高二数学上学期第一次月考选择题压轴题十八大题型专练-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年高二上学期第一次月考选择题压轴题十八大题型专练 【人教A版（2019）】 题型1 空间向量的线性运算及其几何表示 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型2 向量共线、共面的判定及应用 5．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 题型3 求空间向量的数量积的最值（取值范围） 9．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 12．（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 题型4 空间向量数量积的应用 13．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 14．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 15．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 16．（23-24高二上·广东·期末）如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题 17．（23-24高二上·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·云南大理·期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 题型6 利用空间向量基本定理解决夹角、距离、垂直问题 21．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 24．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 题型7 空间向量平行、垂直的坐标表示 25．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 26．（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2； D．若与轴垂直，则，应满足 题型8 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 29．（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得平面 B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2 C．点E到直线的距离的最小值为 D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为 题型9 利用空间向量求空间角 33．（23-24高二下·江苏淮安·期末）正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 题型10 利用空间向量研究存在性问题 37．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 38．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 39．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 40．（23-24高三上·广东东莞·期末）如图几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 题型11 直线与线段的相交关系求斜率范围 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 41．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 42．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 43．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 题型12 根据两直线平行、垂直求参数 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 45．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 46．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 47．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 48．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 题型13 三线能围成三角形的问题 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 49．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 51．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 52．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 题型14 与距离有关的最值问题 53．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 54．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 56．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 题型15 点、线间的对称问题 57．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 58．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高二上·江西·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（    ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 题型16 圆的切线长及切线方程问题 61．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 62．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 63．（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 64．（2024·山西晋中·模拟预测）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（    ） A． B．点的坐标为 C．的方程可以是 D．的方程可以是 题型17 直线与圆有关的最值问题 65．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 67．（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 68．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 题型18 两圆的公切线问题 69．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 70．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 71．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 72．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期第一次月考选择题压轴题十八大题型专练 【人教A版（2019）】 题型1 空间向量的线性运算及其几何表示 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【解答过程】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，错误； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：C. 2．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】写出的表达式即可求出的值. 【解答过程】由题意， 在四面体中， 是四面体 的棱的中点, ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C. 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】延长交于点，连接交于，连接，取的中点，连接，得到四边形所求裁面，再利用平行的相似比得到为上靠近的三等分点即可． 【解答过程】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 4．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 题型2 向量共线、共面的判定及应用 5．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【解答过程】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【解答过程】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 7．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，由空间向量运算表示出，结合四点共面，得，解出即可. 【解答过程】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即. 故选：A. 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【解题思路】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【解答过程】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 题型3 求空间向量的数量积的最值（取值范围） 9．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【解答过程】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 10．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用体积法求出球半径，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而， 则，正四棱锥的体积， 正四棱锥的表面积， 显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即， 在中，，于是，又EF是球O的一条直径， 因此， 显然，则，， 所以的取值范围为. 故选：A. 11．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【解题思路】根据三棱锥体积得到点到平面的距离为2，设点在平面的投影为点，求出，建立平面直角坐标系，求出的最小值为，从而求出答案. 【解答过程】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则 ， 如图所示，取的中点为原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为. 故选：C. 12．（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【解题思路】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解. 【解答过程】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC. 题型4 空间向量数量积的应用 13．