专题04 空间向量及其运算的坐标表示（六大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学重难点压轴题突破专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 空间向量及其运算的坐标表示（六大题型，50题） 目录 题型一：空间向量的坐标表示 1 题型二：空间向量的坐标运算 2 题型三：空间向量模长的坐标表示 4 题型四：空间向量平行的坐标表示 6 题型五：空间向量垂直的坐标表示 7 题型六：空间向量夹角余弦的坐标表示 8 题型一：空间向量的坐标表示 1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ． 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量，若共面，则 ． 5．（22-23高二上·北京·期中）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； (2)设，，求证： (3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 题型二：空间向量的坐标运算 6．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 9．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 11．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则，，，四点共面 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 13．（23-24高二上·河南·期中）已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为 . 14．（23-24高二上·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 15．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，棱长为2的正方体的侧面（含边界）内有一动点P，则下列结论中正确的是 ．    ①若，则； ②若，则； ③若，则 ④若，则存在非零向量使． 16．（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．    题型三：空间向量模长的坐标表示 17．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 19．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在，，上，并满足（），若是的重心，且，则实数值为 20．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为 . 21．（2023·上海奉贤·一模）已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 22．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 23．（2023·河南郑州·模拟预测）在四面体中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为 . 24．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为 . 25．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 26．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 题型四：空间向量平行的坐标表示 27．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 28．（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高二上·福建福州·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是 . 30．（21-22高二下·福建漳州·期末）如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为 . 31．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 32．（2023·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 33．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，. (1)判断的形状； (2)若，求的值. 题型五：空间向量垂直的坐标表示 34．（23-24高二上·安徽·期末）已知正方体的棱长为2，、分别是侧面和的中心．过点的平面与垂直，则平面截正方体所得的截面积S为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·湖北·期中）已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 36．（2023·安徽合肥·一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使得 B．线段长度的取值范围是 C．当点与点重合时，四棱锥的体积为2 D．当为线段中点时，三棱锥外接球的表面积为 38．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点围成区域的面积为. 其中得出错误结论的同学有（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 39．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ． 40．（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是 ．    题型六：空间向量夹角余弦的坐标表示 41．（23-24高二上·浙江杭州·期末）以下四个命题中，正确的是（    ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 42．（23-24高二下·河南·阶段练习）设向量，且，则（   ） A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．的最大值为4 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为3 43．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 44．（22-23高二上·湖南株洲·期末）已知圆柱底面半径，高，下底面圆心为O，上底面圆心为，A是下底面圆上任意一点，B是上底面圆上任意一点，则下列命题中正确的是（    ） A．向量与的夹角为定值 B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D． 45．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 46．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 47．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 48．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 49．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 50．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间向量及其运算的坐标表示（六大题型，50题） 目录 题型一：空间向量的坐标表示 1 题型二：空间向量的坐标运算 5 题型三：空间向量模长的坐标表示 14 题型四：空间向量平行的坐标表示 23 题型五：空间向量垂直的坐标表示 28 题型六：空间向量夹角余弦的坐标表示 39 一、题型一：空间向量的坐标表示 1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当时等号成立， ，， ，要使同向，可取， ， 即，. 所以的最大值为． 故答案为： 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量，若共面，则 ． 