暑期成果验收卷（ 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理）- 2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 1．（2023秋•新沂市期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是　　 A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2 2．（2023秋•阜宁县校级月考）如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•南通期中）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为　　 A．10 B．16 C．8 D．5 4．（2022秋•海安市月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上， 这样的三角形称为格点三角形， 在网格中与成轴对称的格点三角形一共有　　 A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 5．（2023秋•宿豫区期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有　　 A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 6．（2023秋•铜山区期中）如图，在、中，，添加两个条件不能使这两个直角三角形全等的是　　 A． ， B．， C．， D．， 7．（2023秋•玄武区期末）如图，在中，，是边上的点，若，，则的值为　　 A．13 B．21 C．25 D．29 8．（2021秋•梁溪区期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是　　 A． B．6 C．5 D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 9．（2023秋•秦淮区期末）如图，，要使，还需添加条件：　　．（填写一个你认为正确的即可） 10．（2021•锡山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则　　． 11．（2023秋•邳州市期中）如图，桌面上有、两球，若要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球，则4个点中，可以瞄准的是 　　点． 12．（2021秋•盱眙县期中）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　　个． 13．（2022秋•句容市期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 　　． 14．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是 　　． 15．（2022秋•昆山市校级月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的序号是 　　． 16．（2020秋•宿城区校级期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 　　． 三． 解答题：（本大题共10题，17-22题每题6分，23-26题每题8分，满分68分） 17．（2021秋•东台市月考）如图，已知，，，，． （1）求角的度数与的长； （2）求证：． 18．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知点是上一点，，，垂足分别为、，连接，若垂直平分，求证：是的角平分线． 19．（2023秋•常州期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 20．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 21．（2023秋•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）画出关于轴的轴对称图形△； （2）若以线段为一边作格点（顶点在正方形网格交点上的三角形叫格点三角形），使所作的与全等但所在位置不同，请写出满足条件点坐标 　，，　； （3）直线轴，与线段，分别交于点，（点不与点，，重合），若将沿直线翻折，点的对称点为点，当点落在的内部时，点的横坐标的取值范围是 　　． 22．（2023春•亭湖区校级期末）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形． 23．（2020秋•泗阳县月考）如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点，若，求的度数． 24．（2023秋•姑苏区期末）如图，是的边上的中线，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的面积． 25．（2023秋•高新区校级月考）阅读材料： 如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）． （2）理解与应用 中，，，，，内部是否存在一点，点到各边的距离相等？　存在　（填“存在”或“不存在” ，若存在，请直接写出这个距离的值，　　．若不存在，请说明理由． 26．（2023秋•丹阳市校级月考）【定义】如图1，平分，则称射线，关于对称． 【理解题意】 （1）如图1，射线，关于对称且，则　22.5　度； 【应用实际】 （2）如图2，若，在内部，，关于对称，，关于对称，求的度数； （3）如图3，若，在外部，且，，关于对称，，关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）如图4，若，，关于的边对称，，求（直接写出答案）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 1．（2023秋•新沂市期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是　　 A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2 【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：、， 以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 、， 以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； 、， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 、， 以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 2．（2023秋•阜宁县校级月考）如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案． 【解答】解：，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键． 3．（2023秋•南通期中）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为　　 A．10 B．16 C．8 D．5 【分析】先根据角平分线的性质定理证得，根据与的周长分别为13和3证得． 【解答】解：，平分，， ， 在和中， ， ， ， 与的周长分别为13和3， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（2022秋•海安市月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上， 这样的三角形称为格点三角形， 在网格中与成轴对称的格点三角形一共有　　 A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案 ． 【解答】解： 如图所示： 都是符合题意的图形 ． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案， 正确掌握轴对称图形的性质是解题关键 ． 5．（2023秋•宿豫区期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有　　 A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可． 【解答】解：如图所示．符合题意的线段共有4条 故选：． 【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 6．（2023秋•铜山区期中）如图，在、中，，添加两个条件不能使这两个直角三角形全等的是　　 A． ， B．， C．， D．， 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：在、中，， 、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； 、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； 、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； 、，，无法判定三角形全等，本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形的全等的判定方法． 7．（2023秋•玄武区期末）如图，在中，，是边上的点，若，，则的值为　　 A．13 B．21 C．25 D．29 【分析】在与中，由勾股定理得得出与再相减即可推出结论． 【解答】解：在与中，由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理正确得出与是解题的关键． 8．（2021秋•梁溪区期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若，则的值是　　 A． B．6 C．5 D． 【分析】先设每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据图形和，可以写出关于、的方程，然后整理化简，即可求得的值． 【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确勾股定理的内容，可以写出相应的等式． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 9．（2023秋•秦淮区期末）如图，，要使，还需添加条件：　　．（填写一个你认为正确的即可） 【分析】根据题目中条件和图形，可以得到，，然后即可得到使得需要添加的条件，本题得以解决． 