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【解题思路】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【解答过程】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D. 14．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【解答过程】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 15．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【解答过程】设，由题意得， 则 . 设， 则,故. 由得 ， 得， 所以 ， 故选：D. 16．（23-24高二上·广东·期末）如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 【解题思路】 对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【解答过程】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题 17．（23-24高二上·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由四点共面可得存在实数，使，表示出，根据系数对应相等列方程求解. 【解答过程】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得. 故选：B. 18．（23-24高二上·云南大理·期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值. 【解答过程】 因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：D. 19．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【解答过程】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D. 20．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【解题思路】由向量垂直的性质判断A；由共面向量定理判断B；由向量加法法则判断C；由共线向量定理判断D． 【解答过程】对于A项：非零向量，，若，则，故A项正确； 对于B项：若对空间中任意一点，有， 则， 化简得：， 由空间向量基本定理可知，，，四点不共面，故B项错误； 对于C项：由是空间中的一组基底，则向量，，不共面， 而， 所以向量，，共面不能作为基底，故C项错误； 对于D项：若空间四个点，，，，， 则，即， 所以共线，又因为有公共点，所以，，三点共线，故D项正确. 故选：AD. 题型6 利用空间向量基本定理解决夹角、距离、垂直问题 21．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意将作为一组基底，把表示出来，平方化简后可求得结果. 【解答过程】由题意得， 因为， 所以，， 因为, 所以 ， 所以，即的长为2， 故选：B. 22．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【解答过程】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 23．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 24．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【解题思路】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【解答过程】 ∵ ，故A正确. ∵ .故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴ .故D错误. 故选：AC. 题型7 空间向量平行、垂直的坐标表示 25．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可. 【解答过程】，∴，解得， 故选：A． 26．（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【解答过程】∵，∴，解得，即. 又∵ ，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 27．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解. 【解答过程】根据题意，由， 设， 即 解得：， 则有， 由此得． 故选：B. 28．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2； D．若与轴垂直，则，应满足 【解题思路】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【解答过程】依题意，，， 对于A，因为，所以，又，所以，解得，所以或，A不正确； 对于B，，B正确； 对于C，因与互相垂直，则， 解得或，C不正确； 对于D，因为，轴的一个方向向量， 依题意，即，D正确； 故选：BD. 题型8 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 29．（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离. 【解答过程】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D. 30．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【解答过程】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，则，    ，， 故在的投影为， 点到线的距离为. 故选：D. 31．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【解答过程】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 32．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得平面 B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2 C．点E到直线的距离的最小值为 D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC，利用两平面的法向量的夹角即可求解D. 【解答过程】对A选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图： 则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,， 设,2,， 所以，，， 假设存在点，使得平面， 则，， 解得， 所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确； 对于B，点E为线段的中点时，,,, 设平面的法向量为，则，取，则， ,故点到平面的距离为，故B正确， 对C选项,,2,，, 点到直线的距离为， 故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误； 对D选项，点E为线段的中点时，,,, 设平面的法向量为，则，取，则， 设,,, 设平面的法向量为，则，取，则， 若存在点，使得平面与平面所成角为， 则，化简得，解得或，由于，所以，故D正确， 故选：ABD． 题型9 利用空间向量求空间角 33．（23-24高二下·江苏淮安·期末）正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【解答过程】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 34．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【解答过程】分别取的中点，连接，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以是平面的一个法向量， ，，所以， 设与平面所成的角为， 则. 故选：D. 35．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【解答过程】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 36．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 【解题思路】对于A：利用平面几何知识说明即可； 对于B：只需要证明即可； 对于C：建立空间直角坐标系，计算与平面的法向量，再代入线面角的计算公式； 对于D：计算平面和平面法向量，在代入面面角的计算公式. 【解答过程】因为，，，为的中点，所以，,四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故B正确； 如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，，，所以， 又因为四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点， 所以，与不垂直，故A错误； 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，所以， 又因为为中点，所以且，， 则有，所以， 互相垂直， 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    ，，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得，，即， 则，令，得，，即， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； ，则 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC. 题型10 利用空间向量研究存在性问题 37．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用空间向量求出线线角的余弦判断C；利用等体积法确定的体积情况判断B. 【解答过程】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则， 平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 故选：D. 38．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 【解题思路】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 39．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【解答过程】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D. 40．（23-24高三上·广东东莞·期末）如图几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【解题思路】将图形补全为一个正方体，设，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【解答过程】由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示： 不妨设，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设点，其中， 对于A选项，假设存在点，使得平面，， ，， 则，可得， 因为，则，即当点与点重合时，平面，A对； 对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为， 假设存在点，使得平面平面，则，， 则，可得，又因为，解得， 即当点为的中点时，面平面，B错； 对于C选项，若存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 且， 所以， ，整理可得， 因为函数在时的图象是连续的， 且，， 所以，存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，C对； 对于D选项，设平面的法向量为， ，， 则， 取，可得， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 则， 可得，即， 可得或， 因为，则，则， 所以，， 故当时，方程和均无解， 综上所述，不存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，D对. 