专题02 空间向量的数量积运算（四大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学重难点压轴题突破专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量的数量积运算（四大题型，40题） 目录 题型一：空间向量数量积的概念辨析 1 题型二：求空间向量的数量积 2 题型三：空间向量数量积的应用 5 题型四：空间向量及其运算综合 7 题型一：空间向量数量积的概念辨析 1．（23-24高二上·广西·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．若，则 C．若，则 D．空间中任何两个向量都是共面向量 2．（21-22高二上·福建南平·期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为直线的方向向量 D．设是和的交点，则对空间任意一点，都有 3．（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 5．（22-23高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； （2）求向量在向量方向上的投影的数量. 题型二：求空间向量的数量积 6．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知点P是棱长为4的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（）    A．3 B．6 C．7 D．8 8．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·山西朔州·阶段练习）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·山西·期中）已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球O的半径 B．球O在正方体外部分的体积大于 C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 12．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（   ）    A．四面体PBCQ的体积的最大值为 B．的取值范围是 C．若二面角的平面角为，则 D．若三棱锥的外接球表面积为S，则 13．（23-24高二上·贵州·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，为球O的一条直径，则的取值范围是 . 14．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ． 15．（23-24高二上·广东深圳·期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 . 16．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 ． 17．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知，对任意都有，则实数的最小值为 . 18．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量； (3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：. 题型三：空间向量数量积的应用 19．（23-24高二下·江苏南京·期末）三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·上海崇明·期中）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2023·河南·模拟预测）已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二下·河南驻马店·期末）如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（    ）    A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 25．（2024·山东青岛·一模）已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为的外心，棱AB与球面交于点P．若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则的周长为 . 26．（22-23高二下·江苏·阶段练习）如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm. 27．（23-24高二上·广东肇庆·期末）在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时， ． 28．（23-24高三上·上海松江·期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 ． 29．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 30．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为 ． 31．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知空间向量，，两两夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是 ． 32．（22-23高二上·安徽安庆·阶段练习）已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则 ， . 题型四：空间向量及其运算综合 33．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2023高二下·浙江·学业考试）如图所示，是边长为3正三角形，，S是空间内一点，分别是，的二面角，满足，点D到直线SB的距离是1，则（    ）    A． B． C． D． 35．（23-24高二上·四川德阳·期末）已知四面体中，，且与平面所成的角为，则当时，的最小值是 . 36．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A．直线与所成角的取值范围是 B．三棱锥的体积为定值 C． D．的最小值为 37．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在三棱锥中，分别是线段上的点，且满足平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．四边形为矩形 B．三棱锥的外接球的半径为 C． D．四边形的面积最大值为 38．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．球在正方体外部的体积大于 C．