第03章 勾股定理 章节练习 （6个知识点+36题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第03章 勾股定理 章节练习 （6个知识点+36题练习） 知识点合集 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点4．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点5．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点6．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 试题练习 一．直角三角形的性质 1．（2023秋•江阴市期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则　　． 2．（2022秋•海陵区校级月考）如图，在中，，点在上，沿折叠，使点落在边上的点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•鼓楼区期中）在直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是 　　． 5．（2023春•天宁区校级期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， ，，则的度数是 　　； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是 　　． 6．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在的边上取一点，连接，可以把分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点是的边上的完美点． 解决问题： （1）如图2，中，，试找出边上的完美点，并说明理由． （2）如图3，已知，的顶点在射线上，点是边上的完美点，请认真分析所有符合要求的点，直接写出相应的的度数． 二．勾股定理 7．（2023秋•无锡期末）已知，的两条直角边、的长分别为2、3，则它的斜边的长为　　 A． B．4 C． D． 8．（2023秋•姑苏区期末）如图，中，，分别以的边，，为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为，，．若，，则　　． 9．（2023秋•建邺区期末）在中，，，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中，①， ①． 化简得，． ，，②． ． ． 其中，①是 　　；②是 　　． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 10．（2020秋•常州期中）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为　　 A．4 B．5 C．4或5 D．5或 11．（2023秋•姑苏区校级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为 　　． 12．（2021秋•虎丘区校级期中）阅读：如图1，在中，，，，求的长． 小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长． 解决下列问题： （1）图2中，　　，　　； （2）在中，，，的对边分别为、、．如图3，当时，用含，式子表示． 三．勾股定理的证明 13．（2023秋•赣榆区期中）三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，如图所示，该“弦图”由四个完全相同的直角三角形拼在一起得到一个大正方形和一个小正方形．已知直角三角形的两条直角边长分别为，． （1）请你直接写出大正方形的面积（用含，的代数式表示）； （2）若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 14．（2023秋•仪征市期中）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是　　 A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 15．（2023秋•天宁区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接．，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为　　 A．4 B．5 C．6 D．10 16．（2023秋•射阳县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，短直角边长为，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为 　　． 17．（2022秋•灌南县期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”． 中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明； （2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求的值． 18．（2023秋•苏州期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为，那么的值为 　　． 四．勾股定理的逆定理 19．（2023秋•江阴市期中）下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是　　 A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13 20．（2020秋•相城区期中）在下列条件中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•新吴区期中）已知的三边长分别为5、12、13，则的面积为 　　． 22．（2021秋•润州区校级期中）在中，，，，则边上的高线长为 　　． 23．（2022秋•南京期中）如图，在四边形中，，，，，．求证：． 24．（2022秋•邗江区期末）如图所示，在中，，，，．求： （1）的长； （2）的面积． 五．勾股数 25．（2022秋•邗江区期中）下面四组数，其中是勾股数组的是　　 A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．6，7，8 26．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；．若，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，　　．（提示：，， 27．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　　； 28．（2023秋•江阴市期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当，为正整数，且时，，，为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式． （1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 　　，　　； （2）若令，，，请你证明，，为一组勾股数． 29．（2023秋•建邺区校级月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么和的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　　（最大数不超过； （2）用含有的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 30．（2023秋•射阳县期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　 A．47 B．62 C．79 D．98 六．勾股定理的应用 31．（2022秋•工业园区校级月考）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长为10的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是　　 A． B． C． D． 32．（2021春•海安市月考）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•海州区校级期中）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 　　米． 34．（2024春•启东市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），则秋千绳索或的长度为 　　尺． 35．（2023秋•连云港期末）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长． 36．（2023秋•海陵区校级期末）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 勾股定理 章节练习 （6个知识点+36题练习） 知识点合集 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点4．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点5．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点6．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 试题练习 一．直角三角形的性质 1．（2023秋•江阴市期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则　　． 【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得． 【解答】解：，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键． 2．（2022秋•海陵区校级月考）如图，在中，，点在上，沿折叠，使点落在边上的点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可得的度数，进一步可得的度数． 【解答】解：，， ， 根据折叠，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 3．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据，求出即可解答． 【解答】解：，， ， 由翻折的性质可知：， ， 故选：． 