数学（上海专用，沪教版2020）-2024年新高二开学摸底考试卷

新高二开学摸底考试卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：必修第二册+第三册第10章 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数，（i是虚数单位），则 ． 2．已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 3．函数的最小正周期为 ． 4．设向量，则在方向上的数量投影为 . 5．方程在内的解为 . 6．已知复数是实系数二次方程的一根，则b= . 7．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 8．在中，角，，的对边分别为，，，，则 ． 9．已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①，则    ②，则 ③，则    ④，则 10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ． 12．在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 14．已知向量，，则下列结论： ①若，则 ②若，则 ③若与的夹角为，则 其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 15．若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20题16分，第21题20分.) 17．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. (1)若，求A和外接圆半径R的值； (2)若三角形的面积，求c. 18．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． (1)求的最大值及此时的值； (2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 20．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且. (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 21．对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：必修第二册+第三册第10章 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】直接计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 2．已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 【答案】2 【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 由题意可得，解得， 所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 故答案为：2. 3．函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 4．设向量，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据数量投影的概念和公式可解． 【详解】在方向上的数量投影为． 故答案为： 5．方程在内的解为 . 【答案】/ 【分析】由在上单调递减求解即可. 【详解】设，，则函数在上单调递减， 又因为， 所以方程在内有唯一解为. 故答案为：. 6．已知复数是实系数二次方程的一根，则b= . 【答案】 【分析】由韦达定理、复数四则运算即可直接运算求解. 【详解】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故都是方程的解， 所以,. 故答案为：. 7．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 8．在中，角，，的对边分别为，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【详解】， ， 由正弦定理得，， ， ， ， 又，， ， 即， ， ， 又，， ，即. 故答案为：. 9．已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 【答案】①④ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断. 【详解】对①，因为，所以， 又因为，所以，①正确； 对②，由，可得或，②错误； 对③，由，可得直线与平面的位置关系可以是平行或相交，③错误； 对④，因为，所以，④正确； 故答案为：①④. 10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    【答案】45° 【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可. 【详解】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD， 又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD， 又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°． 故答案为：45°． 12．在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 【答案】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可． 【详解】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误； 对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误； 对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确； 下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形． 证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点， 连接，，， 由，为，，则，且，同理，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形． 对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误． 故选：C． 14．已知向量，，则下列结论： ①.若，则 ②.若，则 ③.若与的夹角为，则 其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示判断①，根据数量积的坐标表示判断②，首先求出、，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律判断③. 【详解】向量，， 若，则，解得，故①正确； 若，则，解得，故②正确； 因为，， 若与的夹角为，则， 故，故③错误. 故选：B 15．若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 16．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20题16分，第21题20分.) 17．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. (1)若，求A和外接圆半径R的值； (2)若三角形的面积，求c. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）由题可得，利用正弦定理即求； （2）利用三角形面积公式可得，再利用同角关系式及余弦定理即求.a 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理，得，即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）由得， 于是. 当时，由余弦定理，得. 当时，由余弦定理，得. 所以，或. 18．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． (1)求的最大值及此时的值； (2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)最大值是，此时. (2) 【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量； （2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得． 【详解】（1）由题意知的坐标分别为，． ， . 由题意可知. ，. 所以，故时， 的最大值是，此时. （2），， . . 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 20．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 21．对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【详解】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二年级开学摸底考试卷（上海专用） 数学·答案及评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．2 3．/ 4． 5．/ 6． 7．3.2 8．/ 9．①④ 10． 11．45° 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13 14 15 16 C B B A 三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 解：（1）因为，则，且. 由正弦定理，得，即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）由得， 于是. 当时，由余弦定理，得. 当时，由余弦定理，得. 所以，或. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 解：（1）由题意知的坐标分别为，． ， . 由题意可知. ，. 所以，故时， 的最大值是，此时. （2），， . . ， 所以，故的周长为. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 解：（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 20．（本题满分1分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题10分. 解：（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分10分. 解：（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 数学 答案及评分标准 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 新高二开学摸底考试卷（上海专用） 数学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _________ ___________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20题16分，第21题20分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ． （1 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 9 ． （1 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（1 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ．（1 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$