2.3.1有理数的乘方（1）（新教材，九大类型分层提分练）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

2.3.1有理数的乘方（1） （新教材，九大类型分层提分练） 类型一、有理数的乘方的有关定义 1．（23-24·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（23-24·全国·假期作业）的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 3．（2024·上海·专题练习）底数是，指数是2的幂写成 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的概念，根据幂的书写规则即可求解．注意分数为底时，需要把底数加括号． 【详解】解：底数为，指数为2，写成， 故答案为：． 4．（23-24·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 类型二、有理数的乘方的运算 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：正确的结果为（    ） A．8052 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题． 【详解】解： ． 故选：D． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 7．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的乘方等知识．利用有理数的乘方求出，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：10． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键． 类型三、含乘方的有理数的混合运算 9．（23-24七年级上·湖南常德·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可，掌握运算顺序是解本题的关键． 【详解】解：， 故选C 10．（23-24·全国·假期作业）计算的结果是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】解： ， 故答案为：36． 11．（23-24·黑龙江哈尔滨·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键： （1）先去括号，计算乘方，再算乘法，最后进行加减运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)15 (2)0 (3) 【分析】（1）利用有理数的混合运算法则即可求解． （2）利用有理数的混合运算法则即可求解． （3）利用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 类型四、有理数的非负性 13．（23-24·上海宝山·期中）若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，有理数的乘方．解题的关键在于正确的求解．由解出的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意知 解得 ∴ 故答案为：． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题： (1)由，可得_____， _____． (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法． （1）根据绝对值的定义和有理数的乘方的定义即可得出答案； （2）由得出，或，，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：由（1）得，， 又∵， 异号， ∴，或，； 或， 综上所述，． 类型五、有理数的乘方的符号问题 16．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【答案】D 【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可． 【详解】解：当n是偶数时，原式， 当n是奇数时，原式，是正偶数． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键． 17．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 类型六、有理数的乘方有关规律问题 18．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 19．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 20．（2022七年级·江苏·专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【答案】(1)1，1； (2)ab，anbn，abc，anbncn； (3)﹣0.125 【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1； 4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． （2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：ab，anbn，abc，anbncn． （3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 类型七、有理数的乘方的有关材料阅读题 21．（2024·河北·三模）在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：①，然后在①式的两边都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据题干给定的方法，设，进而得到，两式相减后，进行求解即可． 【详解】解：设， ，得：， ，得：， ∴ 故选B． 22．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键． （1）直接利用已知计算得出答案； （2）利用（1）中所求进而得出答案； （3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）归纳、概括：； （3）如果 ，， 运用以上的结论，计算： 23．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 类型八、有理数的乘方的有关应用 24．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 类型九、有理数的乘方的有关新定义问题 26．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 27．（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】根据题意得，当时， ∵ ∴ ． 故答案为：． 28．（2024七年级下·全国·专题练习）如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 【答案】(1)1， (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． （1），，则有；，，则有； （2）根据，进行求解即可； （3）由题意得：，． 【详解】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3）， ， ． 29．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和相关概念，根据实数的有关概念和计算，对各种说法进行分析判断即可． 【详解】解：的底数是2，①的说法错误； 互为相反数的和为0，②的说法正确； 正整数、负整数和0统称为整数，③的说法错误； 不论为何值，都是非负数，一定是正数，④的说法正确； 不论为何值，都是非负数， 只有最小值，最小值为6，没有最大值，故⑤说法错误； 在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，但不一定越小，⑥的说法错误， 综上可知：说法正确的有：②④，共2个， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可． 本题考查了乘方，相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：A． 3．（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 4．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A. ，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）设a、b为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法、除法、乘方及绝对值的意义，根据有理数乘法、除法、乘方运算法则逐项分析判断即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】A.若，则，不能确定，故本选项错误； B. 若，则，故本选项正确； C. 若，则，故本选项错误； D. 若，则或，因此不一定大于0，故本选项错误， 故选：B． 6．（24-25七年级上·广东梅州·期中）点，在数轴的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④；其中正确的是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，，则，，， ∴①，故①错误； ②，故正确； ③正确； ④，故④错误． 正确的有②③，共2个． 故选：B． 二、填空题 7．（23-24七年级上·山东威海·期中）已知，，，求 【答案】4或 【分析】本题考查了求代数式的值，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，乘方的运算及绝对值等知识，正确理解绝对值的性质和乘法法则是解本题的关键． 根据有理数的乘法法则和绝对值的性质判求出a，b的值，再将a，b的值代入所求的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：4或． 8．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， 故答案为：8或． 