专题1.1 反比例函数的图象和性质（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题1.1 反比例函数的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据反比例函数的定义求参数】 1 【考点二 已知反比例函数的定义求函数的解析式】 3 【考点三 判断(画)反比例函数图象】 5 【考点四 已知反比例函数的解析式求图象和性质】 7 【考点五 比较反比例函数值或自变量的大小】 9 【考点六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 10 【考点七 已知反比例函数分布的象限求参数范围】 13 【考点八 已知反比例函数的增减性求参数】 14 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 根据反比例函数的定义求参数】 例题：（2024八年级下·浙江·专题练习）已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数，则 ． 2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）若是反比例函数，则此函数解析式为 ． 3．（22-23八年级·上海·假期作业）如果是反比例函数，那么的值是 ． 【考点二 已知反比例函数的定义求函数的解析式】 例题：（2024上·安徽宣城·九年级统考期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【变式训练】 1．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 2．（2024上·上海宝山·八年级统考期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【考点三 判断(画)反比例函数图象】 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）反比例函数的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）反比例函数的图象大致是（　　） A．  B．  C．  D．   2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）当时，反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【考点四 已知反比例函数的解析式求图象和性质】 例题：（2024上·云南保山·九年级统考期末）对于函数，下列说法错误的是（　　） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点在该函数图象上 【变式训练】 1．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．若，则 D．若，则 2．（2023上·贵州毕节·九年级统考期末）若点在反比例函数的图象上，则下列说法错误的是（　　） A．该函数图象在第一、三象限内 B．点也在该函数图象上 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．该函数图象关于原点对称 3．（2024上·河南商丘·九年级统考期末）对于反比例函数，下列结论中错误的是（    ） A．图像位于第二，四象限 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点在图像上，则点也一定在图像上 【考点五 比较反比例函数值或自变量的大小】 例题：（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知点都在反比例函数的图像上，则 ．（填“”或“”） 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是 ．（用表示） 【考点六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 例题：（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【变式训练】 1．（15-16九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为，则点B的坐标为 ． 2．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【考点七 已知反比例函数分布的象限求参数范围】 例题：（23-24九年级下·重庆·期中）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是 ． 2．（2024·四川成都·三模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 3．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 【考点八 已知反比例函数的增减性求参数】 例题：（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（      ） A． B．0 C．5 D．6 3．（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁大连·一模）已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（    ） A．12 B．24 C．20 D． 5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知点在反比例函数（为常数）图像上，．若，则的值为（    ）． A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 6．（2024·山西晋城·二模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（      ） A．图象必经过 B．图象位于一、三象限 C．随的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 二、填空题 7．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是反比例函数，则 ． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）点在反比例函数的图像上，则的值为 ． 9．（2024·广西钦州·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大面增大，k的取值范围是 ． 11．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）已知点是双曲线上的点，则代数式 ． 12．（2024·陕西西安·三模）在函数的图象上有两点，当时，，且图象上有三点，则函数值a，b，c的大小关系为 ． 三、解答题 13．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 15．（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 16．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，过作轴于点，过作于点D． (1)填空：______，______； (2)求的长． 17．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 18．（2024·山东济南·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． x … 2 3 4 5 6 7 8 … y … 9 a 3 2 b … (1)①列表，表中________，________； ②描点：根据表中数值，描出①中的点； ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象； (2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ； (3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 反比例函数的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据反比例函数的定义求参数】 1 【考点二 已知反比例函数的定义求函数的解析式】 3 【考点三 判断(画)反比例函数图象】 5 【考点四 已知反比例函数的解析式求图象和性质】 7 【考点五 比较反比例函数值或自变量的大小】 9 【考点六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 10 【考点七 已知反比例函数分布的象限求参数范围】 13 【考点八 已知反比例函数的增减性求参数】 14 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 根据反比例函数的定义求参数】 例题：（2024八年级下·浙江·专题练习）已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟记定义是解本题的关键，根据反比例函数的定义可得，再解方程可得答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，， ∴， 故答案为： 2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）若是反比例函数，则此函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义先求出的值，再求出函数解析式． