专题04探究二次函数中存在性问题（精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题04探究二次函数中存在性问题（精讲精练+过关检测） 题型01探索与特殊几何图形有关的存在性问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【例1-2】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，已知直线与抛物线：相交于点和点两点． (1)求抛物线函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，到对称轴的距离等于到直线的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例1-3】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)连接，在拋物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (3)已知为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中是否存在一点，恰好使得，，，为顶点平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程，若不存在，说明理由． 【变式1-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02探索与面积有关的存在性问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为M，试判断的形状； (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【例2-3】（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，连函数都是爱你的形状，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是图案与坐标轴的交点，且． (1)求k的值及的长； (2)在y轴左侧的抛物线的图像上是否存在一点P，使与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【变式2-2】（22-23九年级上·湖北随州·阶段练习）已知抛物线交轴于和，交轴于．    (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标； (3)是抛物线的顶点，为抛物线上的一点，当时，请直接写出点的坐标； (4)若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标． 【变式2-3】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，与坐标轴的交点分别为A、B、C．    (1)求此函数解析式，及A、B、C的坐标， (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为______（直接写出结果） (3)在轴上方的抛物线上是否存在点D，使得的面积为8，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023·海南省直辖县级单位·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 5．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．    (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 6．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04探究二次函数中存在性问题（精讲精练+过关检测） 题型01探索与特殊几何图形有关的存在性问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或 【例1-2】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，已知直线与抛物线：相交于点和点两点． (1)求抛物线函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，到对称轴的距离等于到直线的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在，或． 【分析】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形的面积最大时，的面积最大． （1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入即可求得二次函数的解析式； （2）过点M作轴于H，交直线于K，求出直线的解析式，设点，则，利用函数思想求出面积的最大值，可推出此时平行四边形的面积S及点M的坐标； （3）设点P坐标为，分别表示点P到直线的距离和到对称轴的距离，根据题意构造方程求解即可． 【详解】（1）由题意把点代入， 得， 解得， ∴此抛物线函数表达式为：； （2）如图1，过点M作轴于H，交直线于K， 设直线表达式为， 将点代入中， 得 解得，， ∴， 设点，则， 则， ∴ ， 根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，此时点M坐标为， ∴以为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时， ，． （3）存在；理由如下： 设点P坐标为， ∴点P到直线的距离为： ， 点P到对称轴的距离为：， ∴， 当时，， 解得， 点坐标为， 当时，， 解得， 点坐标为． 故点坐标为或 【例1-3】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)连接，在拋物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 【答案】(1)存在， (2)点M横坐标为2或或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，最短路径问题，平行四边形的性质． （1）用待定系数法求抛物线的函数解析式，可得抛物线的对称轴．当三点共线时，的周长有最小值，把代入抛物线的解析式中，求得点C的坐标，直线与对称轴的交点为P点，设直线的解析式为，把点B，点C的坐标代入，求解即可得到直线的解析式，根据点P在直线上，也在对称轴上，即可求出点P的坐标； （2）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下： 将，代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，对称轴为； ∵A、B点关于直线对称， ∴， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值， 把代入中，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入中，得， ∴点P的坐标为． （2）∵点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点， 设，，， 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：M点横坐标为2或或 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或 【分析】（1）令求出点A的坐标，令求出点B的坐标即可； （2）根据二次函数解析式写出对称轴方程，再利用对称性求出点B关于对称轴的对称点，再求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行四边形对边平行且相等可得，分点P在点A的上方和下方两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 所以点， 令，则 ， 所以，点； （2）解：对称轴方程为直线； 因为点B的坐标为 所以点B关于对称轴的对称点， 设直线为，将代入， 得，， 解得：， 所以， 当时，， 所以； （3）解：存在，以为顶点的四边形为平行四边形， ①时， 当点P在点A的上方时，如下图： 点P的坐标为， 当点P在点A的下方时， 点P的坐标为， ②当时，点P在第一象限，如下图： 不符合题意. 综上所述，点P的坐标为或时，以为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意（3）有两种情况 【变式1-2】（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (3)已知为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中是否存在一点，恰好使得，，，为顶点平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点、的坐标代入，解关于，的二元一次方程即可； （2）根据抛物线的对称性可得点、关于对称轴对称，根据两点之间线段最短可得线段的长为的最小值，再确定直线解析式，求出当时的函数值即可； （3）分三种情况：①点、点为相对的顶点；②点、点为相对的顶点；③点、点为相对的顶点，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）根据题意，抛物线与轴交于点、， ∴点、关于对称轴对称，即抛物线的对称轴垂直平分， 连接交对称轴于点， ∴， ∴，此时线段的长为的最小值，则点即为所作， 由抛物线可得对称轴为直线， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）设点， ∵抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∵，， ①如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，符合条件的点坐标为或或． 【点睛】本题二次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，平行四边形的判定，对称的性质，垂直平分线的性质，利用两点之间线段最短解决最短路径问题，利用平移的性质确定点的坐标．理解坐标与图形性质并利用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键 【变式1-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或或． 【分析】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式； （2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点C坐标， 将代入一次函数得：， ∴点B坐标， 将点B、C代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线． （2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况： 由（1）可得，点，，， ， 当时，，解得（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，，解得或0（0舍去）， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为； 综合上述，存在，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题 题型02探索与面积有关的存在性问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为M，试判断的形状； (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，得，将代入可得抛物线的解析式为； （2）由，得抛物线的顶点，即知，故是直角三角形； （3）设点P的横坐标为t，则由三角形的面积公式可表达的面积，建立关于t的方程，求出t即可． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴交于两点， 则函数关系式为：， ∴， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）存在，理由如下： ∵， ∴， 设点P的横坐标为t，则， ∴的面积为：， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，坐标与图形的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解决本题的关键是掌握二次函数的性质 【例2-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，． 