数学（四川成都专用，北师大版）-2024年新九年级开学摸底考试卷

新九年级开学摸底考试卷（四川成都专用，北师大版） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：八下全册和九上第一章的内容 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列选项不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．B．C．D． 4．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 6．若的三边为，，，且满足，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．下列说法不正确的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．若分式方程有增根，则 C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是 D．若，则 8．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．因式分解： ． 10．若分式的值为0，则 ． 11．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 12．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的面积是 ． 13．如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为 ．    三、解答题 （本大题共5小题，共48分.第14题12分，第15、16题每题8分，17、18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： (1)解不等式组：； (2)先化简，再求值：，其中a取（1）的一个整数解． 15．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F． (1)求证：AD是线段CE的垂直平分线； (2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 17．观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 18．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，中，，，是边上的中线．平分交于点，、相交于点，则的度数是 ． 20．如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．    21．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 22．若整数使关于的不等式组，有且只有4个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值为 ． 23．在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则 ． 二、解答题 （本大题共3小题，共30分.其中：24题题8分，25题题10分，26题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 24．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 25．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 26．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，连接，判断的形状？并说明理由； (3)如图3，若，，，是的中点，求的长． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新九年级开学摸底考试卷（四川成都专用，北师大版） 数学·答案及评分标准 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．． 10． 11．24． 12．9． 13．1 三、解答题 （本大题共5小题，共48分.第14题12分，第15、16题每题8分，17、18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组， （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先计算小括号内的减法，再将除法转化为乘法进行化简，然后结合（1）的的取值范围，选取使分式有意义的的值代入计算即可； 解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及确定不等式组解集的方法． 【详解】（1）解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为； （2） ， ∵，， 当时，原式． 15． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形： （1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4． 16． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平移法则“上加下减、左加右减”确定对应点，，的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定对应点、、，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点P，根据两点之间线段最短即可解答 本题主要考查了平移作图、旋转作图、轴对称的性质等知识点，正确理解旋转的性质、平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：将向下平移5个单位后得到的， ∴， 故画图如下： 则即为所求． （2）解：根据旋转的性质作图如下： 即为所求． （3）解：如图： 则点P即为所求． ∵， ∴的最小值为． 17． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键． （1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式； （2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 故第4个等式为：． （2）第n个等式：． 证明：左边， 右边． 左边=右边， 等式成立． 18． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）仿照题意分解因式即可； （2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （3）先利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴； ② ， ∵， ∴ ， ∴； （3）解： ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．． 20．． 21． ． 22．． 23．或． 二、解答题 （本大题共3小题，共30分.其中：24题题8分，25题题10分，26题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 24． 【答案】(1)18万元；15万元 (2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格； （2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元； （2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：． 设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则， ， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时． 答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨． 25． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 26． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质. （1）平行四边形的性质可得, 再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再由条件四边形是平行四边形，即可得四边形为菱形即可解题； （2）先判断出, 根据等腰三角形的性质得出, 进而得出, 即可得出, 得出, 由, 得出是等边三角形, , 进而得出是等边三角形； （3）首先证明四边形为正方形，再证明 可得,, 再根据可得到是等腰直角三角形，由 等腰直角三角形的性质注即可求出的值. 【详解】（1）∵平分 ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴； （2）是等边三角形，理由为： ∵四边形是平行四边形, ， ∵, ∴, ∵, ∴, 由（1）知, 四边形是菱形, ， ∴, ∴为等边三角形, , ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的平分线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, 在和中 ， ， ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形； （3）如图所示: 连接,， ∵, 四边形是平行四边形, ∴四边形是矩形, ∴, 又由（1）可知四边形为菱形, ∴, ∴四边形为正方形. ∵, ∴, ∵为中点, ∴, ∴, 在和中, ∴. ∴， ∴是等腰直角三角形. ∵, 在中, 又∵, ． 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 新九年级开学摸底考试卷（四川成都专用，北师大版） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) A卷 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 9． ______________ 1 0． ______________ 1 1． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 14. （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 15．（8分） 16．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（10分） 18．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( B卷 19． _________________ 20 ． _________________ 21 ． ________________ 22 ． ________________ 23 ． ________________ 　　 24．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 第 2页 第 3页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 新九年级开学摸底考试卷（四川成都专用，北师大版） 数学·答题卡 A 卷 第Ⅰ卷（请用 2B铅笔填涂） 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9．______________ 10．______________ 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8分） 16．（10分） 17．（10分） 18．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4页 第 5页 第 6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ B卷 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．________________ 23．________________ 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 新九年级开学摸底考试卷（四川成都专用，北师大版） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：八下全册和九上第一章的内容 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 【详解】根据题意，是分式的是，共有3个， 故选B． 