专题01 空间向量及其线性运算（十一题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学重难点压轴题突破专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量及其线性运算（十一题型，60题） 目录 题型一：空间向量的有关概念 1 题型二：空间向量的加减运算 2 题型三：空间向量加减运算的几何表示 4 题型四：空间向量共线的判定 6 题型五：由空间向量共线求参数或值 7 题型六：空间共线向量定理的推论及应用 8 题型七：判断空间向量共面 10 题型八：空间向量共面求参数 11 题型九：空间共面向量定理的推论及应用 11 题型十：空间向量的数乘运算 12 题型十一：空间向量的数乘运算的几何表示 14 题型一：空间向量的有关概念 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ）      ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：    (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 题型二：空间向量的加减运算 5．（21-22高二上·湖北孝感·期末）如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 7．（2023·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 8．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 11．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 12．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 题型三：空间向量加减运算的几何表示 13．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·湖北黄石·期中）已知四棱台的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（    ）    A．侧棱上一点E，满足，则平面 B．若E为的中点，过，，的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为 C． D．设与面的交点为O，则 17．（23-24高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 题型四：空间向量共线的判定 18．（21-22高二上·上海普陀·阶段练习）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非必要非充分条件 19．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 20．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为 ． 22．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 题型五：由空间向量共线求参数或值 23．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 24．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高二上·广东广州·阶段练习）已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为 . 27．（21-22高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，，若向量，则实数的取值范围为 ． 题型六：空间共线向量定理的推论及应用 28．（23-24高二上·福建福州·期末）已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 29．（23-24高二下·山西太原·期末）如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 30．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 31．（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 32．（22-23高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 题型七：判断空间向量共面 33．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 34．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知长方体，，，M是 的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A． B．6 C． D．5 35．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 36．（23-24高二上·福建泉州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 37．（23-24高二上·重庆·期末）一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为 ． 题型八：空间向量共面求参数 38．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 39．（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知三棱锥的各条棱长均为2022，过其底面中心O作动平面交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点，则下列结论正确的有（    ） A．若平面，则 B．三棱锥的侧棱和底面所成角的正切值为2 C．三棱锥的侧面和底面所成角的余弦值为 D． 40．（23-24高二上·湖北黄石·期中）已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则为 . 41．（22-23高二上·重庆长寿·期末）已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为 ． 42．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 题型九：空间共面向量定理的推论及应用 43．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（    ） A．为等边三角形 B． C．EM与底面ABCD所成的角是 D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 45．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 46．（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 47．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    题型十：空间向量的数乘运算 48．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 49．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 题型十一：空间向量的数乘运算的几何表示 54．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 55．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 56．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 58．（22-23高二下·福建龙岩·期末）在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当线段MN取最小值时， D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为 59．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 60．（21-22高二上·山东济南·阶段练习）如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则 . 