专题1.2 模型构造专题：反比例函数中k的几何意义（7类型变式训练）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题1.2 模型构造专题：反比例函数中k的几何意义 目录 【典型例题】 1 【类型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积】 1 【类型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 9 【类型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 11 【类型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积】 16 【类型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 20 【类型六 反比例函数中利用k值求不规则图形的面积】 27 【类型七 反比例函数中利用k值求规律性图形的面积】 33 【典型例题】 【类型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积】 例题：（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是    【变式训练】 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点M为反比例函数的图象上一点，过点M作轴于点N，连接，已知的面积为1.9，则k的值为（　　） A． B．1.9 C． D．3.8 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 3．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作轴于点，点在轴上，若的面积是2，则 ． 5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 6．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴，交另一个反比例函数的图象于点，为轴上一点，若，则的值为 ． 7．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图像分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为 ．    8．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【类型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【变式训练】 1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 【类型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在y轴上, A、B两点分别在反比例函数与的图象上，若的面积为5，则k的值为 ． 2．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线、的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为 ． 【类型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积】 例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是 ．    【变式训练】 1．（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，点在双曲线上，则长方形的面积= ．    3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 4．（2023·江苏常州·一模）如图，过的图像上点，分别作轴、轴的平行线交的图像于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则的值为 ． 【类型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 例题：（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【变式训练】 1．（2024·陕西汉中·一模）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为 ． 2．（23-24九年级上·江西鹰潭·期末）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 3．（2024·陕西·二模）如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是 ．    4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【类型六 反比例函数中利用k值求不规则图形的面积】 例题：（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，函数图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点O为坐标原点，则的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，两个正方形的中心与原点重合，边分别与两坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为 ． 4．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，双曲线经过四边形的顶点A、C，，平分与x轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是 ． 【类型七 反比例函数中利用k值求规律性图形的面积】 例题：（2024·山东聊城·一模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 【变式训练】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 模型构造专题：反比例函数中k的几何意义 目录 【典型例题】 1 【类型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积】 1 【类型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 9 【类型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 11 【类型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积】 16 【类型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 20 【类型六 反比例函数中利用k值求不规则图形的面积】 27 【类型七 反比例函数中利用k值求规律性图形的面积】 33 【典型例题】 【类型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积】 例题：（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是    【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点 ∴的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点M为反比例函数的图象上一点，过点M作轴于点N，连接，已知的面积为1.9，则k的值为（　　） A． B．1.9 C． D．3.8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此即可求解． 【详解】解：∵，的面积为1.9， ∴． ∵反比例函数图象在二四象限， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 3．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接，根据轴，得和关于边上的高相等，即，然后再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此可得的值． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， 和关于边上的高相等， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第二象限， ． 故答案为： 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作轴于点，点在轴上，若的面积是2，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义、平行线的性质等知识点，正确求出是解题的关键． 如图：连接，证明，即可得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数的图像上一点， ∴，解得：． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键，由可知，，根据几何意义，可以求出和，即可求出的面积． 【详解】如图，连接，， 点和点分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， 故答案为：4． 6．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴，交另一个反比例函数的图象于点，为轴上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解决问题的关键． 延长交y轴于点D，连接，根据，列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：延长交y轴于点D，连接， ∵轴，点是反比例函数的图象上一点，点B在图象上， ∴， ∴， 解得：（舍去） 故答案为：2． 7．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图像分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象和的几何意义，解一元一次方程，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 过点作轴于点，连接，根据反比例函数的图象和的几何意义可得，求出，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，    为的中点， ， 反比例函数在第一象限， ， 点、都在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 8．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 【类型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 【变式训练】 1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】过点A作轴于C，根据等边三角形的性质得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到即可求解． 