2．下列选项不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．若，则，此选项结论正确，故此选项不符合题意； B．若，则，此选项结论正确，故此选项不符合题意； C．若，则，此选项结论不正确，故此选项符合题意； D．若，则，此选项结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 在中，是的中点，， ， 由勾股定理得：， 故选：C． 5．如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 6．若的三边为，，，且满足，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理和等腰三角形的定义．根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定确定三角形形状即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 7．下列说法不正确的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．若分式方程有增根，则 C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是 D．若，则 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A，把分式方程的增根代入去分母后的方程可判定B，根据不等式的性质可判定C，把条件化为，，再代入计算可判定D，从而可得答案 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； 若关于x的方程有增根， ∴增根为 方程去分母得：，代入，解得，故B不符合题意； ∵关于x的不等式的解集是， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，， ∴，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，分式方程的增根问题，不等式的性质，条件分式的求值，掌握相关的基础知识是解本题的关键. 8．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④． 【详解】解：连接，且令，相交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴只要满足，那么四边形就是平行四边形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故②错误； 只要，则四边形是矩形， ∵， ∴当时，不存在矩形，故③错误； 当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确， 故选：B． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 10．若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分式的值为0即分子的值为0以及分母不为0，进行列式计算， 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ ∴ 故答案为： 11．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， ∵， ∴． 故答案为：24． 12．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形的性质可知，再根据菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形， 则菱形的面积为： 故答案为：9． 13．如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为1． 三、解答题 （本大题共5小题，共48分.第14题12分，第15、16题每题8分，17、18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： (1)解不等式组：； (2)先化简，再求值：，其中a取（1）的一个整数解． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组， （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先计算小括号内的减法，再将除法转化为乘法进行化简，然后结合（1）的的取值范围，选取使分式有意义的的值代入计算即可； 解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及确定不等式组解集的方法． 【详解】（1）解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为； （2） ， ∵，， 当时，原式． 15．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F． (1)求证：AD是线段CE的垂直平分线； (2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形： （1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平移法则“上加下减、左加右减”确定对应点，，的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定对应点、、，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点P，根据两点之间线段最短即可解答 本题主要考查了平移作图、旋转作图、轴对称的性质等知识点，正确理解旋转的性质、平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：将向下平移5个单位后得到的， ∴， 故画图如下： 则即为所求． （2）解：根据旋转的性质作图如下： 即为所求． （3）解：如图： 则点P即为所求． ∵， ∴的最小值为． 17．观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键． （1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式； （2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 故第4个等式为：． （2）第n个等式：． 证明：左边， 右边． 左边=右边， 等式成立． 18．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）仿照题意分解因式即可； （2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （3）先利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴； ② ， ∵， ∴ ， ∴； （3）解： ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，中，，，是边上的中线．平分交于点，、相交于点，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质得的度数，再根据角平分线算出的度数，再由“三线合一”的性质得的度数，即可求出结果． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，是上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 20．如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，利用数形结合思想是解题的关键．结合图象，不等式的解集是当直线图象在直线图象上方时，所对应自变量的取值范围，由此得解． 【详解】解：由图象可知，当时，直线图象在直线图象上方， ， 不等式的解集为． 故答案为：． 21．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理的计算是解题的关键． 根据等边三角形，旋转的性质可证是等边三角形，可得，由此可证，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵绕点旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为： ． 22．若整数使关于的不等式组，有且只有4个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等组和分式方程，分别解不等式组和分式方程，确定的取值范围，进而求解即可，熟练掌握它们的解法是解题的关键． 【详解】解：不等式组的解集是： ， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得：， 分式方程的解是：， ∵， ∴， ∴， 综上，（为整数）， ∴， 故答案为：． 23．在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．分两种情况考虑，①当时，②当时，然后过F作于G，根据勾股定理进行求解． 【详解】解：①如图所示，当时，过F作于G，则， 在中，， 又∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴中，； ②如图所示，当时，过F作于G，则， 在中，， 又∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴中，中，， 故答案为：或． 二、解答题 （本大题共3小题，共30分.其中：24题题8分，25题题10分，26题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 24．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 【答案】(1)18万元；15万元 (2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格； （2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元； （2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：． 设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则， ， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时． 答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨． 25．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 26．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，连接，判断的形状？并说明理由； (3)如图3，若，，，是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质. （1）平行四边形的性质可得, 再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再由条件四边形是平行四边形，即可得四边形为菱形即可解题； （2）先判断出, 根据等腰三角形的性质得出, 进而得出, 即可得出, 得出, 由, 得出是等边三角形, , 进而得出是等边三角形； （3）首先证明四边形为正方形，再证明 可得,, 再根据可得到是等腰直角三角形，由 等腰直角三角形的性质注即可求出的值. 【详解】（1）∵平分 ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴； （2）是等边三角形，理由为： ∵四边形是平行四边形, ， ∵, ∴, ∵, ∴, 由（1）知, 四边形是菱形, ， ∴, ∴为等边三角形, , ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的平分线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, 在和中 ， ， ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形； （3）如图所示: 连接,， ∵, 四边形是平行四边形, ∴四边形是矩形, ∴, 又由（1）可知四边形为菱形, ∴, ∴四边形为正方形. ∵, ∴, ∵为中点, ∴, ∴, 在和中, ∴. ∴， ∴是等腰直角三角形. ∵, 在中, 又∵, ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$