【答案】6 【分析】 根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】 若共面，则存在实数，使得， 即． 所以，解得．所以． 故答案为： 5．（22-23高二上·北京·期中）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； (2)设，，求证： (3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【答案】(1)①；；②的最小值为4，. (2)证明见解析. (3)最小值为，. 【分析】（1）由的定义即可求解. （2）根据向量的新定义，,,且有，从而. （3）平面方程，可设法向量，取，，有，此时最小. 【详解】（1）由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. （2）, 因为， 所以,, 所以. （3）因为P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为， 面的方程为，即，一个法向量为， 平面是取最小值的必要条件，证明如下： 不妨取，若平面于， 显然，则且，所以， 对于面上任意点都有，即， 所以，仅当重合时取等号， 综上，取最小，必有平面， 由，当共线时取等号，故最小值在共线且平面时取得， 此时且，则，即， 所以， 取且，则，即， 所以， 综上，、时最小. 【点睛】关键点点睛：第三问，说明平面是取最小值的必要条件，进而确定且共线且平面时取最小值. 二、题型二：空间向量的坐标运算 6．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 7．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 9．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得，然后利用空间共线平行向量即可求解. 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 10．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】 如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 11．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，解得答案. 【详解】向量与向量，共面，不共线，则， 即，故，解得. 故选：C. 12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则，，，四点共面 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】首先分析题意，利用投影向量，共面向量基本定理，向量的基底，向量的正交逐个选项分析判断即可. 【详解】对于A：由于 则在的投影向量为,故A错误; 对于B:由于点G为的底面的重心，设点D为BC的中点，故 整理得故 故故B正确； 对于C：由于对于 故四点不共面，故C错误. 对于D: 在单位正交基底下的坐标为,即 所以在基底下满足 整理得解得故，解得， 则在基底下的坐标为故D正确. 故选：BD 13．（23-24高二上·河南·期中）已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据是锐角，得到，求出的取值范围，再由求出的取值范围. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设，，则，则， 所以，， 显然与不可能同向， 因为是锐角，所以， 则，解得或， 又，所以，又， 所以，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 14．（23-24高二上·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【答案】/. 【分析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出的坐标，由此得到关于的方程组，解出方程组则结果可知. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为：##. 15．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，棱长为2的正方体的侧面（含边界）内有一动点P，则下列结论中正确的是 ．    ①若，则； ②若，则； ③若，则 ④若，则存在非零向量使． 【答案】②③④ 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量的坐标表示判断各命题． 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则，，，，，，，， ， ，， 则，时，，①错； ，， ，则，②正确； ，， ，则，所以，③正确； 在侧面内，设，， ，，当时，，④正确， 故答案为：②③④．    16．（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．    【答案】 / 【分析】根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，利用二次函数求最值. 【详解】因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面，且， 如图，建立空间直角坐标系， ，， 设，，，,， ，得，，， 所以， ,， ， 当时，取得最小值.    故答案为：； 三、题型三：空间向量模长的坐标表示 17．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 18．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断AB，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D. 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，      则，，，， ，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为， 则，故A正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量， 则，故C正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算. 19．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在，，上，并满足（），若是的重心，且，则实数值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的线性运算得到，再利用给定条件建立方程求解即可. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，故，，， ，故，，， 而，且是的重心， 故 ， 。 而，故得， 而，解得(另一个根舍去)，则实数值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是利用空间向量的线性运算得到，然后建立空间直角坐标系并结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． 20．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，，所以， ，，由，得，即可得的取值范围，又，计算求解即可. 【详解】因为，，，均为单位向量，所以， 设，，，所以， 因为与夹角为，所以， 因为与夹角为，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 设与的夹角为， ， ， ， 因为为空间中任意单位向量， 所以当，时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：设出空间向量，利用空间向量的模可求解的取值范围，根据空间向量的数量积运算可知当与的夹角为时，可求解最值. 21．（2023·上海奉贤·一模）已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求出模的关系式，再分类分析求出最大值即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， 于是， 因此 由，得， 当时，，此时，的最大值为9， 当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为； 当时，，，，的最大值为9， 当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为，显然， 所以的最大值为. 