【详解】解：过点A作轴于C， ∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、等边三角形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 【类型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C、D在y轴上, A、B两点分别在反比例函数与的图象上，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，连接，如图，利用平行四边形的性质得垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴垂直x轴， ∴，， ∴， ∵的面积． ∴， 解得或2， ∵． ∴ 故答案为： 2．（2024·四川南充·一模）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 轴，四边形是平行四边形， 轴，， ， ，， ， ， 边上的高， 的面积， 故答案为：8． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B，D在反比例函数的图象上，轴，对角线、的交点恰好是坐标原点O．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，设，先证明，由全等三角形的性质得到，继而解得，，过点作的延长线的垂线，得到，再解得，最后由整理解题即可．掌握相关图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 设， 轴，则轴，轴， ，， 是平行四边形的对角线，且对角线的交点为，即， ， ∴， ， ， 同理得， ， 过点作的延长线的垂线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【类型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积】 例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】直接根据反比例函数比例系数的几何意义求解． 【详解】解：∵是函数图象上的一点， 又， ∴四边形是矩形 ∴矩形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【变式训练】 1．（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数确定出，，利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 【详解】解：如图：    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，是矩形， 在反比例函数中， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 在反比例函数中， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，点在双曲线上，则长方形的面积= ．    【答案】 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，设点，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设点， 则长方形的面积为： ∵点在双曲线上， ∴ 故答案为： 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 4．（2023·江苏常州·一模）如图，过的图像上点，分别作轴、轴的平行线交的图像于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形中几何图形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，设，由此可求出的坐标，用表示出几何图形面积，即可求解． 【详解】解：根据题意，设， ∴在中，令，则；令，则; ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【类型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 例题：（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可. 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：， 故答案为: . 【变式训练】 1．（2024·陕西汉中·一模）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据比例系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 2．（23-24九年级上·江西鹰潭·期末）如图，点A，B分别在反比例函数和图象上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为12，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：四边形均为矩形， 且 ∵阴影部分的面积， ∴ 故答案为： 3．（2024·陕西·二模）如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，求阴影部分的面积，先根据点的坐标求出矩形的面积，再根据k的几何意义求出和，最后根据得出答案． 【详解】∵点， ∴，， ∴． ∵反比例函数， ∴， ∴． 故答案为：6． 4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【答案】(1)，9 (2)点的坐标（，6）或（6，） (3) 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．   【详解】（1）∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． （2）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴，   又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． （3）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴，   又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错． 【类型六 反比例函数中利用k值求不规则图形的面积】 例题：（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，函数图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点O为坐标原点，则的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数k值的几何意义，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E，根据题意可知，利用代入求值即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E， 根据题意可知， ， 点A、B在反比例函数图象上， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，两个正方形的中心与原点重合，边分别与两坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行， 设点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 小正方形的面积为， 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且， 大正方形在第一象限的顶点坐标为， 大正方形的面积为， 图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积， 故答案为：48． 3．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．延长交轴于点，延长交轴于点，连接，利用面积关系推出点是中点，点是的中点，利用代入数据计算即可． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，连接， 点在函数图象上，点在函数， ，， 点是中点， 同理点是的中点， ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，双曲线经过四边形的顶点A、C，，平分与x轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数比例系数，翻折变换等知识，先作辅助线，根据翻折的性质得到对应边相等，根据反比例函数的性质得到三角形面积以及点的坐标，即可求得结果，解题的关键是理解反比例函数的比例系数的几何意义． 【详解】解：延长交轴于一点E，延长交x轴于一点F，如图所示： ， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴， ∵平分与x轴负半轴的夹角， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵双曲线经过四边形的顶点A、C， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【类型七 反比例函数中利用k值求规律性图形的面积】 例题：（2024·山东聊城·一模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2024， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键． 【详解】解：由题意，可知点坐标分别为： ． 解法一： ∵， ， ， ∴． 解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积， ∴． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出阴影部分面积的表示方法是解题的关键．先根据反比例函数解析式求出的纵坐标，进而得出，相加即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …… 当时，， 当时，， 即的纵坐标分别为， ∴， ， ， ， ， …… ， ， ∴ ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，三角形的面积，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数图象上的点满足函数的表达式是解决问题的关键．首先设点的坐标为，则点，，，，…，，进而得，，，，，…，，然后根据直角三角形的面积公式可求出． 【详解】解：设点的坐标为， ∵…， ∴点，，，，…，， ∴，，，，，…，， 又∵，，，，，…均为直角三角形， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$