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其线性运算（十一题型，60题） 目录 题型一：空间向量的有关概念 1 题型二：空间向量的加减运算 4 题型三：空间向量加减运算的几何表示 9 题型四：空间向量共线的判定 15 题型五：由空间向量共线求参数或值 19 题型六：空间共线向量定理的推论及应用 21 题型七：判断空间向量共面 28 题型八：空间向量共面求参数 32 题型九：空间共面向量定理的推论及应用 36 题型十：空间向量的数乘运算 39 题型十一：空间向量的数乘运算的几何表示 44 一、题型一：空间向量的有关概念 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ）      ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出正方体，通过化简即可得出结论. 【详解】由题意，设正方体边长为，    ①由几何知识得，是全等的等边三角形，且边长为 ∴， ， ， ∴，①正确. ②由几何知识得，， ， ∴ ，② 错误. ③， ∴ ∵右手系叉乘具有方向， ∴， ， ∴，③ 错误； ④，，故④ 错误； 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 【答案】 错误 正确 正确 正确 【分析】根据单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念判断即可. 【详解】（1）单位向量的方向是任意的，故（1）错误； （2）在空间中，任意向量都可以平移，故（2）正确； （3）在空间中长度相等，方向相反的向量，叫相反向量，是共线的，故（3）正确； （4）相等向量方向相同，长度相等，当起点相同时，终点一定相同，故（4）正确. 故答案为：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）正确. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：    (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 【答案】(1)相等 (2)是 【分析】（1）根据相等向量的知识确定正确答案. （2）根据相反向量的知识确定正确答案. 【详解】（1）由于，，均与的方向相同、长度相等，因而它们均与相等． （2）由于，，的长度均与的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量． 二、题型二：空间向量的加减运算 5．（21-22高二上·湖北孝感·期末）如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量加减运算，结合长方体的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：B 6．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值. 【详解】因为， 且，所以， 而，当且仅当同向时，等号成立， 而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向， 所以 且均小于直径长2，即， 综上，. 根据选项可知A不符合. 故选：A 7．（2023·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由 ， 当“A、B、C、D四点在同一条直线上时，  A, B, C, D四点不共圆， 若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时. 故选: D 8．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断. 【详解】因，所以选项错误； 因 .所以选项错误； 因为，所以选项错误. 因为，所以选项正确； 故选：. 9．（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加减运算法则，以为基底，不断向其转化即可得到答案. 【详解】 故选：A. 10．（22-23高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的模长、夹角、位置关系等知识逐一对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】以 为空间一组基底， , , 所以，故A选项正确； 所以 故B选项错误； ， 所以 所以 故 C选项错误； 设直线BD与AC所成角为 ，   ， 故 所以， 故D正确； 故选：ABD. 11．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 【答案】， 【分析】根据向量的拆分即可求解. 【详解】. 故答案为：. 12．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【答案】 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果. 【详解】依题得， 。 故答案为：． 三、题型三：空间向量加减运算的几何表示 13．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 14．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案. 【详解】是的中点， . 故选：B. 15．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为，，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 由重心性质可得，设， 又， 则，故，解得. 故，故. 故选：A 16．（23-24高二上·湖北黄石·期中）已知四棱台的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（    ）    A．侧棱上一点E，满足，则平面 B．若E为的中点，过，，的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为 C． D．设与面的交点为O，则 【答案】AC 【分析】选项A：先把平面与四棱锥的截面补全，从而得到G为BC中点，进而判断得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可判断；选项B：通过两个多面体的体积和计算可以判断；选项C：利用空间向量的线性计算即可判断；选项D：利用等体积法计算求得点D、到平面的距离，再利用直线与面所成角的定义可得的比值，从而得以判断. 【详解】对于A：连结，并延长交DC于F，，连AF交BC于G点，则G为BC中点，连，    由四棱台的结构可知， ， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 面，故A正确； 对于B：设四棱台的高为h， 若E为中点，则， ， ， ，，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：连接AC、BD交于点P，连接，，    由四棱台的结构特征可得，， 故四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面， ，， ，故点D、到平面的距离相等， 设直线与面所成角为，则， 故，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：空间向量的综合问题： ①掌握线性运算：加法口诀“首尾相连，从头到尾”、减法口诀“共起点，从后向前”； ②几何体的体积：线面平行或面面平行时，线或面上的点到平面的距离都相等； ③点到平面的距离：等体积转换法的应用； ④线面平行的判定：注意事项，标注线不在平面内. 17．（23-24高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1)0 (2) 【分析】 小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【详解】（1）， （2） ， ． 四、题型四：空间向量共线的判定 18．（21-22高二上·上海普陀·阶段练习）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非必要非充分条件 【答案】A 【分析】先讨论充分性，令，可得出，从而确定充分性成立；再讨论必要性，举出反例当，此时满足，但“”不成立，确定必要性不成立；从而得出结论. 【详解】解：由题可知，非零向量， 当“”成立，令， ， 则，而， ，则，故充分性成立； 若，此时满足， 由于分母不能为0，可知“”不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 19．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 20．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据空间平行向量的坐标表示，结合方向向量的概念依次判断选项即可. 【详解】设. A：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故A不符合题意； B：若点在直线上，有， 则存在实数使得成立，即向量与共线，故B符合题意； C：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故C不符合题意； D：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故D不符合题意； 故选：B. 21．