第18讲 多项式除以单项式 （3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第18讲 多项式除以单项式 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 【例1】（长宁区校级期中）将一多项式，除以后，得商式为，余式为0．求　　 A．3 B．23 C．25 D．29 【变式1】（2023秋•金山区期末）计算：　　． 【变式2】（2023秋•普陀区校级期末）计算：　　． 【变式3】（2022秋•嘉定区校级期末）计算：． 知识点2．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 【例2】（2023秋•奉贤区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020秋•浦东新区校级月考）计算： 　　； 　　； 　　； 　　． 【变式2】（2023秋•静安区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（2023秋•闵行区校级月考）规定一种新运算：，如．请你计算： （1）； （2）； （3）如果，求的值． 知识点3．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【例3】（2023秋•宝山区校级月考）先化简再求值：，其中，． 【变式1】（2023秋•青浦区校级期中）已知，那么　　． 【变式2】（2022秋•黄浦区校级期中）若，则代数式的值是 　　． 【变式3】（2024春•二七区校级期中）定义：对于依次排列的多项式、、、、、、是常数），当他们满足，且是常数时，则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式、、、来说因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． （1）已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子　　． （2）若、2、、3是一组平衡数，求的值． （3）当、、、之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？ 经典题型汇编 题型一．整式的除法 1．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　． 2．（金山区期末）已知，那么下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2020秋•奉贤区期末）计算：． 题型二．整式的混合运算 4．（浦东新区校级月考）　　． 5．（2022秋•青浦区校级期末）下列计算中错误的有　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023秋•闵行区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三．整式的混合运算—化简求值 7．（2022秋•长宁区校级期中）四个学生一起做乘法，其中是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•金山区期末）已知：，，化简的结果是　　． 9．（2023秋•青浦区校级期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边长作正方形，求阴影部分的面积． 试题练习 一、单选题 1．（19-20七年级上·上海静安·期中）下列计算中，正确的是(   ) A．a²+a²=3a B．2x³⋅(−x²)=−2x C．(−2a²)³=−8a D．（6x+2x)÷2x=3x²+1 2．（19-20七年级上·上海虹口·阶段练习）长方形的周长为2L，长为a，则宽为（    ） A．2L-2a B．L-2a C．L-a D．2L-4a 3．（19-20七年级上·上海静安·阶段练习）一个长方形的周长为6a+8b,其一边长为2a+3b，则另一边长为（      ） A．4a+5b B．a+b C．a+2b D．a+7b 4．一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 6．（七年级上·上海·期末）计算得到的余式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（21-22七年级上·上海·期末）计算： ． 8．（19-20七年级上·上海松江·期中）计算： = ． 9．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 11．（19-20七年级上·上海徐汇·阶段练习）计算： m 2n2n m3m 4n4n 3m . 12．（22-23七年级上·上海宝山·期中）计算： 13．（19-20七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知长方形的长为3a厘米，宽为b厘米，若长与宽分别增加2b厘米和2a厘米，则这个长方形的面积比原来增大 平方厘米. 14．（20-21七年级上·上海·期中）计算（直接写出结果） ①=    ②= ③=    ④= ⑤= ⑥= ⑦= ⑧= ⑨= ⑩= 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（ ） 16．（19-20七年级上·上海松江·阶段练习）计算： . 17．（19-20七年级上·上海嘉定·期末）计算： . 18．（上海黄浦·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，那么阴= ．    三、解答题 19．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 20．（20-21七年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中． 21．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 22．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中． 23．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 24．（22-23七年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中， ． 25．（22-23七年级上·上海·期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 26．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 27．（23-24七年级上·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． (1)用含、b的代数式表示：______________；______________． (2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积； (3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 多项式除以单项式 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 【例1】（长宁区校级期中）将一多项式，除以后，得商式为，余式为0．