专题03 一元二次方程的根与系数的关系（压轴题，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

专题03 一元二次方程的根与系数的关系（压轴题，30题） 一、单选题 1．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 2．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 3．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 二、填空题 4．已知实数满足：．求的最小值 5．已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 （填序号）． 6．如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ． 7．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且． （1）下列说法正确的有 ．（将正确选项的序号填在横线上） ①若，则； ②； ③若，则； ④若，则． （2）某数学兴趣小组为了增加此题的趣味性，将题目改成：若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，其中，，均为整数，则的最小值为 ． 9．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则 ． 三、解答题 10．已知关于x的方程，其中p，q都是实数． (1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值． (2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值． (3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由． 11．著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现．”我们向伟人看齐，将这种勤思善学、励能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜． 【提出问题】 我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？ 【构造关系】 将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为． (1)当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”． 【自能探究】 (2)已知某一元二次方程有两个实数根、，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值． (3)已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由． 12．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 13．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 14．已知关于x的方程． 求证：不论为何实数时，方程有固定的自然数解，并求这自然数； 设方程另外的两个根为、，求、的关系式； 若方程的三个根均为自然数，求的值． 15．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 16．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，，均为整数； (3)当取哪些有理数时，，均为整数． 17．已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 18．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 19．（1）已知，，求的值； （2）已知m，n是一元二次方程的两根，求的值． 20．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，过点的直线与轴交于点，线段的长是一元二次方程的两个实数根．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着折线向终点运动，过点作轴的垂线，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 22．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 23．若关于的一元二次方程． (1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值； (2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 24．已知关于x的方程有两个实数根，其中． (1)若，求的值； (2)一次函数的图像上有两点，若，求m的值； (3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 25．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 26．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 27．已知在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)将反比例函数的图象中轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图所示，新函数记为函数． ①如图，直线与函数的图象交于，两点，点横坐标为，点横坐标为，且，，点在轴上，连接，．当最小时．求点的坐标； ②已知一次函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，直接写出的取值范围． 28．若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理． 如：，是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；，， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值． 29．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 30．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； (3)已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的根与系数的关系（压轴题，30题） 一、单选题 1．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据新定义得，则得出或，代入，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【详解】解：①， 整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故①正确，符合题意； ②， ∵方程的解为、， ∴，， ∴， ∴，则 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故②不正确，不符合题意； ③∵，方程有两个不相等的实数解， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故③不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：，；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 3．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 二、填空题 4．已知实数满足：．求的最小值 【答案】6 【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 5．已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】利用判别式判断①，求出时的两个根，判断②，利用根与系数的关系，判断③，求出的值以及完全平方数的定义，判断④． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确； 当时，， ∴， ∴当时，的两个根，，且，则：，故②错误； 若两个根为，，则：， ∴；， ∴；故③正确； ∵ ， 当时， ， 当为奇数时，不是整数， ∴的值不一定是完全平方数，故④错误； 故答案为①③. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念． 6．如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键． 如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值． 【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴， 设，， ∴， 整理得，， 联立得，，整理得，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 7．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且． （1）下列说法正确的有 ．（将正确选项的序号填在横线上） ①若，则； ②； ③若，则； ④若，则． （2）某数学兴趣小组为了增加此题的趣味性，将题目改成：若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，其中，，均为整数，则的最小值为 ． 【答案】 ①③ 5 【分析】（1）根据根与系数的关系即可判断①，分为和两种情况，分别将，表示出来，相加即可判断②，由得出的范围，由二次函数图象的性质可得，，时的范围，即可判断③，利用根与系数的关系将等量关系化为关于，的式子，即可判断④； （2）把“根分布”条件转换为对二次函数系数的限制，由，，均为整数，可以通过从小到大列举的值，判断取不同值时、是否满足条件，进而得到的最小值． 【详解】解：（1），， ， 故①正确； ，，， ，， 当时， ， ， 当时， ， ， 故②错误； ，，， ， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， ，， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， 或， 故④错误； 故答案为：①③； （2）关于的方程有两个不相等的实数根，， △， ， 当时，， 当时，， 对称轴， ， ， ， ， 当时， ， ， ，，均为整数， 没有满足条件的， 当时， ， ， ， ， ， ， 没有满足条件的， 当，时， ，， ， ， 没有满足条件的， 当，时， ，， ， ， 没有满足条件的， 当，时， ，， ， ， 没有满足条件的， 当，时， ，， ， ， 没有满足条件的， 当，时， ，， ， ， 没有满足条件的， 当，时， ，， ， ， 符合条件， 的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查绝对值的分类讨论，根与系数的关系，根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，根与系数的关系，根的判别式的内容． 9．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则 ． 【答案】4 【分析】由题意，，，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，，，利用根与系数的关系和的面积是3，可得结论． 【详解】解：连接，，过作轴于，过作轴于， 点，，，， ，， ，， 同理得：，， ， ， 函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转， 建立新的坐标系：为轴，为轴， 则旋转后的函数解析式为：， 在新的坐标系中，，， 设直线的解析式为：， 则，解得， 直线的解析式为：， 设，，，， 由得：， ，， ， 整理得， ， ， ， ， ； 故答案为：4． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，反比例函数的性质，一次函数，根与系数的关系，旋转的性质，数形结合． 三、解答题 10．已知关于x的方程，其中p，q都是实数． (1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值． (2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值． (3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或， (3)存在，时，；当时， 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，，代入可得关于的方程，解方程即可； （2）由方程有三个不同的实数根、、，可得，、是方程的两根；由根与系数的关系可得，，．，进而得到关于的方程，解出即可求出的值； （3）方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，可得，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：若，则方程为． 因该方程有两个不同的实数、， 可得，，， 解得； 由，得， 解得或．（注意 因为，所以． （2）显然．方程可写成． 因该方程有三个不同的实数根， 即函数与的图象有三个不同的交点， 可得：，，即， 因为、是方程的两根， 即． 则，，． ， 解得． 由，得， 解得， ∴或，． （3）存在． 方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知， 不妨设，是方程的两根，，是方程的两根， 则，，，， 则，， 因为， 所以， 因为是质数，，， 所以， ， 则， 则无解， 则， 则无解， 则， 则， 解得， 则， 则， 解得，2，5， 则， 则， 解得． 故，5， 所以存在满足条件的，．当时，；当时，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 11．著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现．”我们向伟人看齐，将这种勤思善学、励能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜． 【提出问题】 我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？ 【构造关系】 将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为． (1)当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”． 【自能探究】 (2)已知某一元二次方程有两个实数根、，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值． (3)已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“系变方程”为； (2)最小值为； (3)存在或 【分析】（1）根据“系变方程”的定义求得各项的系数，即可求解； （2）设原方程为，由，得到，“系变方程”为，推出，原式变形为配方得，据此求解即可； （3）根据因式分解法解一元二次方程得出，或，求得4个实数根，进而根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：当系变倍数为3时， 一元二次方程的“系变方程”的二次项系数为、一次项系数为、常数项为， ∴“系变方程”为； （2）解：设原方程为， 由题意得， ∴， 当时，其“系变方程”为， ∴， ∴， ∴ ， 故原式的最小值为； （3）解：∵ ∴ 即 ∴ 即 ∵原方程有个解， ∴或 解得：或或或 ∵ 又 ∴或 故存在或 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，理解“系变方程”的定义是解题的关键． 12．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 【答案】(1)，，，6 (2)2或 (3)3 【分析】（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到,即可得到p、q的值； （2）讨论：当时，易得原式；当时，把m、n看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答； （3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴,解得． 