球内接圆柱的侧面积的最大值为 D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则 39．（22-23高二下·江苏南通·期中）已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（    ）    A．当，时，到的距离为 B．当时，点的到平面的距离的最大值为1 C．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．当，时，四棱锥外接球的表面积为 40．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量的数量积运算（四大题型，40题） 目录 题型一：空间向量数量积的概念辨析 1 题型二：求空间向量的数量积 5 题型三：空间向量数量积的应用 20 题型四：空间向量及其运算综合 36 一、题型一：空间向量数量积的概念辨析 1．（23-24高二上·广西·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．若，则 C．若，则 D．空间中任何两个向量都是共面向量 【答案】D 【分析】由空间向量数量积的定义即可判断A，由空间向量的位置关系即可判断BC，由共面向量的定义即可判断D. 【详解】对于，若夹角为，则成立，错误； 对于，若，则不一定垂直，错误； 对于C，若，当时，不一定平行，C错误 对于D，空间任何两个向量必然共面，D正确. 故选：D. 2．（21-22高二上·福建南平·期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为直线的方向向量 D．设是和的交点，则对空间任意一点，都有 【答案】BCD 【分析】利用平行四边形性质判断A；利用向量加法法则判断B；利用向量共线判断C；利用向量加法运算计算判断D作答. 【详解】在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则，， 于是得四边形是平行四边形， 因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，A不正确； 因四边形是平行四边形，则，B正确； 因，，则为直线的方向向量，C正确； 平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点， 则，D正确. 故选：BCD 3．（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C    4．（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定， 所以不一定成立，故B为假命题； 对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题； 对于选项D：在正方体中，，且方向相同， 所以，故D为真命题. 故选：ACD. 5．（22-23高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； （2）求向量在向量方向上的投影的数量. 【答案】（1），；（2）1 【分析】（1）由，可得，由，可得； （2）由空间向量投影的定义找出在向量方向上的投影即可求解 【详解】（1）在正方体中， 因为， 所以， 因为， 所以； （2）连接， 因为平面， 所以， 又因为， 所以在向量方向上的投影为， 因为， 所以向量在向量方向上的投影的数量为1 二、题型二：求空间向量的数量积 6．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知点P是棱长为4的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解. 【详解】如下图所示：    正四面体的棱长为，设其内切球球心为点，连接并延长交底面于点， 则为正的中心，且平面， 连接并延长交于点，则为的中点，且， ，， 因为平面，平面，则， 可得， 的面积为， 正四面体的体积为， 设正四面体的内切球的半径为， 则， 即，解得， 可得， 因为，， 可得， 当点位于正四面体的顶点时，取最大值， 所以. 故选：A. 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（）    A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，由题意可得点在平面内，且当平面时，取最小值，即平面,求出的坐标，计算出的值，即可得答案. 【详解】以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图所示：    设正方体的棱长为， 则，，，，，，，， 因为，且， 所以点在平面内，    又因为三棱锥为正三棱锥， 当平面时，取最小值，此时点位置记为点， 所以为的重心，则，故， 又因为，，，，，，， 所以，，，，，，， 所以共3个不同的取值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：在平面中，如果，且，则三点共线； 在空间中，如果，且，则四点共面. 8．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值. 【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则. 因为正四面体的棱长为3，所以， 所以，设内切球的半径为， 则，，解得， 当为内切球的直径时最长，此时，， ， 因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.    故选：C 9．（22-23高二上·山西朔州·阶段练习）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 10．（22-23高二上·山西·期中）已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得该正四面体的外接球的半径，进而得，再根据求解即可. 【详解】如图，设分别为正四面体棱中点， 作平面，垂足为， 所以，由正四面体的性质知三点共线，且，且其外接球的球心在上，记为， 因为正四面体的棱长为6， 所以，， 设四面体外接球的半径为，即， 所以，，即，解得， 所以，， 因为P是四面体外接球的球面上任意一点， 所以， 因为， ， 所以 ， 因为， 所以 故选：B 【点睛】方法点睛：对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积. 11．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球O的半径 B．球O在正方体外部分的体积大于 C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 【答案】ABD 【分析】对于A，画出图形易知正方体的棱切球的直径，即可得半径；对于B，结合球的体积和正方体体积公式即可判断；对于CD，取中点，可知在球面上，根据空间向量的数量积运算即可判断. 