9．（24-25七年级上·广东惠州·期中）下列说法：①若，则；②若，则；③若不是负数，则为非正数；④；⑤若，则为负数．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：①若，则，①正确； ②，，故②错误； ③若不是负数，则即，即为非正数，③正确； ④，④正确； ⑤若，则，即，故⑤错误． 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 10．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 11．（2022七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 12．（23-24六年级上·山东烟台·期末）大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中约80%的小方格用做纠错码和其他用途的编码，只有约200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码．现有对的说法如下：①就是200个2相乘；②；③；④的个位数字是6．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了数字类规律探究，乘方的意义．根据乘方的意义可判断①②③，探究规律可判断④． 【详解】解：①2200就是200个2相乘，故①正确； ②，故②不正确； ③，故③不正确； ④，个数数字是2， ，个数数字是4， ，个数数字是8， ，个数数字是6， ，个数数字是2， ，个数数字是4， ……， 以此类推，可知，，， ⋯，这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字是6，故④不正确． 故答案为：①④． 三、解答题 13．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下面三行数 ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…；③ (1)第①行数的第5个数为_____，第②行数的第5个数为_____，第③行数的第5个数为_____； (2)若设第一行的第个数是，则第二行的第个数是_____（用含的式子表示）； (3)设，，分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【答案】(1)，81， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化规律、有理数乘方等知识点，观察得出每行之间的关系是解题的关键． （1）观察可看出第①行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：；观察发现第②行是第①行的；第③行是在第①行的基础上加1；据此求解即可； （2）观察②两行的数与第①行的联系即可解答； （3）分别求得第①②③行的2024个数，得出x，y，z代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：通过观察发现：第①行的第n个数学为；第②行的第n个数学为；第③行的第n个数学为； 所以第①行数的第5个数为，第②行数的第5个数为，第③行数的第5个数为． 故答案为：，81，． （2）解：∵第②行数是第①行数相应的数乘，即， ∴设第一行的第个数是，第二行的第个数是． 故答案为：． （3）解：∵，，分别为第①②③行的第2024个数， ∴， ∴ ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 15．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 16．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的计算： （1）先计算出，再根据乘方的逆运算法则求解即可； （2）观察可知等式左边第一个乘数为序号，第二个乘数为序号加2，加数为1，等式右边为序号加1的平方，据此规律求解即可； （3）先把括号内的式子通分，再根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ， ． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.1有理数的乘方（1） （新教材，九大类型分层提分练） 类型一、有理数的乘方的有关定义 1．（23-24·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24·全国·假期作业）的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 3．（2024·上海·专题练习）底数是，指数是2的幂写成 ． 4．（23-24·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 类型二、有理数的乘方的运算 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：正确的结果为（    ） A．8052 B． C．4 D． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、含乘方的有理数的混合运算 9．（23-24七年级上·湖南常德·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 10．（23-24·全国·假期作业）计算的结果是 ． 11．（23-24·黑龙江哈尔滨·期末）计算题： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 类型四、有理数的非负性 13．（23-24·上海宝山·期中）若，那么 ． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题： (1)由，可得_____， _____． (2)若，求的值． 类型五、有理数的乘方的符号问题 16．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 17．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 类型六、有理数的乘方有关规律问题 18．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 19．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 20．（2022七年级·江苏·专题练习）阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 类型七、有理数的乘方的有关材料阅读题 21．（2024·河北·三模）在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：①，然后在①式的两边都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 23．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 类型八、有理数的乘方的有关应用 24．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 类型九、有理数的乘方的有关新定义问题 26．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 27．（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 28．（2024七年级下·全国·专题练习）如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 29．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 3．（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 5．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）设a、b为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·广东梅州·期中）点，在数轴的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④；其中正确的是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（23-24七年级上·山东威海·期中）已知，，，求 8．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 9．（24-25七年级上·广东惠州·期中）下列说法：①若，则；②若，则；③若不是负数，则为非正数；④；⑤若，则为负数．其中正确的结论有 ．（填序号） 10．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 11．（2022七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 12．（23-24六年级上·山东烟台·期末）大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中约80%的小方格用做纠错码和其他用途的编码，只有约200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码．现有对的说法如下：①就是200个2相乘；②；③；④的个位数字是6．其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 13．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下面三行数 ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…；③ (1)第①行数的第5个数为_____，第②行数的第5个数为_____，第③行数的第5个数为_____； (2)若设第一行的第个数是，则第二行的第个数是_____（用含的式子表示）； (3)设，，分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 15．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 16．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$