故答案为：，，，6． （2）解：∵m,n满足， 当时，原式； 当时，m、n可看作方程的两根， ∵， ∴原式． 综上，的值为2或． （3）解：∵， ∴， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而c＞0， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么由求根公式可推出，是解答本题关键． 13．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 14．已知关于x的方程． 求证：不论为何实数时，方程有固定的自然数解，并求这自然数； 设方程另外的两个根为、，求、的关系式； 若方程的三个根均为自然数，求的值． 【答案】证明见解析，所求自然数为；；． 【分析】把方程整理，使含的项“系数”为，求的值，再代入不含的项检验，可求这个自然数； 由所求自然数值可知方程的一个因式，代入方程，再将方程分解因式，由两根关系解题； 在(2)的条件下，根据解为自然数，求的值． 【详解】原方程整理得：， 解方程，得，， 当时，，故所求自然数为； ∵是方程的固定解， ∴是方程的一个因式，原方程分解为: ， ∴、是方程的两根， ∴，， ∴； 由可知，，， 设，则， 由题意可知，，，，均为自然数， 则的个位数字必须为， ∴当时，即时，方程三个根均为自然数． 【点睛】本题考查了求高次方程固定根的方法，方程的根与系数关系，自然数解的问题，解题的关键是对高次方程进行降次及熟练掌握根与系数之间的关系． 15．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)4 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键． （1）仿照例题写出三种不同形式的配方； （2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答； （3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由得： ，， ①根据完全平方公式可得； ②； （3）解：， 可得， 解得， ． 16．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，，均为整数； (3)当取哪些有理数时，，均为整数． 【答案】(1)1或 (2) (3)或 【分析】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若为整数，可得整数，然后结合两根之积、解方程分别验证即可； （3）显然，当时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设，则方程可变形为，即为，再结合整数的意义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴不论k为何值，关于的一元二次方程都有两个实数根，， ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 分两种情况：①若两根同号，由可得：，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； ②若两根异号，由可得：， 即， ∴， 解得：， 综上，k的值为1或 ； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 若，均为整数， 则为整数， ∴整数， 当时，不是整数，故应该舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根不是整数，故舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根为，都是整数，符合题意； 综上，当取时，，均为整数； （3）显然，当时，符合题意； 当k为有理数时，由于为整数， ∴k应该是整数的倒数，不妨设，m为整数， 则方程即为， 配方得：， 即， 当即时，方程的两根为，都是整数，符合题意； 当时，不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立； 综上，或． 【点睛】本题是一元二次方程的综合题，主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 17．已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系求解； （2）根据相应方程两根的大小分类讨论求解． 【详解】（1）解：原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由根与系数的关系得，解得； （2）解：原不等式可化为， 因为，所以原不等式化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题． 18．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 【答案】(1) 或 2； (2)1； 【分析】（1）当 时，、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ； （2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值； 【详解】（1）解：当 时， ∵实数 、 满足 ，， ∴、 可看作方程 的两根， 原式， 当 ， 则原式 ； 综上所述，原式的值为 或 2 ； （2）∵， ∴将 、 看作是方程得两实数根； 而 即 c的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义 19．（1）已知，，求的值； （2）已知m，n是一元二次方程的两根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将原式通分后相加，再将式子的值代入即可解答； （2）利用一元二次方程的根与系数的关系得到，再利用完全平方公式对原式变形，即可解答． 【详解】解：（1）原式， 当，时，原式； （2）根据可得， m，n是一元二次方程的两根， ， ， ， ， 原式或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的加减，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 20．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，过点的直线与轴交于点，线段的长是一元二次方程的两个实数根．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着折线向终点运动，过点作轴的垂线，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）解一元二次方程求得点，的坐标，采取待定系数法可求得直线的解析式； （2）分类讨论当点在边上时，先求的运动时间的范围，再利用相似三角形的性质求得的长度；当点在边上时，先求的运动时间的范围，利用等腰三角形性质求得的长度，用三角形面积公式即可； （3）先讨论三角形的腰为哪两条边，再列出方程进行计算． 【详解】（1）解：解方程，得． ， ． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． （2）∵， ∴由勾股定理，得，． 当时，， ， ， ， ， ， ； 当时，． ， ， 是等腰三角形． ． ． 综上所述， （3）∵， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， 当时，则有解得或（与C重合，舍去），此时点的坐标为； 当时，则有解得或，此时点的坐标为或； 当时，则有解得，此时点的坐标为； 综上所述，存在．点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程求解，待定系数法求一次函数方程，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质求三角形的面积，明确动点的分段运动特点，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 22．