【详解】对于A，正方体的棱切球与正方体的每条棱相切于棱中点，如图所示， 为球的一条直径，且， 故球半径，故A正确； 对于B，若球体、正方体的体积分别为， 球在正方体外部的体积，故B正确； 对于C、D，取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 所以（当为直径时，）， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用空间想象能力，得到球与正方体的相切形状，从而得解. 12．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（   ）    A．四面体PBCQ的体积的最大值为 B．的取值范围是 C．若二面角的平面角为，则 D．若三棱锥的外接球表面积为S，则 【答案】ACD 【分析】根据棱锥的体积公式可判断A；根据向量的相等以及数量积的定义可判断B；结合二面角平面角定义找出，结合解直角三角形判断C；确定三棱锥的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥外接球表面积取值范围，判断D. 【详解】由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故， 点P到底面的距离为， 当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大， 则 ，故A正确； 由于，则， 又在中， ， 故， 因为，所以，则 ，故B错误； 因为平面，平面，故，而, 平面，故平面，平面， 故，所以是二面角的平面角，        则，因为 ，所以，故C正确； 设线段BC的中点为N， 线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上， 在四边形中，,, 设，在中，在中， 故， 整理得，所以 ，所以外接球的表面积为，D正确， 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项D的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围. 13．（23-24高二上·贵州·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，为球O的一条直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用等体积的方法得到正八面体的内切球半径，然后将转化为，最后求范围即可. 【详解】由题意得为正方形的中心，取中点，连接，， 因为为正八面体，所以平面， ，，， 设正八面体的内切球半径为， 则, 所以，解得， ， 由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，此时， 当点在切点，最小，， 所以，即. 故答案为:． 【点睛】关键点睛：本题的关键是先利用体积法求出内切球半径为，然后再对向量化简为，最后再根据的范围即可求出答案. 14．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球O为正方体的内切球，设G为AB的中点，结合向量数量积的运算律将转化为，结合四面体以及正方体和球O的切接问题，求出的最大值以及最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知正四面体的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，    正方体棱长为，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线， 由于球O与正四面体的每一条棱都相切，故球O为正方体的内切球， 球O的直径为正方体的棱长，则半径； 设G为AB的中点，则， 则 ， 由于点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动， 故点P位于DC的中点处时，最大，即为正方体内切球直径， 此时取到最大值； 在正四面体中，设E为DC中点，连接， 则，平面， 则平面，而平面， 故平面平面，则球O的球心O在平面内， 则的内切圆即为球O的一个小圆，设该圆与AE的交点为F， 则F点和AB都位于球O的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧所对弦长最短， 即P点位于F点时，最小； 设内切圆圆心为，则内切圆半径为， ，则， 中，，，故， 在中 ，则， 即的最小值为，故的最小值为， 故的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球O转化为正方体的内切球问题，结合多面体和球的切接问题，求解答案. 15．（23-24高二上·广东深圳·期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 . 【答案】 【分析】利用等体积法求得，根据空间向量运算可得，则当的长度最小时，取得最小值，结合正四面体的结构特征运算求解. 【详解】设的中点为，的中心为，连接， 因为四面体是棱长为1的正四面体，可知， 即四面体的高为，则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 由等体积可得，解得， 如图，取的中点为， 则， 显然当的长度最小时，取得最小值. 设正四面体内切球的球心为，可求得， 因为球心到点的距离， 所以球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为. 故答案为：. 16．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 ． 【答案】 【分析】先根据正四面体的体积求出内切球的半径，取的中点为，再根据数量积得到，可得当的长度最小时，取得最小值，再求出球心到点的距离，从而可得点到的距离为，进而求解即可． 【详解】由正四面体的棱长为12，则其高为， 则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 则，解得， 如图，取的中点为， 则， 显然，当的长度最小时，取得最小值， 设正四面体内切球的球心为，可求得， 则球心到点的距离， 所以内切球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P到AD的距离为球心O到点E的距离减去半径． 17．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知，对任意都有，则实数的最小值为 . 【答案】1 【分析】设出，，从而利用向量数量积公式结合三角函数恒等变换和有界性求出最值，得到答案. 【详解】可设，，其中， 则 ， 因为，所以， 由于，，故 ， 因为，所以， 又恒成立，故的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用向量的几何意义将问题转化为几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 18．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量； (3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：. 