【分析】（1）先由点B在直线上求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标； （3）作轴于点P，设，知，根据四边形的面积建立关于n的函数，再利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， 把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设，则，则， ， ， 当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去， ； 当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去， ； 综上可知P点坐标为或； （3）解：存在这样的点Q，使得四边形的面积最大． 如图，过点Q作轴于点P，    设，则， 四边形的面积 ， 当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点Q的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式 【例2-3】（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，连函数都是爱你的形状，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是图案与坐标轴的交点，且． (1)求k的值及的长； (2)在y轴左侧的抛物线的图像上是否存在一点P，使与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）用待定系数法求得k与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得的长度，根据对称性质求得，便可求得最后结果； （2）由与的面积相等可得，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴， ∴, ∵“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成， ∴， ∴； （2）联立， 解得或， ∴， ∵与的面积相等 ∴， ∴点P的纵坐标为， 令可得，，解得， ∴． ∴存在一点，使与的面积相等． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，关于直线对称的点坐标特征等，解题的关键是掌握关于直线对称的点坐标的关系 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)，32 【分析】(1) 当时，．当时，．计算求解即可． (2) 根据菱形的判定，建立等式求解即可． (3)设点P的坐标为，分割法表示出四边形的面积，构造关于m的二次函数，利用抛物线的最值思想计算即可． 本题考查了抛物线与坐标轴的交点，菱形的判定，构造二次函数求最值． 【详解】（1）当时，．解得，． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别是，． 当时，． ∴点C的坐标是． （2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点D． ∵四边形为菱形， ∴，且． ∴，即P点的纵坐标为． 由，得 ，（不合题意，舍去）． 所以存在这样的点，此时点P的坐标为． （3）连接PO，作同于点M，轴于点N． 设点P的坐标为， ∵点A，B，C的坐标分别是，，， ∴，，，，． ∴ ∴当时，． 此时点P坐标为． ∴当点P运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【变式2-2】（22-23九年级上·湖北随州·阶段练习）已知抛物线交轴于和，交轴于．    (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标； (3)是抛物线的顶点，为抛物线上的一点，当时，请直接写出点的坐标； (4)若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 (4)或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，过点作轴交于点，求出直线的解析式，设，，由表示出对应的面积，即可求解； （3）先求出点D的坐标为，进而得到，由此求出，据此求出点P的坐标即可； （3）当、、分别是对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点，    抛物线解析式为， ，， 设直线解析式为，则， 解得：， 设直线解析式为， 设，，， ， ∵， 当时，有最大值， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； ∴点P的坐标为或或或；    （4）解：抛物线解析式为，，， 抛物线的对称轴为直线， 设点，点， 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：，则点； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：，则点； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：，则点； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，三角形的面积，解决本题的关键是掌握二次函数的图像和性质 【变式2-3】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，与坐标轴的交点分别为A、B、C．    (1)求此函数解析式，及A、B、C的坐标， (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为______（直接写出结果） (3)在轴上方的抛物线上是否存在点D，使得的面积为8，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)函数解析式为，，， (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）由题意知，，解得，，，解得，，（舍去），即，当，，即，当，，解得，，即，； （2）由，可得对称轴为直线，由，可知当时，最小，，当时，最大，，进而可得； （3）设，则，即，解得，，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，解得，， ，解得，，（舍去）， ∴， 当，，即， 当，，解得，，即，， ∴函数解析式为，，，； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，最小，， 当时，最大，， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用 1．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可； （2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时 ， 故点 当时，有 解得： 设直线的表达式为：； 将代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 同理可得：直线的表达式为：； （2）解：①存在：设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 2．（2023·海南省直辖县级单位·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； (3)存在；点的坐标为或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）①过点作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，则；当最大时，有最大值；设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质，即可；②根据函数解析式，求出点的坐标，则对称轴为：，设点，根据两点间的距离公式，即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）过点作于点，过点作轴交于点， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴当最大时，有最大值， 设的解析式为， ∴， ∴， 解得：， ∴设的解析式为， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴； ②∵， ∴点， ∵点， ∴对称轴为：， 设点， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴．    （3）存在，理由如下： 由（2）得，对称轴为； 设点，， ①当为平行四边形的对角线时 ∴， 解得：， ∴点，； ②当为平行四边形的对角线时； ∴， 解得：， ∴点，； ③当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得：， ∴点，；      综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的几何变换，平行四边形的判定和性质，学会使用数形结合的方法． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案． （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：点为抛物线上一点， 设， 点为轴上一点， 设， 当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得， ， ②为平行四边形对角线时， ， 解得， ， 此时点和点重合，故该情况不成立， 综上所述，点的坐标； （3）解：设的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 表示为：， 得， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 表示为：， 得， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 5．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．    (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为或或 (3)E为的中点，四边形的面积最大，最大面积为， 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由，可得对称轴为直线，即，，设，则，，当是以为腰的等腰三角形，分，两种情况计算求解即可； （3）由，对称轴为直线，可得，待定系数法求直线的解析式为，如图，则，可知当最大时，四边形的面积最大，设，则，，可知当时，最大，最大值为，则，，为的中点，然后作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 设，则，， 当是以为腰的等腰三角形，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，或， ∴； 当时，，即， 解得，或， ∴，； 综上所述，存在，点的坐标为或或； （3）解：∵，对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图，    ∴， ∴当最大时，四边形的面积最大， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴， ∴，为的中点， ∴E为的中点，四边形的面积最大，最大面积为，． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合，一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合，一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； （3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； （2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下； 如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于， ∵，， ∴，即，点即为所求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，的对称轴为直线， 将代入得，， ∴， ∴存在，． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 8．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$