故选：ACD. 题型11 直线与线段的相交关系求斜率范围 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 41．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【解题思路】根据两点间斜率公式计算即可. 【解答过程】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 42．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【解答过程】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 43．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【解答过程】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A. 44．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【解题思路】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解. 【解答过程】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 题型12 根据两直线平行、垂直求参数 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 45．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】因为直线，， 所以当时，，即，即或， 所以“”能推出“”，“”不能推出“”， 所以“”是“”充分不必要条件， 故选：A. 46．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【解题思路】根据直线平行求出即可得解. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B. 47．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 【解题思路】根据两线垂直求解即可； 【解答过程】解：因为直线与互相垂直， 所以， 即：， 解得：或 . 故选:C. 48．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【解题思路】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【解答过程】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD. 题型13 三线能围成三角形的问题 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 49．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可. 【解答过程】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 50．（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 51．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形. 【解答过程】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则 ； 若∥，则 的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立： ，直线和交点为; 直线和联立： ，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合 或. 故实数的取值最多有个. 故选：C. 52．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【解答过程】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD. 题型14 与距离有关的最值问题 53．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【解题思路】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【解答过程】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 54．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出点坐标，利用点到直线的距离公式可得，再根据的范围可得答案. 【解答过程】由，解得， 可得， 则到直线的距离， 因为，所以，所以. 故选：C. 55．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【解答过程】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 56．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【解题思路】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【解答过程】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 题型15 点、线间的对称问题 57．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【解答过程】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D. 58．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可. 【解答过程】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C. 59．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可. 【解答过程】 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 故选：C. 60．（23-24高二上·江西·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（    ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【解题思路】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【解答过程】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示：    则，解得；即. 将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，故错误； 设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，故C错误； 总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 题型16 圆的切线长及切线方程问题 61．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【解答过程】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 62．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【解答过程】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B. 63．（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 64．（2024·山西晋中·模拟预测）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（    ） A． B．点的坐标为 C．的方程可以是 D．的方程可以是 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，即可求出，再求出过点与直线垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为点坐标，再设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可得解. 【解答过程】圆圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为， 则切线长的最小值为，故A错误； 设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以，由，解得，所以，故B正确； 显然过点的切线的斜率存在， 设切线的方程为，则，解得或， 所以切线的方程为或，故CD正确.    故选：BCD. 题型17 直线与圆有关的最值问题 65．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合恒成立，求得点，再由，且直线的方程为，得到在直线上存在两个点满足或三点共线，进而求得其最小值. 【解答过程】将直线化为，可得直线恒过定点， 同理可得直线恒过定点，当时， 可得，则，，当时，显然，所以， 因为点是直线和的交点，所以点的轨迹方程为， 又因为恒成立，可得恒成立， 即恒成立，所以，即， 又由，且直线的方程为， 可得原点到直线的距离为， 所以在直线上存在两个点满足或三点共线， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 66．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即得. 【解答过程】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B. 67．（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B. 68．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 【解题思路】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D. 【解答过程】圆的圆心，半径， 直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交， 当点为弦的中点时，有最小值， 此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在， 所以，故A错误； 因为点为弦的中点，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为， 所以轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，设， 联立，得， 则，故， 所以点的坐标为， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述的最大值为9，故D正确.    故选：BCD. 题型18 两圆的公切线问题 69．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【解答过程】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B. 70．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 71．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【解答过程】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 72．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【解答过程】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$