（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为 ． 【答案】4 【分析】由，可得，P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，进而可得到答案． 【详解】取AC的中点O， ∵， ∴， ∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍， 故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱的高为h 三棱锥的体积为 故答案为：4． 22．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 五、题型五：由空间向量共线求参数或值 23．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线求解即可； 【详解】因为，所以， 解得：， 所以. 故选：B. 24．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 25．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解. 【详解】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D    26．（21-22高二上·广东广州·阶段练习）已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为 . 【答案】/ 【分析】由向量的模的计算公式得，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案. 【详解】解：，，， 则，所以， 所以，故. 由于使成立的正数有且只有一个， 故关于以为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故， 解得，当时，故舍去，则. 故的范围是唯一一个实数， 故答案为：. 27．（21-22高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，，若向量，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据向量，共线的坐标表示计算即可求解. 【详解】向量， ， 解得：或. 故答案为：或. 六、题型六：空间共线向量定理的推论及应用 28．（23-24高二上·福建福州·期末）已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案. 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A 29．（23-24高二下·山西太原·期末）如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于，      可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解. 30．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    31．（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，由平面向量线性运算法则可知点在线段上，利用等体积法求出体积可判断A；当时，由共线定理可得点在线段上，根据对称性将的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线与所成角为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当时，取的中点为，由共线定理可知三点共线，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 【详解】对于A，取相交于点的中点为，如下图所示： 当时，即， 由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，又, ；即A不正确； 对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上； 由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以； 取平面进行平面距离分析，如下图所示： 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时点为线段的中点，即的最小值为，故B正确； 对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内， 若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为； 则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图所示： 所以动点的轨迹长为，故C正确； 对于D，当时，取的中点为，即； 由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示： 易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为； 作于点，设，易知， 因为，则，得，则， 设外接球半径为，则，解得； 所以， 由二次函数的性质可知，当时，半径最小为；当时，半径最大为； 又，所以半径的取值范围是，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据向量线性运算法则和共线定理的应用，确定点的位置，再根据几何体特征利用对称性即可求得距离之和的最小值，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 32．（22-23高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】 由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 七、题型七：判断空间向量共面 33．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 34．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知长方体，，，M是 的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得点在平面内，再利用线面、线线平行的判定性质推理计算即得. 【详解】在长方体中，由，，得点在矩形及内部， 当为中点时，连接，如图， 由M是 的中点，得， 而长方体的对角面是矩形， 则，因此，又平面，平面， 于是平面， 又在过且平行于平面的平面中，故的轨迹为线段即为. 而，则， 所以动点P的轨迹所形成的轨迹长度是5. 故选：D 35．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 36．（23-24高二上·福建泉州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】根据向量共面定理逐项判断； 【详解】因为， 所以，，共面，A错误. 假设存在，，使得，则有：矛盾，，无解，所以，，不共面，B正确. 假设存在，，使得，则有：，与基底要求矛盾，无解，所以，，不共面，C正确. 因为，所以，，共面，D错误. 故选：BC. 37．（23-24高二上·重庆·期末）一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由向量满足条件可知点是平面上的动点，转化为求点到平面的距离，利用补形及等体积法求解即可. 【详解】，且， ，所以四点共面，即点是平面上的动点， 所以的最小值即点到平面的距离， 由题意，几何体可补成边长为3的正方体，如图， 则可得， 设点到平面的距离为，则， 即， 解得.所以的最小值为. 故答案为：. 八、题型八：空间向量共面求参数 38．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 39．（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知三棱锥的各条棱长均为2022，过其底面中心O作动平面交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点，则下列结论正确的有（    ） A．若平面，则 B．三棱锥的侧棱和底面所成角的正切值为2 C．三棱锥的侧面和底面所成角的余弦值为 D． 【答案】ACD 【分析】由线面平行的性质定理证明线线平行判断选项A；D为BC的中点三棱锥的侧棱和底面所成角为，侧面和底面所成角为，计算相应角的三角函数值，判断选项BC；分别用基底和表示出，根据四点共面得出的值判断D选项. 【详解】若平面，平面，平面平面，则，A选项正确； 三棱锥的各条棱长均为2022，O为底面中心， 则是等边三角形， O是的重心，延长AO交BC于点D， 则D为BC的中点，连接PD，如图所示， 则有平面，，， 三棱锥的侧棱和底面所成角为，三棱锥的侧面和底面所成角为， ，，，，， 中，中， 三棱锥的侧棱和底面所成角的正切值为，B选项错误； 三棱锥的侧面和底面所成角的余弦值为，C选项正确； ， 设，，   ∵四点共面，∴ 即， ，，， ∴ ， ，D选项正确 故选︰ ACD 40．