【解答】解：由已知可得， ，， 若添加条件，则； 若添加条件，则； 若添加条件，则； 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（2021•锡山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则　　． 【分析】直接利用网格得出对应角，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：在和中， ， ， ， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键． 11．（2023秋•邳州市期中）如图，桌面上有、两球，若要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球，则4个点中，可以瞄准的是 　　点． 【分析】利用对称的性质得出经过的路径，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球， 则4个点中，可以瞄准的是：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了生活中轴对称现象，正确利用对称的性质是解题关键． 12．（2021秋•盱眙县期中）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　4　个． 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故答案为：4． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法． 13．（2022秋•句容市期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 　6　． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是 　　． 【分析】由，，根据等边对等角的性质，即可求得的度数，又由折叠的性质，求得的度数，继而求得的度数． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．此题注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用． 15．（2022秋•昆山市校级月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的序号是 　①③④　． 【分析】①利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解； ②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③证明且，即可证得是等边三角形； ④首先证明，则，． 【解答】解：①如图1，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ；故①正确； ②由①知：，， 点是线段上一点， 与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故答案为①③④． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 16．（2020秋•宿城区校级期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 　48　． 【分析】根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【解答】解：由平移的性质知，，， ， ． 故答案为48． 【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键． 三． 解答题：（本大题共10题，17-22题每题6分，23-26题每题8分，满分68分） 17．（2021秋•东台市月考）如图，已知，，，，． （1）求角的度数与的长； （2）求证：． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【解答】解：（1），， ， ，， ，， ， ； （2）证明：， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． 18．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知点是上一点，，，垂足分别为、，连接，若垂直平分，求证：是的角平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的判定定理即可证得是的角平分线． 【解答】证明：垂直平分， ， ，， 是的角平分线． 【点评】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键． 19．（2023秋•常州期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 【分析】作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图，作地面于点，于点， 由题意得：米，米，米． 米， （米． 在中，由勾股定理得， （米． 答：云梯需要伸长26米才能到达着火处． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 20．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）先证明，再根据即可证明． （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：， ， 在与中 ； （2）， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型． 21．（2023秋•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）画出关于轴的轴对称图形△； （2）若以线段为一边作格点（顶点在正方形网格交点上的三角形叫格点三角形），使所作的与全等但所在位置不同，请写出满足条件点坐标 　，，　； （3）直线轴，与线段，分别交于点，（点不与点，，重合），若将沿直线翻折，点的对称点为点，当点落在的内部时，点的横坐标的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据轴对称的性质找到对应点，依次连接； （2）感觉全等三角形的概念找到对应格点，继而得出坐标； （3）根据对称性求出点的横坐标，再结合点落在的内部，得出不等式组，解之即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，符合要求的点如图所示， 坐标分别为，，； （3）， ， 点落在的内部， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形性质，全等三角形的概念，解题的关键是理解基础概念和性质，在图象上下功夫． 22．（2023春•亭湖区校级期末）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形． 【分析】利用轴对称图形的性质进而分析得出答案． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】本题考查了轴对称的性质和图案设计，熟练掌握轴对称的定义是关键，涂黑二个小正方形后，以是否沿一条直线折叠后能重合，作为依据，能则组成轴对称图形，反之则不能． 23．（2020秋•泗阳县月考）如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点，若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据平行线的性质得到，，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到，由三角形的外角的性质得到，根据角平分线定义得到，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ，， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 24．（2023秋•姑苏区期末）如图，是的边上的中线，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，用三角形的内角和定理，即可求出，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】（1）证明：是的中线， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， 在中， ， 的面积． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关性质是解本题的关键． 25．（2023秋•高新区校级月考）阅读材料： 如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）． （2）理解与应用 中，，，，，内部是否存在一点，点到各边的距离相等？　存在　（填“存在”或“不存在” ，若存在，请直接写出这个距离的值，　　．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）连接，，．根据三角形的面积的两种计算方法进行证明； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作． 【解答】证明：（1）连接，，． 则， 即， 是等边三角形， ， （定值）； （2）存在． ． 【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 26．（2023秋•丹阳市校级月考）【定义】如图1，平分，则称射线，关于对称． 【理解题意】 （1）如图1，射线，关于对称且，则　22.5　度； 【应用实际】 （2）如图2，若，在内部，，关于对称，，关于对称，求的度数； （3）如图3，若，在外部，且，，关于对称，，关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）如图4，若，，关于的边对称，，求（直接写出答案）． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，得到，根据角的和差即可得到结论； （3）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （4）①在内部，如图4，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）射线，关于对称且， ， 故答案为：22.5； （2）和关于对称， ， 又和关于对称， ， ， ； （3）和关于对称， ， 又和关于对称， ， ， ； （4）①在内部，如图4， ，关于对称， ， ， ， ， ， ， ②当在外部， ， 射线在射线的上面，如图5， ，关于的边对称， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点评】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$