【点睛】关键点睛：涉及多变量的最值问题，以某个量的取值情况分类讨论求解是解决问题的关键，如本题的. 22．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度. 【详解】结合题意：连接交于点,交于点,连接 由正四棱台的结构特征,易知两两垂直， 故以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为在正四棱台， 所以易计算得到： ，， 所以，, 因为是的中点,所以， 所以. 要使M、P、Q三点共线，则，共线， 则，解得：， 所以，, 所以， 所以. 故答案为:    23．（2023·河南郑州·模拟预测）在四面体中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】或 【分析】将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面所在的平面内，由异面直线，所成的角为，即可大致确定的位置，利用对称性以点在轴正方向时为例找出外接球球心位置并利用半径得出等量关系，求得半径大小后便可得出四面体外接球的表面积. 【详解】依题意，将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面所在的平面内， 因为异面直线，所成的角为，， 所以可得或，所以应为图中或，如下图所示：    由对称性可知，当点在轴负方向时，解法与或位置相同； 可设的中点为，四面体外接球的球心为，球的半径为， 由题意可知，球心在过点且垂直于平面的垂线上，且满足， 建立如上图所示的空间直角坐标系，因为，，， 设，又， 由，所以，或， 解得或, 所以或， 即可知四面体外接球的表面积为或. 故答案为：或 【点睛】方法点睛：在考查几何体外接球问题时，如果外接球球心的位置用几何法不太容易确定，可采取分割补形法或坐标法来确定其位置，进而求得半径. 24．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，要使的最小即要最大，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，， ， 又得：即； 又平面，故为与平面所成角，要使最小，只需最小，即最大， 令， ， 当时，最大，则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，设，由垂直关系结合向量垂直坐标表示得到参数m、n的数量关系，将问题转化为求与平面所成角正切值最大，再应用三角换元，用三角函数表示出，根据正弦函数性质求最值. 25．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 26．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 四、题型四：空间向量平行的坐标表示 27．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示求出关系式，再利用空间两点间距离求解即得. 【详解】依题意，，显然，则，解得， 又，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用空间向量共线的坐标表示求得是解题之关键. 28．（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 29．（22-23高二上·福建福州·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】建系，求利用空间向量设点，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设，则， 可得，即， 故， 同理可得：， 则， 当且仅当时，等号成立， 对，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当，即时等号成立， 即直线与之间的距离是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤： （1）建立适合的坐标系并标点； （2）将图形关系转化为数量关系； （3）代入相应的公式分析运算. 30．（21-22高二下·福建漳州·期末）如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出，由求得，连接并延长交于，在中，作于，由余弦定理求得，再由三角形知识求得即可求解. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， 设，又，则， 则，又，则，解得， 则，连接并延长交于，由得为中点，同理可得连接并延长也交于点， ，画出的平面图，作于， 由余弦定理得，则，， 又，则直线EF与直线的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题关键点在于先建立空间直角坐标系，利用空间向量共线的坐标运算求得，进而在中，由余弦定理及平方关系求得，再由三角形知识求解即可. 31．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】 令，根据题设，，进而有，利用数量积的坐标表示及二次函数性质求取得最小值时对应参数值，即可得结果. 【详解】由题设，，则，， 令，则，所以，则， 故， 所以 ， 故当时，取得最小值，此时坐标为. 故答案为： 32．（2023·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据，从而可求出，即可求解. 【详解】因为，所以，即，得． 故答案为：. 33．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，. (1)判断的形状； (2)若，求的值. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)2 【分析】（1）由空间向量的模长公式可计算的，，结合勾股定理可判断； （2）由空间向量的坐标运算求出的坐标，再结合求出k值即可. 【详解】（1），， 同理，， ，且， 所以是等腰直角三角形. （2），又， ，解得. 所以的值为2. 五、题型五：空间向量垂直的坐标表示 34．（23-24高二上·安徽·期末）已知正方体的棱长为2，、分别是侧面和的中心．过点的平面与垂直，则平面截正方体所得的截面积S为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答. 【详解】正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，    侧面的中心，侧面的中心，且，则， 显然点M在平面与平面的交线上， 设为这条交线上任意一点，则， 而平面，则，即， 令，得点，令，得点， 连，平面与平面必相交， 设为这条交线上任意一点，则， 由，即， 令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，则， 由得，即， 显然平面与平面都相交，则平面与直线相交， 令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面S为五边形， 则， 取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 35．（23-24高二上·湖北·期中）已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心. 【详解】如图所示： 先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点， 利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心， 从而，即， 不妨设垂心，坐标原点为， 则， 所以有，即垂心的坐标满足, 又四点共面， 从而由四点共面的充要条件可知， ， 从而，结合， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例. 36．（2023·安徽合肥·一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答. 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 37．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使得 B．线段长度的取值范围是 C．当点与点重合时，四棱锥的体积为2 D．