11.1.2三角形的高、中线与角平分线 导学案 2024—2025学年人教版数学八年级上册

三角形的高、中线与角平分线 【学习目标】 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性. 2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线. 重点：三角形的高、中线与角平分线的特征. 难点：三角形的高、中线与角平分线的应用. 一、基础知识 1.三角形的高 2.三角形的中线 3.三角形角平分线 训练：1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.A G DD E F C I H B 画中线AD,BE,CF 画高DG,EH,FM 画角平分线GM,HN,IP 2.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线 几何推理 图例 三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______° 三角形的中线 ∵CF是△ABC的中线， ∴①AF=_____=______AC. ②AC=____AF=____CF. CB 三角形 的角平分线 ∵BE为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC. ②∠ABC=____∠1=___∠2. 二、例题精选 【例1】在RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10.求AB边上高． 【例2】如图，钝角ΔABC. （1)画出AC边上的高BM与BC边上的高AN; （2)若AC=3BC,求的值。 【例3】如图，ΔABC中，AE,CD是ΔABC的两条高，AB=4,CD=3. （1)请画出AE,CD; （2)求ΔABC的面积； （3)若AE=3,求BC的长． 【例4】如图AD为ΔABC的中线，点E为AD上一点，求证：SΔABE=SΔACE. 【例5】如图AD、BE、CF为ΔABC的三条中线，相交于点O,求证：. 【例6】如图，ΔABC的面积是60,AD:DC=1:3,BE:ED=4:1,EF:FC=4:5,求ΔBEF的面积． 【例7】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 【例8】在ΔABC中，AB=2,BC=4,CD⊥AB于点D. （1）如图1，AE⊥BC于点E，求证：CD=2AE; （2）如图2，P是AC上任意一点（点P不与A，C重合），过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，求证：2PE+PF=CD; （3）在（2）中，若P为AC的延长线上任意一点，其他条件不变，请你在备用图中画出图形，并探究线段PE，PF，CD之间的数量关系. 【例9】如图，长方形ABCE,长BC=12,AB=10,SΔDEF=24,求S阴影． 三、课后作业 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ） A B C D 5.（1） ∵BE是△ABC的角平分线， ∴____ = _____= _____. 1. （2）∵CF是△ABC的角平分线， 1. ∴∠ACB= 2______= 2______. 6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=____. 7.如图，ΔABC中，D，E分别为BC，AD的中点，SΔABC=20，则阴影部分的面积是（ ） A.18 B.10 C.5 D.1 9.如图，在ΔABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且SΔABC=16cm2，则S阴影等于（ ） A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2 10.如图，ΔABC中，D是AB的中点，且AE：CE=3:1,S△CEP=1， 则S△BPC=________. 11.在ΔABC中，AB=AC,，DB为ΔABC的中线，且BD将ΔABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边的长． 7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. 12.如图，点O是等腰ΔAB底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF=3,ΔABC的面积为12，则AB=_______. 13.如图，在ΔABC中，E为AC的中点，D为BC上一点，BD:CD=2:5,AD和BE交于点0,若SΔAOE-SΔBOD=5,求ΔABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$