【点评】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 4．（2023秋•鼓楼区期中）在直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是 　54　． 【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【解答】解：直角三角形的一个锐角是， 另一个锐角是：， 故答案为：54． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5．（2023春•天宁区校级期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， ，，则的度数是 　　； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是 　　． 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，，． 【解答】解：（1）是“准互余三角形”， ，， ， ， 故答案为：； （2）①是“准互余三角形”， 理由：是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”， ②是“准互余三角形” 或， ， 或， 当，时，， 当，时，， ， 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 6．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在的边上取一点，连接，可以把分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点是的边上的完美点． 解决问题： （1）如图2，中，，试找出边上的完美点，并说明理由． （2）如图3，已知，的顶点在射线上，点是边上的完美点，请认真分析所有符合要求的点，直接写出相应的的度数． 【分析】（1）取的中点，连接即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明； （2）根据点是边上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可． 【解答】解：（1）取的中点，连接即可如图① ，是的中点， ，， ． ，是等腰三角形． 点是边上的完美点（2）满足条件的点如图所示：②③④⑤⑥ 【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键． 二．勾股定理 7．（2023秋•无锡期末）已知，的两条直角边、的长分别为2、3，则它的斜边的长为　　 A． B．4 C． D． 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 8．（2023秋•姑苏区期末）如图，中，，分别以的边，，为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为，，．若，，则　4　． 【分析】先设，，，根据勾股定理有，从而可得，则可得出答案． 【解答】解：设，，， 是直角三角形， ， ， 又，，， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积． 9．（2023秋•建邺区期末）在中，，，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中，①， ①． 化简得，． ，，②． ． ． 其中，①是 　　；②是 　　． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 【分析】（1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【解答】解：（1）如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）； 证明：如图， 过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 10．（2020秋•常州期中）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为　　 A．4 B．5 C．4或5 D．5或 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论． 【解答】解：直角三角形的两边长分别为3和4， ①4是此直角三角形的斜边长； ②当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为． 综上所述，斜边长为4或5． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 11．（2023秋•姑苏区校级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为 　　． 【分析】连接，在中，由勾股定理计算即可得出的长． 【解答】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．（2021秋•虎丘区校级期中）阅读：如图1，在中，，，，求的长． 小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长． 解决下列问题： （1）图2中，　9　，　　； （2）在中，，，的对边分别为、、．如图3，当时，用含，式子表示． 【分析】（1）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可； （2）仿照（1）的作法解答． 【解答】解：（1）如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接， 则是的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 在直角和直角中， 由勾股定理得到：，即， 解得，， 故答案为：9；12； （2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接， 则是边的垂直平分线， ，． ，， ， ， ， ， ，，即， ， 由题意得，， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，． 【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 三．勾股定理的证明 13．（2023秋•赣榆区期中）三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，如图所示，该“弦图”由四个完全相同的直角三角形拼在一起得到一个大正方形和一个小正方形．已知直角三角形的两条直角边长分别为，． （1）请你直接写出大正方形的面积（用含，的代数式表示）； （2）若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 【分析】（1）大正方形的面积就是直角三角形斜边的平方，由此即可写出大正方形的面积； （2）小正方形的面积为，因此由已知条件求出的值即可． 【解答】解：（1）大正方形的面积为直角三角形斜边的平方， 大正方形的面积， （2）由（1）知，① 又，即，② ②①得， ， 故小正方形的面积为8． 【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，弄清图形中线段的数量关系，灵活掌握勾股定理是解题的关键． 14．（2023秋•仪征市期中）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是　　 A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【分析】观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理． 【解答】解：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理． 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理的证明，熟练准确的识别“弦图”是解本题的关键． 15．（2023秋•天宁区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接．，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为　　 A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案． 【解答】解：过点作于点，交于点， 正方形面积为5，正方形面积为1， ，，，， 是直角三角形，， ， ， 即， ， ， ， ， 以为边长的正方形面积为10． 故选：． 【点评】此题考查的是勾股定理的证明，正确作出辅助线是解决此题的关键． 16．（2023秋•射阳县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，短直角边长为，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为 　6　． 【分析】根据题意和勾股定理，可以求得的值，再根据图形可知：小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可． 【解答】解：设大正方形的边长为， 则， ， ， 解得， 小正方形的面积是：， 故答案为：6． 【点评】本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 17．（2022秋•灌南县期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”． 中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明； （2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求的值． 【分析】（1）根据大正方形的面积直角三角形的面积小正方形的面积可得结论； （2）利用完全平方公式结合正方形及直角三角形的面积计算可求解． 【解答】解：（1）大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， 即； （2）由图可知，，， ， ． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用面积法证明勾股定理是解题的关键． 18．（2023秋•苏州期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为，那么的值为 　16　． 【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【解答】解：由题意作出如图， 得，，，是直角三角形， 则大正方形面积， 面积， 阴影部分的面积， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解． 