精品解析：广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2023学年第二学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名和座位号､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则集合中元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知复数，则虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 5. 过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ） A B. C. D. 6. 菱形中，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 编号 1 2 3 4 5 6 百亿元 11.1 参考数据：.则下列说法不正确的是（ ） A. 经验回归直线经过点 B C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D. 相应于点的残差为0.1 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 11. 半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线和所成角为60° C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 13. 某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为_________. 14. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，求. 16. 人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为. （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为. （i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率； （ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率. 17. 如图，在正方体中，分别是棱的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点为棱的中点，试探究点是否在平面上，请说明理由. 18. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：. （1）求证：数列为等差数列； （2）试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性； （3）若，其中且，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名和座位号､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则集合中元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出集合中的元素即可得答案. 【详解】解：当时，，则； 当时，，则； 所以集合， 所以元素的个数为5个. 故选:D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘除法运算法则得到，再结合虚部的定义判断即可. 【详解】，则的虚部为-2. 故选：C. 3. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】当为奇函数时，结合奇函数的性质可得，由充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称， 有，即，即， 即，故有，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 4. 一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是， 根据极差的定义，该组数据的极差是， 依题意得，，解得， ， 根据百分位数的定义， 该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即. 故选：A 5. 过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一 ：先求出，再由两角和的正切值求解即可得出答案；解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的立即等于半径，解方程即可得出答案. 【详解】解法一 由，得， 该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接， 易知， 所以， 解法二 由，得， 该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为， 则， 解得：或，所以． 故选：B． 6. 菱形中，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形对角线垂直的性质建立直角坐标系，表示出各点的坐标，结合点E的坐标满足的条件和范围，再代入数量积即可求解. 【详解】建立如图所示坐标系，，，，， 设，，， 则，，， 所以. 故选：D． 7. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 编号 1 2 3 4 5 6 百亿元 11.1 参考数据：.则下列说法不正确的是（ ） A. 经验回归直线经过点 B. C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D. 相应于点的残差为0.1 【答案】D 【解析】 【分析】求得数据的样本中心点，即可判断A；结合回归直线方程求出可判断B；将代入回归直线方程求得预测值，可判断C；根据残差的定义计算可判断D. 详解】选项A：由题意得：， 因为，，所以，得， 因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确； 选项B：由A知，，得，故B正确； 选项C：由B得，则当时，， 故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确； 选项D：当时，， 相应于点的残差为，故D错误， 故选：D. 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率. 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助二倍角公式可得，结合奇函数定义计算可得A；由正弦型函数的周期性计算可得B；由正弦函数的值域计算可得C；由正弦型函数的单调性计算可得D. 【详解】； 对A：定义域为，， 故是奇函数，故A正确； 对B：，故的最小正周期为，故B正确； 对C：由，则，故C正确； 对D：令，则， 故在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：ABC. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 11. 半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线和所成角为60° C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面，得到，根据为等边三角形，可判断A不正确；由，得到异面直线和所成角转化为直线和所成角，根据正六边形中，可判定B正确；补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，结合正方体和三棱锥的体积公式，可判定C正确；取正方形对角线的交点为，得到该二十四面体的外接球的球心，求得外接球的半径，利用求得表面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，若平面，因为平面，所以， 又因为为等边三角形，所以，所以A不正确； 对于B中，因为，所以异面直线和所成角即为直线和所成角 设角，在正六边形中，可得， 所以异面直线和所成角为，所以B正确； 对于C中，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体， 则该正方体的体积为， 其中每个小三棱锥的体积为， 所以该二十四面体的体积为，所以C正确； 对于D中，取正方形对角线的交点为，即为该二十四面体的外接球的球心， 其半径为， 所以该二十四面体的外接球的表面积为，所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求展开式的通项公式，再令的次数为进而求出常数项. 【详解】对有， 令，解得，此时，即常数项为. 故答案为：. 13. 某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为_________. 【答案】500 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求答案. 【详解】因为成绩服从正态分布 ，即正态曲线关于对称， 因为成绩小于 130的有 300 人，所以， 所以，人数约为. 故答案为:500 14. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值 【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，， 即 则， 当且仅当时取到等号； 故答案为 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理边化角后，借助两角和的正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理可得，利用等面积法结合三角形面积公式计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即有， 即，又，故， 即，又，故； 【小问2详解】 ，即， 即，即， 即， 由余弦定理可得， 即，故. 16. 人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为. （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为. （i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率； （ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）0.815；（ii） 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解. （2）利用全概率公式求解聊天机器人模型的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可. 【小问1详解】 易知的所有可能取值为， 此时，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则； 【小问2详解】 （i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A， 记“输入的问题有语法错误”为事件B， 记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C， 则，，，， ； （ii）若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为： . 17. 如图，在正方体中，分别是棱的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点为棱的中点，试探究点是否在平面上，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出向量及平面的法向量后，借助夹角公式计算即可得； （2）求出平面与平面的法向量后，借助夹角公式计算即可得； （3）借助空间向量证明垂直平面的法向量即可得平面，即可得点在平面上. 【小问1详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则有，令，则有，， 即， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 由轴平面，则平面的法向量可为， 则有， 故平面与平面的夹角的余弦值； 【小问3详解】 由点为棱的中点，则，则， 由，则，又平面， 故平面，故点在平面上. 18. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：. （1）求证：数列为等差数列； （2）试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）借助等差数列性质及其前项和公式计算可得，即可得，即可得证； （2）借助反证法，假设存在后借助等比数列的性质可得其与题设矛盾，即可得解. 【小问1详解】 由数列为等差数列，则其公差， 故， 故， 则，可得相邻两项差为常数，故数列为等差数列； 【小问2详解】 假设存在，且为三项构成等比数列，则有， 即有， 即有， 由、、均为整数，则有， 即有，化简得， 即，其与矛盾，故数列中不存在三项构成等比数列. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性； （3）若，其中且，求实数值． 【答案】（1） （2）在都是单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）首先代入到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解； （2）对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有 ，故只需要证明时，，时，，即可； （3）由（2）得，进一步令，，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即切点为， ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 证明： 由，设， 则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，又， 所以对于任意的有，即， 因此在 单调递增，在 单调递增， 设，则 ， 所以时，，单调递减， 所以， 即， 即， 时，， 单调递增， 所以， 即， 即，所以是其定义域上的增函数. 【小问3详解】 由（2）可知，时，，所以，故， 令，，， 由题意时，，时，， 若，则当时，， 不满足条件， 所以， 而， 令 ， 则 ， 令，得， 且当时，；当时，， 在单调递减，在单调递增， 若，则当时，，单调递减， 此时，不满足题意； 若，则当 时，，单调递减， 此时，不满足题意； 若， 则当时，，单调递增，此时， 且当时，，单调递增，此时，满足题意， 所以， 解得， 综上所述，. 【点睛】对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有 ，故只需要证明时，，时，，即可；由，进一步令，，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$