（23-24高二上·湖北黄石·期中）已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则为 . 【答案】 【分析】利用空间向量基本定理即可解题. 【详解】令， 即，所以，，，经检验符合题意. 故答案为： 41．（22-23高二上·重庆长寿·期末）已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意,存在实数使得等式成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可. 【详解】点在平面内, 存在实数使得等式成立, , ，解得. 故答案为： 42．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值. 【详解】（1）由已知得，， 因为，设，则， 所以，或. （2）由已知得，， 点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对， 使得成立，即， 解得，所以 九、题型九：空间共面向量定理的推论及应用 43．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（    ） A．为等边三角形 B． C．EM与底面ABCD所成的角是 D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 【答案】D 【分析】根据共面向量的推论得到四点共面，再结合最小得到点的位置，然后根据正棱锥的性质判断AB选项；C选项，根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后求线面角即可；D选项，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据四棱锥的特点得到为四棱锥外接球的球心，然后根据角的比值求体积即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以四点共面， 所以当为四边形的中心时，最小， 对于A：根据正棱锥的性质可得平面， 因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错； 对于B：在直角三角形中，，， 所以三角形为等腰直角三角形， 因为是的中点，所以，故B错； 对于C：因为平面，所以点在底面的投影落在上， 所以为直线与平面所成角， 因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C错； 对于D：根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以， 因为平面平面，所以为二面角的平面角， 因为， 所以为四棱锥外接球的球心，为直径， 所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D正确. 故选：D. 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 45．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的运算可得，再由空间向量基本定理可得，即可得到结果. 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则. 故选：C 46．（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 47．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    【答案】 【分析】确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 十、题型十：空间向量的数乘运算 48．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 49．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 50．（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 51．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， 因为E为棱BC的中点， 所以, 故选：C 52．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为, 所以 . 故选：B. 53．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 十一、题型十一：空间向量的数乘运算的几何表示 54．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 55．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长交于点P，根据平面基本定理，即可作出过E，F，G三点的平面与的交点H，作，推出，再作，即可推出，即可求得答案. 【详解】由题意，即G为靠近C的四等分点，F为CD的中点， 如图，延长交于点P，则平面，平面， 又平面，连接EP，则平面，而平面， 显然不平行，则二者相交，交点即为过E，F，G三点的平面与的交点H， 作，交于M，F为CD的中点， 则≌，则，结合，则， 由于，故， 作，交于N，则， 而E为AB的中点，即，故， 又，故，即， 故选：C 56．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由空间向量运算表示出，结合四点共面，得，解出即可. 【详解】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即. 故选：A. 57．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 58．（22-23高二下·福建龙岩·期末）在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当线段MN取最小值时， D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为 【答案】BCD 【分析】对A：根据平面向量结合异面直线夹角分析运算；对B：根据空间向量分析可得点M在线段上（包括端点），进而结合线面垂直分析证明；对于C：根据圆的性质结合对称性以及向量的线性运算求解；对D：根据题意结合体对角线的性质分析求解. 【详解】因为点N满足，其中，， 则点N在正方形内（包括边界）， 又因为∥，则异面直线BN与所成角即为， 可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 所以A错误； 因为 且，所以点M在线段上（包括端点）， 因为平面，平面，则， 又因为为正方形，则， ，平面，所以平面， 且平面，所以，所以B正确； 因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 又因为当时，取到最小值，此时是的中点时， 结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时， 则，所以， 即，所以，故C正确； 当时，则，即与重合， 与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面， 因为平面，且平面，所以， 同理可证：， 且，平面，所以平面， 而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形， 所以截面面积的最大值为，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：根据向量的相关知识分析可得点的位置，并结合空间中的位置关系运算求解. 59．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 60．（21-22高二上·山东济南·阶段练习）如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则 . 【答案】. 【分析】先证明成立，设正四棱锥的体积为，，应用结论可得，从而可解得，进而可得. 【详解】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点， 则四面体体积之比. 事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而 . 设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得 ，则， ，则， 所以； 同理可得. 所以，解得，即，从而. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面体体积之比. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$