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解； （2）根据题意，不妨设，得到有5个分量为，设的前5个分量中有r个，得到5个分量中有个，进而求得r的值，即可求解； （3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）两两垂直的4维信号向量可以为：，，，. （2）假设存在10个两两垂直的10维信号向量，，…，， 因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设，， 因为，所以有5个分量为， 设的前5个分量中有r个，则后5个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在10个两两垂直的10维信号向量. （3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到S， 则， 设，，…，的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以， 令，所以，所以. 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断. 三、题型三：空间向量数量积的应用 19．（23-24高二下·江苏南京·期末）三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据对角线向量的性质列方程求关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，可将三棱锥补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积. 【详解】设，则， 因为 ， 所以，解得：， 即，可知， 过作，连接，则， 可知，且二面角的平面角为， 则为等边三角形，即， 设，因为， 即，解得：或， 可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合， 则，，由，平面，则平面， 且为二面的平面角，可知为等边三角形， 可将三棱锥补充直棱柱，如图所示， 为底面正的外心，即， 为的外接球球心，可知，且， 则三棱锥的外接球半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 20．（23-24高二上·上海崇明·期中）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C    【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键. 21．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点Q，连接OQ， 如图，以O为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为M是棱上一动点，设，且， 所以，则， 因为，且所以在直角三角形中可得： 即，于是令， 所以，，又符合函数为增增符合，所以在上为增函数， 所以当时，，即线段MN长度的最小值为， 当时，，即线段MN长度的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点睛：1.找到，再利用函数单调性求出最值. 2.建系，设出动点，利用空间向量法求出，再结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可. 22．（2023·河南·模拟预测）已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，的中点，连接，，过点作平面，设点为三棱锥的外接球的球心，半径为，由，可得，根据，解得，可得，即可得出三棱锥的外接球的表面积． 【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接，， 设点为三棱锥的外接球的球心，过点作平面， 连接，，设，球的半径为， ，， 为中点，，， 又平面， 二面角的平面角为， ，，， ， ， ， ， 解得， ， 三棱锥的外接球的表面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三棱锥外接球问题，考查空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.解决本题的关键是利用空间中线面关系结合空间向量数量积的运算律，将外接球的半径转化为向量模长求解，设球心到平面的距离为，将向量拆分成，并确定其中两两向量之间的数量积，利用向量运算得，结合球的几何性质列方程求解半径即可. 23．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别在上，且，再根据线面垂直的性质与判定，结合体积公式可得，进而转求线段的最大值.再设的中点分别是，利用，再两边平方，结合向量的性质分析可得，进而求得体积最大值即可. 【详解】设分别在上，且， 因为，所以面 所以， 所以.要求四面体的体积最大，即求线段的最大值. 设的中点分别是，球心为，因为， ，所以.所以在中， 因为，所以 因为，所以 所以，当和均重合时取等 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，需要结合体积的公式与球的性质，从而得到线的垂直关系与线段长度间的关系，并结合空间向量的方法分析最值.属于难题. 24．（22-23高二下·河南驻马店·期末）如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（    ）    A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得四边形为菱形，则可得，再计算，可得，从而得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B， 连接，可得，从而可证得平面，进而可求出体积，对于C，利用空间向量的加法分析判断，对于C，设，则可得 ，然后利用向量的夹角公式计算判断. 【详解】对于A，因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形，所以， 因为，， 所以，所以， 因为， 所以， 所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以A正确， 对于B，连接，因为，，所以， 所以为直角三角形，即，因为∥，所以， 因为由选项A知平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以平行六面体的体积，所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，因为在菱形中，，所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD    【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积的求法，考查空间向量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想能力和计算能力，属于较难题. 25．