专题05特殊平行四边形的性质和判定的综合应用的三种题型-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题05特殊平行四边形的性质和判定的综合应用的三种题型 题型01特殊平行四边形中的操作型问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）实践与操作： 已知是等边三角形，点B，D关于直线对称，连接，． (1)直接判断：四边形是_______形； (2)在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由． (3)在满足（2）的条件下，探究线段与之间的数量关系，并加以证明． 【例1-2】（23-24九年级上·山西运城·期中）操作与探究 【操作】在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的纸片进行以下操作，并探究其中的问题： 第一步：如图2，沿过点的直线折叠，使得点落在上，展开铺平该纸片，折痕为； 第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点与点重合，展开铺平该纸片，折痕为； 第三步：如图4，连接． 【探究】 任务一：判断四边形的形状，并说明理由； 任务二：在纸片中，若，折痕，四边形的面积为_______    【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，． (1)实践与操作：用尺规作图法过C点作边上的高；（保留作图痕迹） (2)应用与计算：在（1）的条件下，若，试求菱形的面积． 【变式1-2】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题： 将纸片沿过边中点D的直线折叠，点C的对应点恰好落在边的中点处，折痕交于点E． （1）探究一：判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究二：若，四边形的对角线之和为14，求四边形的面积． 【变式1-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部点M，再将纸片沿过点A的直线AF折叠，使与重合，此时______度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点E在边某一位置时，点N恰好落在折痕上，此时______度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点P．求证：； （2）若，则线段的长______． 题型02特殊平行四边形中的探究型问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）已知四边形和均为正方形． (1)如图①，当点A，B，G三点在一条直线上时，连接，，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点A，B，G三点不在一条直线上时，则（1）的结论是否成立？请说明理由． 【例2-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图1，点E是正方形外的一点，以为边构造正方，点M是边上的动点，点N是的边上的动点． （1）证明：； （2）如图（1）：当和分别是和的中线时，试猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由． 类比猜想： 小亮解决完上述问题后，进行了积极的思考，他认为：在（2）问中，当分别是和的高（如图2），其他条件不变时，问题（2）的结论依然成立．请你说明小亮的观点是否正确，并说明理由． 感悟发现： 小惠认为：在问题（2）中，当时，问题（2）的结论依然成立．请你思考： 1）小惠的说法是否正确？答：　 　．（填写“正确”或“不正确”，不需要证明） 2）思考上面的探究过程，当和还满足什么条件（其他条件不变）时，使得（2）中的结论依然成立？请直接写出满足的条件（写出一个即可，不要求证明）． 【例2-3】（22-23八年级下·江西新余·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在中，，点D为直线上一动点，（点D与不B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． (1)观察猜想 如图①当点D在线段上时，①与的位置关系为______； ②之间的数量关系为______（将结论直接写在横线上）． (2)数学思考 如图②，当点D在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明； (3)拓展延伸 如图③，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若已知，请求出的长． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G． (1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________． (2)如图2，若点E在正方形内部（，）． ①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 【变式2-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为______； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 【变式2-3】（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知矩形（如图1）的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合，连接，取的中点，连接，试探索解决下列问题：    (1)求证：； (2)如图2，若将（1）中的矩形绕点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由． 题型03特殊平行四边形中的阅读理解型问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·山东济宁·期中）阅读与理解 图1是边长分别为m和的两个正方形纸片和叠放在一起的图形（点F，G分别在，上）． (1)操作与证明 ①将图1中的正方形固定，将正方形绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图2所示．猜想：线段与之间的大小关系，并证明你的猜想； ②若将图1中的正方形绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图3所示．那么（1）中的结论还是否成立吗？请说明理由． (2)操作与发现 根据上面的操作过程发现，当为________度时，线段的最大值是________；当为________度时，线段的最小值是________？ 【例3-2】（23-24九年级上·安徽黄山·期末）阅读与理解： 如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且． 操作与证明： （1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题： ①证明：； ②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 猜想与探索： （2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论． 【例3-3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．求证：． (1)点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程： (2)拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． (3)思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 (1)分解因式： ； (2)代数式的最小值 ； (3)某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【变式3-2】（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，在中，，，点为线段上一动点（不与端点，重合），以为边在的上方作正方形，连接，求证：．    图① 证明：，，． 四边形是正方形，，． ，， ________． 又，，________，． ，． 【探究】          图②                    图③ （1）如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件同上．请判断、和三条线段之间的关系，并说明理由． （2）如图③，当点在线段的反向延长线上时，且点A，分别在直线的两侧，其他条件同上，在正方形中，对角线、相交于点，若，，直接写出的长． 【变式3-3】（22-23九年级上·浙江丽水·期中）阅读下面材料： 子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是 ． 