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：， ∴此函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 3．（22-23八年级·上海·假期作业）如果是反比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义得到，求解即可得到答案． 【详解】解：是反比例函数， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【考点二 已知反比例函数的定义求函数的解析式】 例题：（2024上·安徽宣城·九年级统考期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 【变式训练】 1．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 2．（2024上·上海宝山·八年级统考期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 【考点三 判断(画)反比例函数图象】 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）反比例函数的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：， 则函数在第二、四象限． 故选：B 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）反比例函数的图象大致是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象性质进行判断解答即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 故选：D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）当时，反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键，根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选C． 【考点四 已知反比例函数的解析式求图象和性质】 例题：（2024上·云南保山·九年级统考期末）对于函数，下列说法错误的是（　　） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：A、∵，∴图象位于一、三象限，不符合题意； B、∵，∴图象位于一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，符合题意； C、反比例函数的图象，既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； D、当时, ，∴点在该函数图象上，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，图象经过点，此选项正确，不符合题意； 、由得，图象位于第二、四象限，此选项正确，不符合题意； 、若，则，此选项正确，不符合题意； 、若，则，此选项不正确，符合题意； 故选：． 2．（2023上·贵州毕节·九年级统考期末）若点在反比例函数的图象上，则下列说法错误的是（　　） A．该函数图象在第一、三象限内 B．点也在该函数图象上 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．该函数图象关于原点对称 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再结合反比例函数比例系数k与图像的关系即可判断A、B选项，根据反比例函数的性质：“当时，反比例函数经过第一、三象限，y随x的增大而减小”即可判断C选项，再根据反比例函数图象的特点：“反比例函数图象关于原点对称”即可判断D选项． 【详解】解：A、∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数图象在第一、三象限内，故A选项不符合题意； B、∵， ∴此点在反比例函数的图象上，故B选项不合题意； C、当时，y的值随x值的增大而减小，故C选项合题意； D、该函数图象关于原点对称，故D选项不合题意． 故选：C． 3．（2024上·河南商丘·九年级统考期末）对于反比例函数，下列结论中错误的是（    ） A．图像位于第二，四象限 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点在图像上，则点也一定在图像上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，性质，对称性和图像过点问题，正确理解性质，是解题的关键． 【详解】反比例函数， A. 图像位于第二，四象限，正确，不符合题意； B. 图像关于原点对称，错误，符合题意； C. 当时，y随x的增大而增大；正确，不符合题意； D. 若点在图像上，则，故点也一定在图像上，正确，不符合题意； 故选B． 【考点五 比较反比例函数值或自变量的大小】 例题：（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知点都在反比例函数的图像上，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数函数值的大小；分别求出，的值，比较即可． 【详解】解：当时，；当时，； 则； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点A在第三象限，在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．由反比例函数的可知，，函数的图象在二四象限，随的增大而增大，由此进行判断． 【详解】解：由反比例函数的可知，，当时，随的增大而增大， 当时，则， 又在第二象限，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是 ．（用表示） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的比例系数可确定反比例函数的增减性，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数中，， ∴， ∴反比例函数的图象，在每个象限随的增大而减小， 当时，；当时，； ∵， ∴， 故答案为： ． 【考点六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 例题：（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（15-16九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称，A的坐标为 ∴B点的坐标为． 故答案为：． 2．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 【详解】解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【考点七 已知反比例函数分布的象限求参数范围】 例题：（23-24九年级下·重庆·期中）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与系数的关系，根据“时，反比例函数图象分布在第二、四象限；时，反比例函数图象分布在第一、三象限，”进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了反比例函数的图象分布，熟练掌握分布条件是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 解得． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·三模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，得出，解出不等式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限 ∴ ∴ 故答案为： 3．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 【答案】四/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【考点八 已知反比例函数的增减性求参数】 例题：（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可． 【详解】解：，， 反比例函数在各个象限内，随的增大而增大， 点、在同在第四象限，，即． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，直接利用反比例函数的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 点、在反比例函数的图象上，且， 时，点、在第一象限内， ， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知，只有C选项中的函数是反比例函数， 故选：C． 2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（      ） A． B．0 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故选：D． 3．（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 4．（2024·辽宁大连·一模）已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（    ） A．12 B．24 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于是解题的关键． 根据反比例函数的系数即可得到结论． 【详解】解：，，三点，反比例函数的图象经过，，三点中的两个点，， 反比例函数的图象经过，两点，． 故选：B． 5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知点在反比例函数（为常数）图像上，．若，则的值为（    ）． A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． 根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴或， 假设且，则， ∴，， ∴， 同理：当且时，． 故选B． 6．（2024·山西晋城·二模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（      ） A．图象必经过 B．图象位于一、三象限 C．随的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象与系数之间的关系，反比例函数的增减性等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、在中，当时，，则图象不经过，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴图象位于二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴图象位于二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，原说法错误，不符合题意； D、如果点在它的图象上，则，则点也在它的图象上，原说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得出，，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，， 解得：， 故答案为：． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）点在反比例函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，把点代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上 ∴把点代入 得 解得 故答案为： 9．（2024·广西钦州·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入，即可求出的值进行作答． 【详解】解：依题意，∵反比例函数的图象经过点 ∴把代入 得 解得 故答案为： 10．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大面增大，k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质．熟练掌握反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则是解题的关键．根据反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）已知点是双曲线上的点，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的运用，根据点在反比例函数图象上可得，代入计算即可求解，掌握反比例函数中关于点坐标计算比例系数的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴代数式， 故答案为：． 12．（2024·陕西西安·三模）在函数的图象上有两点，当时，，且图象上有三点，则函数值a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据当时，可知在每个象限内，y随x增大而增大，则反比例函数图象经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵当，， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∴，即反比例函数图象经过第二、四象限， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式； （2）根据反比例函数的增减性即可； 此题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数图象经过， ∴， ∴； （2）由（1）得：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∴反比例函数图象上两点，，， ∴． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， ，， ，当时，，当时，． ， ，， ； （2）解：当，． 15．（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． 16．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，过作轴于点，过作于点D． (1)填空：______，______； (2)求的长． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，将图象上点的坐标代入函数关系式是常用解题方法． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点、点坐标代入即可求出、的值； （2）求出线段的长，再根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）点，在反比例函数的图象上， ，， 故答案为：，； （2）如图，连接， 点，， ， ， 即， 解得． 17．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得； （2）①由题意，结合，求得，代入，即可求得； ②求得，由得到，即，解得． 【详解】（1）解：反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ， ， ； （2）解：①点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ， ， ， ， 代入得，， 解得， ； ②， ， ， ， ， ． 18．（2024·山东济南·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． x … 2 3 4 5 6 7 8 … y … 9 a 3 2 b … (1)①列表，表中________，________； ②描点：根据表中数值，描出①中的点； ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象； (2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ； (3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到． 【答案】(1)①5；；②见解析；③见解析 (2)见解析 (3)函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，求反比例函数值，反比例函数图象的性质等等： （1）①先把，代入解析式求出函数解析式，再分别求出当时，当时y的值即可得到答案；②在坐标系中描点即可；③根据所描的点连线即可； （2）根据所画函数图象进行求解即可； （3）观察函数图象可得函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， ∴对应的函数解析式为， ∴当时，，当时，， 故答案为：①5；； ②如图所示，即为所求； ③如图所示，即为所求； （2）解：由函数图象可知，当时，y随x增大而减小；当，函数有最小值； （3）解：观察函数图象，可知函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$