（2024·山东青岛·一模）已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为的外心，棱AB与球面交于点P．若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周长. 【详解】设与之间的距离为d，设球O的半径为R，则由题意得，解得， 所以，所以，所以， 由A，P，B三点共线，故存在实数使得， 所以，所以，即， 解得，所以，所以，所以， 又且与之间的距离为d，则，， 所以，，所以， 又，所以的周长为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点的位置．本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解. 26．（22-23高二下·江苏·阶段练习）如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm. 【答案】 【分析】作，，垂足分别为，，求出、、的长度，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】如图所示，作，，垂足分别为，，则，， ，，折叠后，，，的长度保持不变， 所以，， 因为二面角为直二面角，，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 所以， 因为 ， 所以，即. 故答案为：； 27．（23-24高二上·广东肇庆·期末）在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时， ． 【答案】/ 【分析】 建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设，根据，结合数量积运算，求得，进而表示出的面积，结合面积有最小值即可求得，即可求得答案. 【详解】以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 因为，故，即， 由于平面，平面，故， 所以的面积为， 而， 故，当时，取最小值，即S最小， 此时，则， 故，即， 故答案为： 【点睛】 方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合面积最小，求出参数，即E点的坐标，从而解决问题. 28．（23-24高三上·上海松江·期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】设BC的中点为O. 因为动点满足，所以, 即点P落在以O为球心，以为半径的球上. 因为, 所以. 因为正四面体的棱长为， 所以， 在三角形中，,. 取AD的中点为E,OE⊥AD， 所以在上的投影向量的模为， 所以. 设， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识. 29．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论． 【详解】依题意，，， 因为，所以， 所以，所以， 令，则，且， 由，得，所以， 所以， 当且仅当，共线同向且，共线时等号成立. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论． 30．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据题意求得外接球的半径，再转化可得，计算后利用余弦函数的有界性即可求解. 【详解】由题知，如图所示：    设分别是的中点，作平面，垂足为， 由正四面体的性质可知，三点共线，且， 其中外接球的球心在上，设球心为， 又正四面体的棱长为6， 则 设外接球的半径为，则 所以，解得 则， 所以 又， ， 所以 又， 所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用向量的运算法则将问题向量转化为已知向量之间的关系，从而将问题通过三角函数表示出来，再利用三角函数有界性的性质即可解决. 31．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知空间向量，，两两夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的运算律化简得，，再由向量的三角不等式求解． 【详解】解：法1：构造三棱锥，令，故，令， 由已知条件可知，，即，设中点为，故， 故：，当且仅当四点共线且依次排列时等号成立． 法2： 即，即， 同理， 所以 故答案为： 32．（22-23高二上·安徽安庆·阶段练习）已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则 ， . 【答案】 【分析】 问题等价于当且仅当时取到最小值，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案. 【详解】， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时取到最小值， . 则，解得. 故答案为：； 【点睛】求解空间向量模有关的问题，可以考虑通过平方的方法进行求解，即利用，将问题转化为利用数量积的运算进行解题.含有多个平方的代数式的最小值，是平方的式子为的时候最小. 四、题型四：空间向量及其运算综合 33．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 34．（2023高二下·浙江·学业考试）如图所示，是边长为3正三角形，，S是空间内一点，分别是，的二面角，满足，点D到直线SB的距离是1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得，根据二面角以及解直角三角形等知识分别求得和，由此求得正确答案. 【详解】由于，所以， 由余弦定理得， 则，而为锐角， 所以，， 同理可求得.    设平面，且平面， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 由于平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，所以， 同理可证得，依题意， 即， 设，则， 所以， ，， 所以三点共线，而平面，所以， ，， 连接，过作，垂足为，则， 所以，所以    ， 由两边平方得 ， 即，为锐角，故解得. 由两边平方得 ， 即，为锐角，故解得， 所以.    故选：D 【点睛】求解二面角有关问题，关键是利用二面角的定义作出二面角的平面角.常用的方法有定义法和线面垂直法.定义法是：在交线上任取一点，过这点在两个面内分别引交线的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.线面垂直法是：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向交线作垂线，连线后得到二面角的平面角. 35．（23-24高二上·四川德阳·期末）已知四面体中，，且与平面所成的角为，则当时，的最小值是 . 【答案】 【分析】设，且点在平面内，根据条件，将问题转化成当在面上的投影与共线时，求的最小值，建立平面直角坐标系，得到，即点与，的距离之和，即可求出结果. 