专题03 空间向量基本定理（三大题型，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学重难点压轴题突破专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 空间向量基本定理（三大题型，30题） 目录 题型一：空间向量基底概念及辨析 1 题型二：用空间基底表示向量 2 题型三：空间向量基本定理及其应用 6 一、题型一：空间向量基底概念及辨析 1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若，，，是空间任意四点，则有 B．若向量，，满足，则 C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 7．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川内江·期中）若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，，使得 B．也构成空间的一个基底 C．若，则，，，四点共面 D．若，则直线与异面 9．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）平行六面体中，可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．可以构成空间的一组基底 C．若不构成空间的一组基底，那么空间四点共面； D．设是空间的一个基底，若，则可以作为空间的一组基底 二、题型二：用空间基底表示向量 11．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（    ） A．4 B．0 C． D． 12．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 14．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 15．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值； (3)判定平面ABC与平面的位置关系． 17．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 19．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 20．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 三、题型三：空间向量基本定理及其应用 21．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·四川成都·期末）半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 24．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 26．（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 27．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 28．（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 29．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 30．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量基本定理（三大题型，30题） 目录 题型一：空间向量基底概念及辨析 1 题型二：用空间基底表示向量 8 题型三：空间向量基本定理及其应用 18 一、题型一：空间向量基底概念及辨析 1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，若向量共面，利用空间向量基本定理建立方程组，可得方程组无解．对于C，根据判断． 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面． 选项A，若向量共面，存在实数，， 使， 可得，方程组无解． 所以不共面； 选项B，若向量共面，存在实数，， 使， 可得，方程组无解． 所以不共面． 选项C，因为向量 所以共面． 选项D，若向量共面，存在实数，， 使， 可得，方程组无解． 所以不共面． 故选：C． 2．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可. 【详解】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基. 故选：A. 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 6．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若，，，是空间任意四点，则有 B．若向量，，满足，则 C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 【答案】AD 【分析】利用空间向量运算判断A；利用相等向量的意义判断B；利用空间的一个基底的意义判断C；利用空间共面向量定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，，，四点可能在一条直线上，B错误； 对于C，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C错误； 对于D，若，则， 化简得，因此，，，四点共面，D正确. 故选：AD 7．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为构成空间的一个基底，则不共面. 对于A，因为， 所以向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B，因为， 所以向量共面，不能构成基底，故B错误； 对于C，假设向量共面， 则，即， 可得，则，此时， 这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，假设向量共面， 则，即， 可得，则无解， 这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故D正确； 故选：CD. 8．（23-24高二上·四川内江·期中）若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，，使得 B．也构成空间的一个基底 C．若，则，，，四点共面 D．若，则直线与异面 【答案】BCD 【分析】根据基底、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若存在，，使得， 则共面，与已知矛盾，所以A选项错误. B选项，，假设共面， 则存在，使得， ，所以， 此方程组无解，所以不共面，所以B选项正确. C选项，若， 由于，所以，，，四点共面，C选项正确. D选项，若， 即， 整理得，由于， 所以不共面，所以直线与异面，所以D选项正确. 故选：BCD 9．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）平行六面体中，可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图形，依次判断四个选项中的向量是否共面，即可判断是否可以作为基底，从而得到答案. 【详解】   对于A，因为不共面，所以可以作为基底，故A正确； 对于B，因为，共面，所以不可以作为基底，故B错误； 对于C，因为不共面，所以可以作为基底，故C正确； 对于B，因为共面，，共面，所以不可以作为基底，故D错误； 故选：AC. 10．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．可以构成空间的一组基底 C．若不构成空间的一组基底，那么空间四点共面； D．设是空间的一个基底，若，则可以作为空间的一组基底 【答案】AC 【分析】根据向量共面判断A，C选项，根据基底定义判断B,D选项. 【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确； 对于B中，设，则解得故存在实数，使得， 因此共面．则、、不能构成空间的一个基底，所以B错误； 对于C中，若不构成空间的一组基底，则3个向量在同一平面内， 所以共面，所以C正确； 对于D中，，共面，故不能作为空间的一组基底，所以D错误． 故选:AC． 二、题型二：用空间基底表示向量 11．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】首先分解向量，然后结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意，， 所以 . 故选：D. 12．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 13．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 【答案】ACD 【分析】结合空间向量线性运算利用表示，结合空间向量基本定理求，判断A，表示，结合模的性质及数量积运算律求其模长，判断B，表示，结合向量共面定理判断C，由，可得，化简可求，判断D. 【详解】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 14．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量的基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点， 得，且，则， ， ，而， 所以 . 故答案为：. 15．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值． 【详解】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值； (3)判定平面ABC与平面的位置关系． 【答案】(1) (2) (3)平面ABC平面 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解； （2）根据空间向量的数量积结合夹角公式运算求解； （3）根据题意结合空间向量可得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）由题意可知：点O是的中点，则， 所以 ． （2）设， 则， ． 所以． 又因为，所以，． 所以． 所以异面直线与所成的角的余弦值为． （3）取的中点，连接， 则． 因为，为的中点，则． 又，即． 且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 17．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可. 【详解】（1）. （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以， 又因为，所以 19．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的几何运算，即可求出结果； （2）根据条件，利用向量数量积的运算及定义，即可求出结果. 【详解】（1）如图，.    （2）因为，，， 所以 , 又， ， 所以. 20．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子； （2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长． 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 三、题型三：空间向量基本定理及其应用 21．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 22．（23-24高二上·四川成都·期末）半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出草图，求出球心坐标，分析受力情况，从而得出，由此即可得解. 【详解】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：          上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为， 以球为对象分析它的受力情况：球给它的压力为， 它自身受到的重力为， 由对称性可知碗给它的支持力为， 所以，解得， 所以的最大值是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是准确分析受力情况，列出不等式，由此即可顺利得解. 23．（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】C 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【详解】因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且平面，可得， 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， 可得 ， 又因为，可得，且. 对于选项A：若，则，可得点即为点， 显然平面，故A错误； 对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点）， 由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：1. 设，且，根据空间向量基本定理分析可得，方便建立关系； 2.分析可得平面，则，将的大小转化为的大小. 24．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 25．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】将用表示，再结合求出，即可判断A；将平方，将代入，再结合基本不等式即可判断B；当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，再根据即可判断C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，当点为三角形的重心时，， 所以，又因为， 所以，所以，故A错误； 对于B， ， 因为，所以， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以的最小值为，故B正确； 对于C，当点在平面内时， 则存在唯一实数对使得， 则，又因为， 所以，所以， 因为，所以，所以的最大值为2，故C正确； 对于D，当时，由A选项知， ， 在方向上的投影为， 所以点到的距离， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以点到的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，是解决C选项的关键. 26．（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误；    对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决. 27．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 28．（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 【答案】/ 【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围. 【详解】设， 则 ， 又， ， ， 设，则， 所以，即． 由题设可得，故且， 故， 解得，故． 当且仅当，时等号成立． 故的最大值为． 29．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 30．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$