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 23．若关于的一元二次方程． (1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值； (2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程，和分别是该方程的两个根， ∴ ∵， ∴ ∴或； （2）解：设方程的两个根为： 则， ∴ ∴，， …．． ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及有理数的混合运算等．熟记相关一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 24．已知关于x的方程有两个实数根，其中． (1)若，求的值； (2)一次函数的图像上有两点，若，求m的值； (3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)该直角三角形的面积为30或24 【分析】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“”，根与系数关系“”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用； （1）将代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到，将转化即可求解； （2）根据点在函数图像上，得出，再根据根与系数关系得到，根据即可求解； （3）根据直角三角形两直角边为整数，得出，令(为正整数)，得出，又，然后分三种情况取值即可解答； 【详解】（1）当时，方程为， ， ， 即； （2）将代入可得， 又， 故， ， 即，， ， ， ， ； （3）∵直角三角形两直角边为整数， 为平方数， 不妨令(为正整数)， ， ， ， 当①∴， 解得（不合题意舍去）； 当②， 解得， ∴方程， ，则斜边为13， 即； 当③， 解得， ∴方程， ，则斜边为10， 即， 综上所述：该直角三角形的面积为30或24． 25．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解得意义，当、是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的解的意义即可求得、的值，即可得到方程②，然后利用 配方法解方程②即可； （2）根据方程的定义得到，两边同时除以得：，即可得证； （3）根据题意得，利用根与系数的关系得到：，，进而得到，，可得，即可求解． 【详解】（1）的根为，， ， 解得：， 方程②为：， ，； （2）当方程①有一根为， ， 两边同时除以得：， 是的根， 是方程②的根； （3）， ， 方程①的根是与，方程②的根是和， ，，，， ，，， ， ． 26．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 27．已知在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)将反比例函数的图象中轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图所示，新函数记为函数． ①如图，直线与函数的图象交于，两点，点横坐标为，点横坐标为，且，，点在轴上，连接，．当最小时．求点的坐标； ②已知一次函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)①；②且或 【分析】（1）用待定系数法，将点代入求解即可； （2）①联立和并整理得，，则表示点、的坐标分别为，然后找到找关于轴的对称点，连接则与轴的交点为为所求； ②一次函数和反比例函数联立方程，方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得：， 则； （2）①由（）知，反比例函数的表达式为：， 则将反比例函数的图象中轴下方部分沿轴翻折， 则翻折后函数的表达式为：， 联立和并整理得： ， 则， 即， 解得：，则， 即点、的坐标分别为， 作点关于轴的对称点， 连接交轴于点， 则此时最小，理由： 为最小， 设直线的表达式为：， 则，解得：， 则直线的表达式为：， 当时，， 即点，； ②， 则该一次函数过点，， 当时，如图：：， 直线和轴左侧函数有个交点时，必然和轴右侧的函数有一个交点，符合题设条件， 联立和， 整理得：， 则， 解得：或， ， 或； 当时， 直线虚线和轴右侧函数有个交点时，必然和轴左侧的函数有一个交点，符合题设条件， 联立和， 整理得：， 则， 解得：为任意实数， 即； 综上，且或． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合运用以及一元二次方程解的情况；理解函数图像的交点就是方程的解是解题的关键． 28．若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理． 如：，是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；，， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值． 【答案】(1)1，3； (2)，证明见解析； 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到，即可得到，然后利用完全平方公式计算出即可； （2）观察（1）的计算结果可得到；由于方程的两根为，则原式，然后根据规律可计算出，从而得到原式的值． 【详解】（1）解：∵M、N是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：1，3； （2）解：，证明如下： ∵M、N是方程的两根， ∴， ∴，， ∴ ； 解方程得， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴， ∴原式． 29．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或或 【分析】（1）利用换元法解方程，设，则原方程可化为，解关于的方程得到，，则或，然后分别解两个元二次方程即可； （2）根据已知条件，当时，，解关于的一元二次方程得，则； 当时，把、看作方程的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：，， ∴原方程的解为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵实数，满足：，且， 当时，，解关于的一元二次方程， 得：， ∴； 当时，则、是方程的两不相等的实数根， ∴，， ∴； ∴的值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 30．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； (3)已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用一次函数的解析式求得的坐标，即可利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）延长，交反比例函数的图象于点，则则此时，故与重合时，符合题意，作，交轴于，求得直线的解析式，求得点的坐标，即可求得直线向下平移6个单位得到直线，关于向上平移6单位得到的直线与反比例函数图象第一象限上的交点也为点； （3）设直线为，由中心对称可知与x轴交点为，从而求出函数表达式，与反比例函数联立，得二次方程，由根于系数关系可得，即可求得T点的坐标，得到的值． 【详解】（1）将代入，得：， ， 反比例函数表达式为：， 联立，求得点； （2）①延长交图象于点， 反比例函数与正比例函数关于原点O中心对称， 交点B和关于原点O中心对称， 即， ，则， 点即为所求； ②， 取点，连接，， ， 过点Q作平行线交图象于点， 则的函数表达式为，联立，解得， 综上，点P坐标为或； （3）与x轴交于， 由中心对称可知与x轴交点为， 且， 直线函数表达式为， 化简得：， 联立，得：， ，； ， ， 即： 解得或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的对称性，一次函数图象与几何变换，函数与方程的关系，根于系数的关系，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$