【详解】设，且点在平面内，取中点， 则， 显然，当在面上的投影与共线时，会比不共线的小， 当在面上的投影与共线时，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 又，且与平面所成的角为，设， 则，，，得到，， 所以， 其可表示为点与，的距离之和，作关于轴的对称点， 显然，    故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成当在面上的投影与共线时，求的最小值，再通过建立平面直角坐标系，将问题转化成点与，的距离之和，从而解决问题. 36．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A．直线与所成角的取值范围是 B．三棱锥的体积为定值 C． D．的最小值为 【答案】AC 【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角， 又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值， 当与线段的中点重合时，与所成角取最大值， 故与所成角的范围，故A正确. 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等， 所以点到平面的距离等于点到平面， 所以，故B错误； 对于C，， 设， 所以， 当时，有最小值为；当或时，有最大值为； 故，所以，所以， 则，故C正确； 对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到， 且最小值为：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 37．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在三棱锥中，分别是线段上的点，且满足平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．四边形为矩形 B．三棱锥的外接球的半径为 C． D．四边形的面积最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由即可举出反例；对于B，由补形法将其放入长方体中即可验算；对于C，由截平行线段成比例即可验算；对于D，由三角形面积公式结合基本不等式相关推论即可验算. 【详解】 对于A，平面, 平面， 又面，面面， 所以，同理， 而 ， 所以与不垂直，从而与也不垂直，故A错误； 对于B，把题设四棱锥放入长方体中，如图所示， 不妨设长方体的棱长分别为，且，三棱锥的外接球的半径为， 易知长方体的体对角线长度等于三棱锥的外接球的半径的两倍， 所以，解得，故B正确； 对于C，由A可知，且 ， 所以由截平行线段成比例得， 又，所以，故C正确； 对于D，由A可知， 所以， 所以四边形的面积， 等号成立当且仅当，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：B选项的关键是把题设四棱锥放入长方体中，由此即可顺利得解. 38．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．球在正方体外部的体积大于 C．球内接圆柱的侧面积的最大值为 D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则 【答案】ABD 【分析】对A，可求得正方体棱切球半径，运用表面积公式即可得；对B，由球在正方体外部的体积大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得；对C，计算出球内接球内接圆柱的高及底面积即可得；对D，根据向量的数量积运算即可得. 【详解】解析：对于A．如图所示， 正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确； 对于B．若球体､正方体的体积分别为． 球在正方体外部的体积，故B正确； 对于C，球的半径，设圆柱的高为， 则底面圆半径， 所以， 当时取得最大值，且最大值为，所以C项错误； 对于D，取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动， 所以（当为直径时，）， 所以．故D正确． 故选ABD．    39．（22-23高二下·江苏南通·期中）已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（    ）    A．当，时，到的距离为 B．当时，点的到平面的距离的最大值为1 C．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．当，时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】CD 【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积. 【详解】A：，则，即，故在上运动， 所以到的距离为，即棱与的距离，错； B：，则，故在底面上运动， 所以，当在上时，的到平面的距离最大， 而，面，面，则面， 所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错； C：，则，故在上运动， 根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，对； D：，则，故为中点， 如下图，，，    所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点， 故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R， 所以，，且， 可得，则外接球的表面积为，对. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：根据各选项的条件，利用向量加减、数乘的几何意义确定的位置或运动区域为关键. 40．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①10，②证明过程见解析 【分析】 （1）作出辅助线，证明出线面垂直，得到⊥，由三线合一得到，进而得到六条边均相等，证明出结论； （2）①设出边长，由余弦定理得到，设出，表达出，利用列出方程，求出，得到答案； ②取中点，令，则到平面的距离为，表达出，再利用四棱锥内切球半径得到，其中，进而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）连接， 因为菱形中，， 所以和为等边三角形， 因为是中点，所以⊥， 因为是与的公垂线，所以⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 由三线合一得， 又，所以三棱锥为正四面体，    （2）不妨设，则，， 由余弦定理得， 设， 所以， 因为， 所以 ， 故， 其中，， ， 即，解得，故；    ②取中点，令，则到平面的距离为， ，      设四面体的表面积为S，则， 其中， 而， ， 所以， 即. 【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$