专题2.1 直线的倾斜角与斜率（5类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【考点1：直线斜率与倾斜角的关系】 1 【考点2：过两点的斜率公式】 5 【考点3：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 8 【考点4：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 12 【考点5：直线的方向向量】 17 【考点1：直线斜率与倾斜角的关系】 【知识点：直线斜率与倾斜角的关系】 若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tanα. 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 2．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 6．（24-25高二下·上海·随堂练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 8．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 【考点2：过两点的斜率公式】 【知识点：过两点的斜率公式】 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 1．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 2．（2024高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 3．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 5．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 【考点3：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 【知识点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 6．（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论. 【详解】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【答案】答案见解析 【分析】利用一般式方程判断两直线平行的等价条件来进行研究求解. 【详解】若直线与相交，则，即，解得且且； 若直线与平行或重合，则，解得或或． 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与重合； 综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合． 8．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 【考点4：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 【知识点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 1．（2024高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】假设成立，去推导是否成立，假设去推导是否成立即可得. 【详解】若，由，可得，若，即， 则需，即，即可得时，，故不是的充分条件； 若，则，，此时，故， 综上，直线是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 4．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)不平行也不垂直 (2)平行 (3)不平行也不垂直 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为-1，斜率相等时注意是否重合即可. 【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直. 5．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【分析】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论. 【详解】由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； 7．（24-25高一上·全国·假期作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 8．（2024高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【答案】四边形OPQR为矩形，理由见解析. 【分析】通过计算，,，得到四边形OPQR为矩形. 【详解】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 【考点5：直线的方向向量】 【知识点：直线的方向向量】 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为(-,-). 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即=(1,k),其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=. 1．（23-24高二上·河南洛阳·期中）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的方向向量的定义，即可得到结果. 【详解】因为直线的斜率为， 对比选项检验可知：该直线的一个方向向量是. 故选：B 2．（23-24高二上·河北张家口·期末）经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由已知得. 故选：A. 3．（2024高三下·浙江·阶段练习）直线的一个方向向量是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由直线方向向量的定义求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率，而， 所以. 故答案为： 5．（2024高二上·广东江门·阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为 . 【答案】 【分析】根据直线方向与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为， 故答案为： 6．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据直线的方向向量的定义可求 （2）判断出直线l过定点，分别求出，即可求出l的斜率a的取值范围 【详解】（1）因为是直线l的一个方向向量， 所以 （2）过定点，如图 因为， 要使直线l与线段有交点，则a的范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【考点1：直线斜率与倾斜角的关系】 1 【考点2：过两点的斜率公式】 2 【考点3：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 2 【考点4：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 4 【考点5：直线的方向向量】 7 【考点1：直线斜率与倾斜角的关系】 【知识点：直线斜率与倾斜角的关系】 若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tanα. 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 6．（24-25高二下·上海·随堂练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 7．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 8．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【考点2：过两点的斜率公式】 【知识点：过两点的斜率公式】 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 1．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 2．（2024高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 3．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 5．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【考点3：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 【知识点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 6．（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 8．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【考点4：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 【知识点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 1．（2024高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 4．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 5．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 7．（24-25高一上·全国·假期作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 8．（2024高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【考点5：直线的方向向量】 【知识点：直线的方向向量】 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为(-,-). 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即=(1,k),其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=. 1．（23-24高二上·河南洛阳·期中）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北张家口·期末）经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D．1 3．（2024高三下·浙江·阶段练习）直线的一个方向向量是 . 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ． 5．（2024高二上·广东江门·阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为 . 6．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$