求　　 A．3 B．23 C．25 D．29 【分析】多项式除法是多项式乘法的逆运算，由题意知，的展开式与应相等，而，由此可以得到，，，，由此可以求出，，，代入即可求出其值． 【解答】解：依题意得， ， ，，， 解得，，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘法，还利用了在多项式中相同项的系数相同． 【变式1】（2023秋•金山区期末）计算：　　． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】（2023秋•普陀区校级期末）计算：　　． 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为： 【点评】本题考查的是多项式除以单项式，把多项式的每一项分别除以单项式即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【变式3】（2022秋•嘉定区校级期末）计算：． 【分析】直接利用整式的除法运算法则、平方差公式分别计算，再利用整式的加减运算法则得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 知识点2．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 【例2】（2023秋•奉贤区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用整式的加减以及完全平方公式、整式的混合运算法则分别判断得出答案． 【解答】解：．，故此选项不合题意； ．，故此选项符合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】（2020秋•浦东新区校级月考）计算： 　　； 　　； 　　； 　　． 【分析】原式利用单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算即可求出值． 【解答】解：； ； ； ． 故答案为：；；；． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（2023秋•静安区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按照多项式乘多项式的法则计算； （2）按照多项式乘多项式的法则计算； （3）先按照平方差公式、完全平方公式计算，再去括号，合并同类项； （4）先按照多项式乘多项式的法则计算，再去括号，合并同类项． 【解答】解：（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【点评】本题考查多项式乘多项式，乘法公式，熟练掌握多项式乘多项式，乘法公式是解题的关键． 【变式3】（2023秋•闵行区校级月考）规定一种新运算：，如．请你计算： （1）； （2）； （3）如果，求的值． 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可； （3）根据定义的新运算列方程求解即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程—因式分解法，理解定义的新运算是解题的关键． 知识点3．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【例3】（2023秋•宝山区校级月考）先化简再求值：，其中，． 【分析】先按单项式乘以多项式进行运算，再合并同类项，代值计算即可求解． 【解答】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了整式化简求值，含有乘方的有理数混合运算，掌握化简步骤是解题的关键． 【变式1】（2023秋•青浦区校级期中）已知，那么　17　． 【分析】对已知等式变形，然后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：17． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算—化简求值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【变式2】（2022秋•黄浦区校级期中）若，则代数式的值是 　8101　． 【分析】由可得，再把化为，再整体代入求值即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：8101． 【点评】本题考查的是完全平方公式的应用，多项式乘以多项式的运算，求解代数式的值，学会利用整体代入的思想解决问题． 【变式3】（2024春•二七区校级期中）定义：对于依次排列的多项式、、、、、、是常数），当他们满足，且是常数时，则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式、、、来说因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． （1）已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子　10　． （2）若、2、、3是一组平衡数，求的值． （3）当、、、之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？ 【分析】（1）直接根据定义计算的值； （2）将，2，，3分别代入多项式中，依据定义计算出的值即可； （3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式． 【解答】解：（1） ； （2），2，，3是一组平衡数， 的结果为常数， ， 解得． 故答案为：； （3）． 证明：假设，，，是平衡数， 则结果为常数， ． 结果为常数， ， ． 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 经典题型汇编 题型一．整式的除法 1．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　． 【分析】根据整式的混合运算法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键． 2．（金山区期末）已知，那么下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据整式除法的运算方法，同底数幂的除法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可． 【解答】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式除法的运算方法，同底数幂的除法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握． 3．（2020秋•奉贤区期末）计算：． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 题型二．整式的混合运算 4．（浦东新区校级月考）　　． 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2022秋•青浦区校级期末）下列计算中错误的有　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据幂的乘方、单项式的乘法、完全平方公式求解即可． 【解答】解：①，原计算错误； ②，原计算错误； ③，原计算错误； ④，原计算错误； 故选：． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，掌握幂的乘方、单项式的乘法、完全平方公式是解题的关键． 6．（2023秋•闵行区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先算积的乘方，再合并同类项即可； （4）先根据平方差公式，单项式乘多项式计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型三．整式的混合运算—化简求值 7．（2022秋•长宁区校级期中）四个学生一起做乘法，其中是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】利用多项式与多项式相乘的法则求解即可． 【解答】解：， ， ， 结合各选项可知， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，求出的值． 8．（2021秋•金山区期末）已知：，，化简的结果是　2　． 【分析】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 故答案为：2． 【点评】本题考查多项式相乘的法则和整体代入的数学思想． 9．（2023秋•青浦区校级期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据题目提供的方法进行计算即可； （2）由题意得正方形的边长为，正方形的边长为，，设，，则，，根据求出，再利用平方差公式求出的值即可． 【解答】解：（1）设，，则，， 所以 ； （2）由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为，由于长方形的面积是48，即， 设，，则，， 所以 ， 即， 所以阴影部分的面积为 ， 即阴影部分的面积为28． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 试题练习 一、单选题 1．（19-20七年级上·上海静安·期中）下列计算中，正确的是(   ) A．a²+a²=3a B．2x³⋅(−x²)=−2x C．(−2a²)³=−8a D．（6x+2x)÷2x=3x²+1 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则，只把系数相加减，字母和字母指数不变；单项式的乘法；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式的除法法则，对各项计算后利用排除法求解. 【详解】解：A、应为a2+a2=2a2，故A选项不正确； B、2x3·（-x2）=-2x5，故B选项正确； C、应为(-2a2)3=-8a6，故C选项不正确； D、应为(6x+2x)÷2x=3xm+1,故D选项不正确. 故选B 【点睛】本题考查合并同类项、单项式的乘法、积的乘方、单项式的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键. 2．（19-20七年级上·上海虹口·阶段练习）长方形的周长为2L，长为a，则宽为（    ） A．2L-2a B．L-2a C．L-a D．2L-4a 【答案】C 【分析】根据长方形的周长公式C=（a+b）×2，即可求解宽的长度. 【详解】解：设宽为b 2L=（a+b）×2， ∴b= L-a 故选C. 【点睛】本题主要考查了长方形的周长公式的灵活应用． 3．（19-20七年级上·上海静安·阶段练习）一个长方形的周长为6a+8b,其一边长为2a+3b，则另一边长为（      ） A．4a+5b B．a+b C．a+2b D．a+7b 【答案】B 【分析】已知周长和一边，求另一边，用半周长减去已知边长． 【详解】解：另一边长为（6a+8b）÷2-（2a+3b）=3a+4b-2a-3b=a+b； 故选择：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，此题运用长方形的周长公式解题，列式时注意括号的运用． 4．一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长． 【详解】解：一个长方形的面积为，且一边长为， 该长方形另一边的长为：， 长方形的周长为：， 故选D 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，整式的加减，求得另一边的长是解题的关键． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键． 6．（七年级上·上海·期末）计算得到的余式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分组通过因式分解变形即可得到答案. 【详解】解： = =[2(x2-4)2-x3+4x+10x2-40-4x+23] =[2(x2-4)2-x(x2-4)+10(x2-4) -4x+23] ={(4-x2)[2(4-x2)+x-10] -4x+23} =(-2x2+x-2)+( -4x+23) 故选B. 【点睛】此题主要考查了整式的除法及因式分解，正确地将进行变形是解决问题的关键. 二、填空题 7．（21-22七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 8．（19-20七年级上·上海松江·期中）计算： = ． 【答案】x2+4x+3 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=x2+4x+3． 故答案为：x2+4x+3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，把多项式的每一项分别除以单项式即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，运用多项式除以单项式法则运算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 11．（19-20七年级上·上海徐汇·阶段练习）计算： m 2n2n m3m 4n4n 3m . 【答案】. 【分析】先利用多项式乘以多项式将前后两个括号分别展开，再合并同类项，即可得出答案. 【详解】 = = 故答案为 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，需要熟练掌握整式的混合运算法则. 12．（22-23七年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的知识，掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键． 13．（19-20七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知长方形的长为3a厘米，宽为b厘米，若长与宽分别增加2b厘米和2a厘米，则这个长方形的面积比原来增大 平方厘米. 【答案】6a2+2b2+4ab 【分析】用增加后的面积减去原来的面积即可. 【详解】由题意得 (3a+2b)(b+2a)-3ab=3ab+6a2+2b2+4ab-3ab=6a2+2b2+4ab. 故答案为6a2+2b2+4ab. 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 14．