当为线段中点时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设点，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可确定线段长度的取值范围；利用锥体和台体的体积公式可求得锥体的体积；设外接球球心，列方程求解可得球心，即可得球的表面积. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设点，，其中，， 若存在点，使得， 则，解得，不合题意，A错； 对于B选项，设，其中、， 即，即，可得， ，则，所以，，B对； 对于C选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如图所示： 在直三棱柱中，四边形为矩形，则且， 、分别为、的中点，则且， 所以，且， 同理且，且， 所以，，故几何体为三棱台， ，， ， ， 因此，，C对； 对于D选项，当为线段中点时，，则，此时点与点重合， 此时三棱雉外接球球心必在过中点且与面垂直的线上，如图： 设，所以，即，解得 所以三棱雉外接球半径为， 所以外接球的表面积为，D对. 故选：BCD. 38．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点围成区域的面积为. 其中得出错误结论的同学有（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ACD 【分析】由题意分析可知：点为底面内一点（包含边界），建系，设.对于甲丙丁：结合向量垂直的坐标表示运算求解；对于乙：取点关于平面的对称点为，连接，结合对称性分析判断. 【详解】以A为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由， 可得，所以点为底面内一点（包含边界）， 则，设. 对于甲同学，当时，，则，， 若，则，整理得， 显然方程无解，则点不存在，所以不存在，使得，故A错误； 对于乙同学，当时，，点关于平面的对称点为， 连接，则， 所以， 所以存在点，使得， 即存在，使得，故B正确； 对于丙同学，当时，， 可得， 由，得，即， 所以点的轨迹为中平行于边的中位线， 当为该中位线的中点时，，当不为该中位线的中点时，，故C错误； 对于丁同学，当时，， 可得， 由，得0，整理得， 所以点的轨迹为正方形的内切圆，其区域的面积为，故D错误. 故选：ACD. 39．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用向量中点的性质，进行合理转化，建立空间直角坐标系，找到对称点的坐标，转化为易求的线段长求解即可. 【详解】 设在底面的射影为，则为底面的中心，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 由题可知，则，，,,， 设， 故，，，， ，， 设中点为，且，， 设是平面的平面方程，且该平面的一个法向量为，作为与该平面的对称点，，设，中点为， 故在该平面上，面，故，，解得，， 故，. 故答案为：8 【点睛】利用空间向量的中点性质和坐标运算，巧作对称点，将问题简化，运用三角形边的性质求解，属于难题. 40．（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是 ．    【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求得，取线段的中点，可知点的轨迹为线段，求出点关于直线的对称点的坐标，由此可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 因为，则，即，即点， 由题意可得，则， 取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线的对称点为点， 则线段的中点在直线上，所以，，可得，① ，，②， 联立①②可得，，则点，由对称性可知， 所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值， 即为点到平面的距离，即为. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点的轨迹，最后利用对称的知识得到最值. 六、题型六：空间向量夹角余弦的坐标表示 41．（23-24高二上·浙江杭州·期末）以下四个命题中，正确的是（    ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 【答案】B 【分析】根据向量三点共线可判断A；假设共面，设得出矛盾可判断B；举反例可判断C；利用数量积公式计算可判断D. 【详解】对于A，若三点共线，则，且， 而，故A错误； 对于B，假设共面， 设， 因为为空间的一个基底，所以， 该方程组无解，假设不成立，故B正确； 对于C，设， 则，，故C错误； 对于D，由得，设与的夹角为， 所以，因为，所以，不一定有，故D错误. 故选：B. 42．（23-24高二下·河南·阶段练习）设向量，且，则（   ） A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．的最大值为4 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，取与轴正方向同向的单位向量，设向量与轴正方向的夹角为， 则，又，解得，A正确； 对于B：，由，得 ，即， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，设与夹角的为，则， 由B知，，于是，又，则， 因此与夹角的最大值为，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号， 因此，D正确； 故选：ACD 43．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断A、B，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D. 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，故A正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量， 则，故C正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算. 44．（22-23高二上·湖南株洲·期末）已知圆柱底面半径，高，下底面圆心为O，上底面圆心为，A是下底面圆上任意一点，B是上底面圆上任意一点，则下列命题中正确的是（    ） A．向量与的夹角为定值 B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】建立合理的空间直角坐标系，设，，利用向量夹角公式即可判断A,C，利用向量坐标化的数量积计算即可判断B，利用向量模长的相关计算方法即可判断D. 【详解】以下底面互相垂直的两条直径和上下底面圆心连线为坐标轴建立空间直角坐标系； 对A，由圆柱底面半径，高， 则可设，，其中 ，则， 因为，所以，故A正确； 对B，， ，则，则，则， 所以的最大值为1，故B错误； 对C， ， 因为，所以， 所以与夹角的最大值为，故C正确； 对D，， ， ，故，故D正确. 故选：ACD. 45．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 解得， 故答案为：. 46．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 47．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 48．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可. 【详解】（1）由可得， 若，则， 又，所以，解得， 所以或. （2）由可得，， 所以，，， 所以，所以， 所以. 49．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 【答案】(1) (2)共面，理由见详解 【分析】（1）由空间向量的数量积求出夹角，再由模长公式求出，，求解； （2）由空间向量共面定理求解. 【详解】（1）由已知可得，，， ， 又，. 所以以为邻边的平行四边形的面积为. （2）由题，，，， 假设存在实数，使得， 则解得. ，即与是共面向量， 所以点与点共面. 50．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由向量共线的坐标运算，求实数的值； （2）利用向量数量积求向量和的模和夹角，面积公式求平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得，. ∵，则，解得 （2）由，得， ∵，，， ∴，. ∴. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$