四．勾股定理的逆定理 19．（2023秋•江阴市期中）下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是　　 A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； 、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 20．（2020秋•相城区期中）在下列条件中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，是直角三角形， 、，，是直角三角形， 、，，是直角三角形， 、，，，，不是直角三角形， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 21．（2023秋•新吴区期中）已知的三边长分别为5、12、13，则的面积为 　30　． 【分析】根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积． 【解答】解：的三边长分别为5，12，13， ， 是直角三角形，两直角边是5，12， 的面积为：， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 22．（2021秋•润州区校级期中）在中，，，，则边上的高线长为 　　． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，然后根据直角三角形的面积解答即可． 【解答】解：在中，，，， ， 为直角三角形，且， 的面积， 边上的高线长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理．先判定为直角三角形是解题的关键． 23．（2022秋•南京期中）如图，在四边形中，，，，，．求证：． 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答． 【解答】证明：连接， ，，， ， 在中，，， ， 是直角三角形， ． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 24．（2022秋•邗江区期末）如图所示，在中，，，，．求： （1）的长； （2）的面积． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出，在中再利用勾股定理计算的长； （2）根据计算即可． 【解答】解：（1）在中， ，， ， ， ， 在中，； （2）的面积：． 【点评】本题考查勾股定理以及逆运算，熟练掌握勾股定理的含义是解题的关键． 五．勾股数 25．（2022秋•邗江区期中）下面四组数，其中是勾股数组的是　　 A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．6，7，8 【分析】根据勾股数的定义：有、、三个正整数，满足 的三个数，称为勾股数．由此判定即可． 【解答】解：、，能构成勾股数，故正确； 、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误； 、，不能构成勾股数，故错误； 、，不能构成勾股数，故错误． 故选：． 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 26．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；．若，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，　17　．（提示：，， 【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二． 【解答】解：由题意得：， ， ． 故答案为：17． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理． 27．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　11、60、61　； 【分析】分析所给四组的勾股数：第一个数是连续的奇数，第二个数为，第三个数比第二个数大1，由此可得答案． 【解答】解：第一组：3，，； 第二组：5，，； ， 最后一组为：11，，61． 故答案为：11，60，61． 【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、计算即可． 28．（2023秋•江阴市期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当，为正整数，且时，，，为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式． （1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 　6，8，10　，　　； （2）若令，，，请你证明，，为一组勾股数． 【分析】（1）根据常见勾股数解答即可． （2）先求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13； 故答案为：6，8，10；5，12，13； （2），，， ，，， ， 、、是一组勾股数． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键． 29．（2023秋•建邺区校级月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么和的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　3，4，5　（最大数不超过； （2）用含有的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【分析】（1）分别令，，再求出其余的数即可； （2）分别用表示出一组勾股数，再找出其数量关系即可． 【解答】解：（1）当时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5； （2）当大于2时，． 证明：左边 ； 右边． 左边右边， 等式成立． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键． 30．（2023秋•射阳县期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　 A．47 B．62 C．79 D．98 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【解答】解：由题可得，，，， ，，， 当时，， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 六．勾股定理的应用 31．（2022秋•工业园区校级月考）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长为10的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是　　 A． B． C． D． 【分析】画出图形，使为饮料罐的底面直径，为底面圆心，为上底面中心，作射线、射线，则，先根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度的值，当吸管底端与点重合时，则露在罐外部分最短；当吸管底端与点重合时，则露在罐外部分最长，分别求出相应的的值即可． 【解答】解：如图，为饮料罐的底面直径，为底面圆心，为上底面中心，作射线、射线， ，，， ， ， 当吸管底端与点重合时，则露在罐外部分最短，此时； 当吸管底端与点重合时，则露在罐外部分最长，此时， 的取值范围是， 故选：． 【点评】此题重点考查勾股定理及其应用，正确地画出图形并且根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度是解题的关键． 32．（2021春•海安市月考）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【解答】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ； 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 所以的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 33．（2023秋•海州区校级期中）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 　10　米． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：如图所示，，为树，且米，米，为两树距离8米， 过作于， 则米，米， 在直角三角形中， （米， 答：小鸟至少要飞10米． 故答案为：10． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 34．（2024春•启东市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），则秋千绳索或的长度为 　14.5　尺． 【分析】设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设尺， 尺，尺， （尺， 尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 整理得：， 即， 解得：， 答：秋千绳索的长度是14.5尺． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 35．（2023秋•连云港期末）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长． 【分析】根据垂直定义可得，然后设 ，则，最后在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 设 ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 量角器的半径长为． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 36．（2023秋•海陵区校级期末）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【分析】由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题． 【解答】解：由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是直角三角形，且， ． 答：四边形的面积为18． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$