参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度． （2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05特殊平行四边形的性质和判定的综合应用的三种题型 题型01特殊平行四边形中的操作型问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）实践与操作： 已知是等边三角形，点B，D关于直线对称，连接，． (1)直接判断：四边形是_______形； (2)在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由． (3)在满足（2）的条件下，探究线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)菱 (2)大小不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得垂直平分，继而得出，便可证明； （2）连接，过点P作交于点E，于点F，可证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明，，即可求解； （3）由等腰三角形三线合一的性质可得，，即可证明． 【详解】（1）解：连接， 是等边三角形， ， 点B，D关于直线对称， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱； （2）解：当点Р在线段上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等，理由如下： 将线段绕点Р逆时针旋转，使点D落在延长线上的点Q处， ， 是等边三角形， ， 连接，过点P作交于点E，于点F， 则， ， 是等边三角形， ， ， ， 点B，D关于直线对称，点P在线段上， ，， ， ， ， ， 即， ； （3）解：，证明如下： ，， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键 【例1-2】（23-24九年级上·山西运城·期中）操作与探究 【操作】在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的纸片进行以下操作，并探究其中的问题： 第一步：如图2，沿过点的直线折叠，使得点落在上，展开铺平该纸片，折痕为； 第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点与点重合，展开铺平该纸片，折痕为； 第三步：如图4，连接． 【探究】 任务一：判断四边形的形状，并说明理由； 任务二：在纸片中，若，折痕，四边形的面积为_______    【答案】任务一：四边形是菱形，理由见详解；任务二： 【分析】本题主要考查折叠的性质与菱形的判定方法，掌握垂直平分线的性质，菱形的判定方法，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 任务一：根据折叠的性质可得是的垂直平分线，可证四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法即可求解； 任务二：根据菱形的菱形，在中，根据勾股定理可求出，的值，运用菱形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：任务一：四边形是菱形，理由如下， 点落在上，折痕为，点与点重合，折痕为， ∴是的垂直平分线，设交于点，    ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形是菱形； 任务二：由上述可知，四边形是菱形，，， ∴平分，，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，． (1)实践与操作：用尺规作图法过C点作边上的高；（保留作图痕迹） (2)应用与计算：在（1）的条件下，若，试求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积等于 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，菱形是性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握尺规作图的方法，菱形的四边相等，含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半． （1）以点C为圆心，大于点C到直线的距离为半径画弧，交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，即为所求； （2）根据含30度角直角三角形的特征得出，由勾股定理得：，求出，则，根据菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； （2）解：∵CE是菱形的高， ∴， ∴为直角三角形， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 答：菱形的面积等于． 【变式1-2】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题： 将纸片沿过边中点D的直线折叠，点C的对应点恰好落在边的中点处，折痕交于点E． （1）探究一：判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究二：若，四边形的对角线之和为14，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，见解析；（2）24 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由折叠的性质可得， 从而得到，可证明四边形是菱形； （2）连接交于F，根据勾股定理可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下： ∵D是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵将纸片沿过边中点D的直线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）连接交于F，如图： 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∵由（1）知， ∴E是中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①②可得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为24． 【点睛】本题考查三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质和菱形的判定定理 【变式1-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部点M，再将纸片沿过点A的直线AF折叠，使与重合，此时______度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点E在边某一位置时，点N恰好落在折痕上，此时______度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点P．求证：； （2）若，则线段的长______． 【答案】操作一：45；操作二：60；（1）见解析；（2） 【分析】操作一：由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； 操作二：先证是等腰直角三角形，得，则，求出，即可求解； （1）由等腰直角三角形的性质得，再证，由即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由含30°角的直角三角形的性质得，，设，，由得出方程即可 【详解】操作一： 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴ ∴； 操作二： 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 由操作一得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；掌握折叠的性质是解题的关键 题型02特殊平行四边形中的探究型问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）已知四边形和均为正方形． (1)如图①，当点A，B，G三点在一条直线上时，连接，，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点A，B，G三点不在一条直线上时，则（1）的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)当点A，B，G三点不在一条直线上时，（1）的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，变化中结论稳定性问题 （1）证明，后证明即可； （2）记交于点O，交于点N．根据（1）的证明方法，类似证明即可． 【详解】（1），．理由如下： 延长，交于点N ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）解：当点A，B，G三点不在一条直线上时，（1）的结论仍然成立．理由：如图，记交于点O，交于点N． ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故且 【例2-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图1，点E是正方形外的一点，以为边构造正方，点M是边上的动点，点N是的边上的动点． （1）证明：； （2）如图（1）：当和分别是和的中线时，试猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由． 类比猜想： 小亮解决完上述问题后，进行了积极的思考，他认为：在（2）问中，当分别是和的高（如图2），其他条件不变时，问题（2）的结论依然成立．请你说明小亮的观点是否正确，并说明理由． 感悟发现： 小惠认为：在问题（2）中，当时，问题（2）的结论依然成立．请你思考： 1）小惠的说法是否正确？答：　 　．（填写“正确”或“不正确”，不需要证明） 2）思考上面的探究过程，当和还满足什么条件（其他条件不变）时，使得（2）中的结论依然成立？请直接写出满足的条件（写出一个即可，不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；类比猜想：小亮的观点正确，理由见解析；感悟发现：1）正确；2）当分别是和的角平分线时，问题（2）中的结论依然成立 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先由正方形的性质得，，，则，由即可得出； （2）由（1）得：，则，，根据证明得，，求出即可； 类比猜想：由（1）得：，则，，再证，得，求出即可； 感悟发现：1）时，则，由开头（1）得：，则，再证，即可得出； 2）当分别是和的角平分线时，同1）得：，则，再求出即可． 【详解】（1）∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵和分别是和的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 类比猜想： 解：小亮的观点正确，理由如下： 由（1）得：， ∴，， ∵和分别是和的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 感悟发现： 解：1）小惠的说法正确，理由如下： 当时，如图3所示： 则， ∴， 由开头（1）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：正确； 2）当分别是和的角平分线时，问题（2）中的结论依然成立，如图4， 理由如下： 同1）得：， ∴， ∴， ∴． 【例2-3】（22-23八年级下·江西新余·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在中，，点D为直线上一动点，（点D与不B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． (1)观察猜想 如图①当点D在线段上时，①与的位置关系为______； ②之间的数量关系为______（将结论直接写在横线上）． (2)数学思考 如图②，当点D在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明； (3)拓展延伸 如图③，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若已知，请求出的长． 【答案】(1)①；② (2)成立；不成立，．理由见详解 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形的性质可推出，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论； （3）先证明，即可证明．过作于，过作于，于，证明四边形是矩形，再证明（），进而可证明是等腰直角三角形，在中，利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）解：①∵正方形中，， ， ， 在和中 ， ， ， ∴， 即； 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）成立；不成立，．理由如下： ∵正方形中，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ， ． （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 过作于，过作于，于， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， （）， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G． (1)如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________． (2)如图2，若点E在正方形内部（，）． ①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①（1）的结论还成立，理由见解析；②或 【分析】（1）根据旋转的性质得，由，则，根据三角形内角和定理可计算出，于是可判断； （2）①证出，则可得出；②连接，过点A作于点G，于点N，由勾股定理求出的长，证明，由全等三角形的性质得出，证，设，则，由勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 绕点A按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①（1）的结论还成立，理由如下： 证明：如图，与交于点O， 绕点A按顺时针方向旋转， ， ， ， ； ②如图，连接，过点A作于点G，于点N， ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 或， 或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【变式2-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为______； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质，如图所示，连接，可得是等边三角形，可证，可得，可证是等边三角形，由此即可求证； （2）同（1）的思路通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质可得结论； （3）根据题意可得当时，，如图所示，过点作于点，，根据等腰直角三角形的性质可求出，即可得到的长． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， 如图所示，连接，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）成立，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （3）如图所示，过点作于点， 当时，结合（1）可得， ∴， ∵在中，，， ∴ ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键 【变式2-3】（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知矩形（如图1）的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合，连接，取的中点，连接，试探索解决下列问题：    (1)求证：； (2)如图2，若将（1）中的矩形绕点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】（1）先由矩形的性质得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，，即可证明； （2）连接交于点，连接交于点，连接．根据矩形性质得到相等且互相平分，相等且互相平分．根据中位线的性质和矩形性质证明，再证明，，即可得到，即可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ∵为中点， ，， ； （2）解：若将（1）中的矩形绕着点旋转一定的角度，其它条件不变，则（1）中的结论还成立． 理由：如图2，连接交于点，连接交于点，连接．    ∵四边形，四边形都是矩形， ∴相等且互相平分，相等且互相平分． ∵，分别为，的中点， ，； 同理，． ∵相等且互相平分，相等且互相平分， ∴， ∴， ∴ 由题意得， ， 又∵，， ， ∴， 在与中， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，综合性较强，难度较大，熟知相关定理，根据题意正确作出辅助线是解题的关键 题型03特殊平行四边形中的阅读理解型问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·山东济宁·期中）阅读与理解 图1是边长分别为m和的两个正方形纸片和叠放在一起的图形（点F，G分别在，上）． (1)操作与证明 ①将图1中的正方形固定，将正方形绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图2所示．猜想：线段与之间的大小关系，并证明你的猜想； ②若将图1中的正方形绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图3所示．