（20-21七年级上·上海·期中）计算（直接写出结果） ①=    ②= ③=    ④= ⑤= ⑥= ⑦= ⑧= ⑨= ⑩= 【答案】 2a+2 4 【分析】①先去括号，在合并同类项即可 ②合并同类项计算即可 ③利用幂的运算法则计算即可 ④先进行幂的运算，再合并同类项即可 ⑤利用幂的运算法则计算即可 ⑥利用多项式乘多项式法则计算即可 ⑦利用平方差公式计算即可 ⑧利用完全平方公式计算即可 ⑨利用平方差公式计算即可 ⑩利用平方差公式和完全平方公式计算即可 【详解】① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 故答案为： 2a+2，，，，4，，，，， 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握法则是解题的关键 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（ ） 【答案】 【分析】此题考查了多项式除以单项式，由“因数因数积”，转化为多项式除以单项式的运算法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16．（19-20七年级上·上海松江·阶段练习）计算： . 【答案】0. 【分析】先算乘法，再算加减即可. 【详解】解：0 【点睛】本题考查了整式的乘法及加减法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键. 17．（19-20七年级上·上海嘉定·期末）计算： . 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可. 【详解】；故答案为. 【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则. 18．（上海黄浦·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，那么阴= ．    【答案】 【分析】设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则DE=x−y，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案． 【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则，， ∴， ∴阴 ， ∵正方形与正方形的面积之差是6， 即， ∴， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了列代数式和整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，以单项式除以单项式的算法按系数、同底数幂、被除式中单独有的字母三个步骤进行的：①系数相除——有理数的除法；②相同字母相除——同底数幂的除法；③只在一个被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式，计算即可． 【详解】解：． 20．（20-21七年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先展开，再去括号，合并同类项，化简后将的值代入． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ， ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 21．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式及多项式乘多项式的法则进行计算即可． 本题考查的是完全平方公式及多项式乘多项式，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 22．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】1 【分析】先去括号、合并同类项，再把整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算−化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 23．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先按单项式乘以多项式进行运算，再合并同类项，代值计算即可求解． 【详解】解：原式 ； 当，时 原式 ． 【点睛】本题考查了整式化简求值，含有乘方的有理数混合运算，掌握化简步骤是解题的关键． 24．（22-23七年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中， ． 【答案】 【分析】先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入即可求解． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当，时， 原式＝ ． 【点睛】此题主要考是查整式的化简求值，解题的关键熟知整式的乘除运算法则． 25．（22-23七年级上·上海·期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3)264 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可； （3）将代入（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：的相反数是2， 当时， ． 【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键． 26．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 【答案】；（1）；（2） 【分析】根据所给式子从而总结出规律是； （1）将；写成的形式进行计算即可； （2）设，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据规律可得：； 故答案为：； 解：（1）∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． 27．（23-24七年级上·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． (1)用含、b的代数式表示：______________；______________． (2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积； (3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了整式加减的应用，找到图中的线段间的关系是解题的关键． （1）线段为2个小长方形的宽加1个小长方形的长，线段为1个小长方形的宽加1个小长方形的长，列出式子并化简即可； （2）区域①的面积为长，宽的长方形的面积减去一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出；区域②的面积：长为小长方形纸片的长，宽为的长方形的面积加上一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出； （3）将两式相减化简后，将值代入即可得出答案． 【详解】（1）小长方形纸片宽为，长为b ， 故答案为：，； （2）由图可知，，， ， 区域①的面积为： 区域②的面积为： ； （3）由（2）知，区域①的面积为：，区域②的面积为： 区域①、区域②的面积的差为： 当=，时，原式 1 学科网（北京）股份有限公司 $$