个根，则实数________ 13. 甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为________． 14. 在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品数分别为400，600，400．现采用分层随机抽样的方法从中抽取7个产品进行质量检验． （1）应从甲、乙、丙三个工厂产品中分别抽取多少个？ （2）从7个产品中随机抽取2个产品．设M为事件“抽取的2个产品来自同一工厂”，求事件M发生的概率 16. 已知，，，且. （1）求点P的坐标； （2）求实数t的值； （3）求的值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. （1）求角A； （2）若，求周长的取值范围. 18. 甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜．已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是， （1）求比赛恰好四场结束的概率； （2）求甲俱乐部获胜的概率． 19. 如图，四棱锥中，PC垂直平面ABCD，，∥，，，E是线段PB上的动点． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值； （3）若∥平面，求点E的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期高一期末质量检测 数学试卷 2024.07 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，从而得到其虚部，由此得解. 【详解】， 所以的虚部是. 故选：A. 2. 已知，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 3. 已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（ ）． A. 5 B. 6 C. 25 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差的性质求解． 【详解】数据的方差为1.2， ，，……的方差为：． 故选：D. 4. 平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线性质和向量线性运算即可. 【详解】根据三角形中位线知：. 故选：C. 5. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面， 因为上、下底面边长分别为2和4，所以， 故，， ，因为棱与底面所成的角为，则，故，则， 故该正四棱台的体积为. 故选：A. 6. 袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解. 【详解】设1个红球为，2个白球分别为，2个黑球分别为，则从袋子中任取2个球包含： ， 共10个基本事件， 其中取到红球，包含，共4个基本事件， 则取出的2个球都是红球的概率. 故选：B 7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，，则∠C＝（ ） A. 60° B. 75° C. 60°或120° D. 15°或75° 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求得. 【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，， 利用正弦定理：，整理得， 所以B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝75°，当B＝120°时，C＝15°． 故选：D． 8. 已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，， 因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中的值为 B. 样本的第百分位数约为 C. 样本平均数约为 D. 样本平均数小于样本中位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由题意，，解得，，故A正确； 对于B，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的第分位数在区间内， 设样本的第分位数为，则，解得， 即样本的第分位数约为，故B正确； 对于C，样本的平均数为，故C正确； 对于D，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下频率为， 所以样本的中位数在区间内， 设样本的中位数为，则，解得， 所以样本的中位数约为， 因为，所以样本的中位数样本的平均数，故D错误. 故选：ABC 10. 已知O是坐标原点，平面向量，，，且，，，则下列结论正确是（ ） A. ； B. ． C. 若，则A，B，C三点共线 D. 若，则面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，利用数量积的运算律计算判断AB；tjet 共线向量定理判断C；求出点的轨迹，进而求出三角形面积最大值. 【详解】由，，得， 对于A，，A错误； 对于B，，而与都是非零向量，则，B正确； 对于C，由，得，则， 于是，即，又有公共点，因此A，B，C三点共线，C正确； 对于D，由，得，当与都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当与之一重合时，符合题意， 因此点轨迹是以线段为直径的圆，而，点到距离的最大值为， 因此面积的最大值是，D正确. 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为2，点E是线段上的动点，点F是线段的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线和直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 直线与平面所成的角为，则的最大值为 D. 三棱锥B-DEF的体积为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A当E与G重合时，则有直线和直线共面；选项B根据三垂线定理得平面，即可得到；选项C将角转化为直线EF与平面所成的角，即，再由即可判断；选项D根据即可判断. 【详解】如图，设，则G为的中点. 选项A，当E与G重合时，点均在平面内，故直线和直线均在平面内，即二者共面，故A错误； 选项B，因为平面，所以是在平面内的射影， 因为及三垂线定理，所以，同理有. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以，故B正确； 选项C，因为平面平面， 所以直线EF与平面所成的角，即为直线EF与平面所成的角，即， 所以，故C错误； 选项D，因为，点E在直线上，所以点E到直线的距离为定值，则为定值. 又F到面的距离h也为定值，所以也为定值，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于x的方程（）的一个根，则实数________ 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，，解得， 故答案为: . 13. 甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得0分的事件，其概率为， 所以甲得分不超过乙得分的概率为. 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理的边角变换求得，进而由锐角得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. 【详解】因为， 由正弦定理可得，则， 在中，可得或，所以或（舍去）， 则， 在锐角中，，解得， 由正弦定理可得 ， 因为，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品数分别为400，600，400．现采用分层随机抽样的方法从中抽取7个产品进行质量检验． （1）应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取多少个？ （2）从7个产品中随机抽取2个产品．设M为事件“抽取的2个产品来自同一工厂”，求事件M发生的概率 【答案】（1）2个，3个，2个； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的抽样比计算即得. （2）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 依题意，从甲工厂抽取的产品个数是， 从乙工厂抽取的产品个数是，从乙工厂抽取的产品个数是， 所以应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取2个，3个，2个. 【小问2详解】 甲工厂抽取的2个产品记为，乙工厂抽取的3个产品记为，丙工厂抽取的2个产品记为， 从7个产品中随机抽取2个产品，样本空间 ，共21个样本点， 事件，共5个样本点， 所以事件M发生的概率. 16. 已知，，，且. （1）求点P的坐标； （2）求实数t的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）利用向量线性运算与向量数量积的坐标表示即可得解； （3）利用向量夹角的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 依题意，设， 因为，， 所以， 则，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 又，所以，解得. 【小问3详解】 因为， 所以， 则，， 所以. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. （1）求角A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，则，即， 又，所以. 【小问2详解】 的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 18. 甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜．已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是， （1）求比赛恰好四场结束的概率； （2）求甲俱乐部获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知甲可能两场、三场、四场和五场获胜，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 小问1详解】 若比赛恰好四场结束，则可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜， 若甲胜，则概率为； 若乙胜，则概率为； 所以比赛恰好四场结束的概率. 【小问2详解】 若甲俱乐部获胜，则甲可能两场、三场、四场和五场获胜， 若两场获胜，其概率为； 若三场获胜，则负胜胜，其概率为； 若四场获胜，由（1）可知其概率为； 若五场获胜，则胜负胜负胜或负胜负胜胜， 其概率为； 所以甲俱乐部获胜的概率. 19. 如图，四棱锥中，PC垂直平面ABCD，，∥，，，E是线段PB上的动点． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值； （3）若∥平面，求点E的位置． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）点E为线段的三等分点，且 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意可证平面，进而可得结果； （2）利用三垂线法分析可知二面角的为，进而运算求解； （3）根据线面平行的性质可得∥，结合平行线的性质分析求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 由题意可知：∥，，则为平行四边形， 且，可知为矩形，则， 可得，即，则， 因为平面ABCD，平面ABCD， 则，且，平面，可得平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 且，平面，可得平面， 且平面，所以， 可知二面角的为， 且，可得， 所以二面角的正弦值. 【小问3详解】 设，连接， 若∥平面，且平面，平面平面， 则∥，可得， 又因为∥，则，可得， 所以点E为线段的三等分点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$