那么（1）中的结论还是否成立吗？请说明理由． (2)操作与发现 根据上面的操作过程发现，当为________度时，线段的最大值是________；当为________度时，线段的最小值是________？ 【答案】(1)①，证明见解析；②成立，理由见解析 (2)，；或， 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质； （1）①根据旋转可得，根据正方形的性质可得，，证明即可得到； ②根据旋转可得，根据正方形的性质可得，，证明即可得到； （2）当点B、C、F共线，且点C在B、F之间时，线段的长度最大；当点B、C、F共线，且点F在B、C之间时，线段的长度最小，据此求解即可． 【详解】（1）①； ∵正方形绕点C按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴； ②成立． ∵正方形绕点C按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴； （2）由题意得：当点B、C、F共线，且点C在B、F之间时，线段的长度最大，最大值是，此时旋转角； 当点B、C、F共线，且点F在B、C之间时，线段的长度最小，最小值是，此时旋转角或； 故答案为：，；或， 【例3-2】（23-24九年级上·安徽黄山·期末）阅读与理解： 如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且． 操作与证明： （1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题： ①证明：； ②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 猜想与探索： （2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论． 【答案】（1）详见解析； （2）依然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形，旋转等．熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质，是解题的关键． （1）①根据，，，可证得 ；②根据①结论得到，根据 F为的中点，得到，根据，，得到 ，得到，即得． （2）延长，得到四边形为平行四边形，得到，，根据，，得到 ，得到，，得到，得到，即得． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ， ，， 在与中，    ，          ； 结论：，， 理由：， ，， F为的中点， ， ， ， ， ∴． （2）旋转一个锐角后，关系依然成立． 理由：如图，延长， 又，四边形AMEC为平行四边形， ， ， ∵， ∴， 与中， ， ， ，， ， ， 即 【例3-3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．求证：． (1)点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程： (2)拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． (3)思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)选（1），证明见解析 【分析】（1）由，可得，，则，，根据，计算求解即可证明结论； （2）如图③，延长到，使，连接、， 则是等腰直角三角形，由，可证三点共线，证明，则，，，，根据，计算求解即可证明结论； （3）选（1），由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，如图①，延长到，使，连接，证明，则，，，，根据，计算求解即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图③，延长到，使，连接、， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的外角的平分线上一点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：选（1），证明如下： 由等边三角形的性质，外角平分线，可得，， 如图①，延长到，使，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边对等角是解题的关键． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 (1)分解因式： ； (2)代数式的最小值 ； (3)某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)2； (3)当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36． 【分析】本题考查因式分解的应用．结合例题把含字母的项配成完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为：． （1）把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最小值． （3）得到面积S的代数式，把含字母的项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大值． 【详解】（1）解： ； （2）． ∵， ∴． ∴代数式的最小值是2； （3） ． ∵， ∴，即时，最大，为36． 答：当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36． 【变式3-2】（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，在中，，，点为线段上一动点（不与端点，重合），以为边在的上方作正方形，连接，求证：．    图① 证明：，，． 四边形是正方形，，． ，， ________． 又，，________，． ，． 【探究】          图②                    图③ （1）如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件同上．请判断、和三条线段之间的关系，并说明理由． （2）如图③，当点在线段的反向延长线上时，且点A，分别在直线的两侧，其他条件同上，在正方形中，对角线、相交于点，若，，直接写出的长． 【答案】作业：，；探究：（1），理由见解析；（2） 【分析】作业：利用等腰直角三角形和正方形的性质，易证，得到，即可证明结论； 探究：（1）利用等腰直角三角形和正方形的性质，易证，得到，即可证明结论； （2）由勾股定理求出，根据正方形的性质，易证，得到，，再证明，由勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】证明：作业：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ， ， ， 故答案为：，； 解：探究：（1），理由如下： ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2），， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 点是的中点， ．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【变式3-3】（22-23九年级上·浙江丽水·期中）阅读下面材料： 子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是 ． 参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度． （2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值． 【答案】（1）（2） 【分析】根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （1）过点作交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据子薇的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （2）过点作，取，连接，如图所示，在等腰中，，然后利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用三角形三边关系可知，从而得到线段的最大值为． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （1）解：过点作交的延长线于点，如图3所示： ，，， 四边形是正方形， 设，根据子薇的结论，， ，， ，， 在中，，即，整理得，，解得，即； （2）解：过点作，取，连接，如图所示： 在等腰中，， 在正方形中，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，利用三角形三边关系可知，且当三点共线时，，即， 线段的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，（2）中作辅助线补充完整正方形是解题的关键，（3）作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$