专题02 一元二次方程的解法（八大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

专题02 一元二次方程的解法（八大题型，60题） 目录 题型一：直接开方法解一元二次方程 1 题型二：配方法解一元二次方程 2 题型三：配方法的应用 3 题型四：根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 题型五：根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型六：公式法解一元二次方程 8 题型七：因式分解法解一元二次方程 9 题型八：换元法解一元二次方程 11 一、题型一：直接开方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·江苏扬州·三模）表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2019·山东淄博·二模）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则 ． 4．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程（为常数）的根是，，则方程的根是 ． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 7．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：，根据这个规则求中x的值． 二、题型二：配方法解一元二次方程 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）将方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 13．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 14．（22-23八年级·上海·假期作业）用配方法解方程：． 三、题型三：配方法的应用 15．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 16．（2023九年级·安徽·专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 17．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 18．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 20．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 21．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约780—约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个正根．他的构思为：将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的________． A．直接开平方法    B．公式法    C．配方法    D．因式分解法 (2)他所用的最主要数学思想方法是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．整体思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形．（画出拼接的正方形并求出正根） 22．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题： (1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____； (5)已知实数，满足，求的最小值． 四、题型四：根据判别式判断一元二次方程根的情况 23．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2024·浙江湖州·一模）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 25．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 26．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 28．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求m的值． 29．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 30．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程． (1)证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数． 五、题型五：根据一元二次方程根的情况求参数 31．（2024·江苏盐城·三模）点是正方形边延长线上的一点，连接，，则的最大值是 ． 32．（21-22九年级下·上海·自主招生）如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数 ． 33．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 34．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 35．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 36．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）使得方程有两个不相等实根，则k的取值范围是 ． 37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 38．（23-24九年级上·江苏·期中）阅读下列材料： 若设关于的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，，，． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于的二次三项式能用上面方法分解因式，求的取值范围； (3)若关于的方程的两个根为，，请直接写出关于的方程的两个根（用含，的代数式表示）． 六、题型六：公式法解一元二次方程 39．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范围． 40．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 41．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 42．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中a是方程的根． 43．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）解方程：（公式法） 七、题型七：因式分解法解一元二次方程 44．（2024·江苏宿迁·三模）若使分式的值为0，则a的值为（   ） A．或1 B．或 C． D．或 45．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 46．（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 47．（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 48．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 49．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．    50．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 51．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 52．（2024·江苏南京·一模）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 53．（2024·安徽合肥·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 八、题型八：换元法解一元二次方程 54．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 55．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 56．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 57．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 58．（23-24九年级上·广东江门·期中）若，则 ． 59．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则 ．    60．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法（八大题型，60题） 目录 题型一：直接开方法解一元二次方程 1 题型二：配方法解一元二次方程 6 题型三：配方法的应用 10 题型四：根据判别式判断一元二次方程根的情况 19 题型五：根据一元二次方程根的情况求参数 26 题型六：公式法解一元二次方程 34 题型七：因式分解法解一元二次方程 38 题型八：换元法解一元二次方程 46 一、题型一：直接开方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，． 【详解】解：解方程（，，均为常数，）， 得：， 关于的方程（，，均为常数，）的解是，， ，， 方程的解为， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的解，直接开平方法解一元二次方程，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解是解答本题的关键． 2．（2023·江苏扬州·三模）表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】当时，先确定的取值，然后再依次验证是否满足． 【详解】解：当时，，，，， ∵ ∴ 当时，，得：，无解 当时，，得：，解得：(舍去)或 当时，，得：，解得：(舍去) 当时，，得：，解得：(舍去) 当时，，得：，解得：(舍去)或 ∴或 符合条件的的值有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，解一元二次方程，要理解新定义定义，注意分类讨论． 3．（2019·山东淄博·二模）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用．正确理解题意是解题的关键． 由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 4．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程（为常数）的根是，，则方程的根是 ． 【答案】或 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程，根据方程的根是和得到，，再利用直接开平方法解一元二次方程，得到它的根与前面的关系式转化即可得到答案． 【详解】由，得， ∴， ∴， ∵方程（为常数）的根是，， ∴，， 由，可得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程的根是，， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 【答案】或 【分析】根据题目中的方法得到，解得或，经检验即可得到方程的解．此题考查了无理方程的解法，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 【详解】解： 移项得，， 方程两边同时平方，得， 解得，或， 经检验或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 7．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：，根据这个规则求中x的值． 【答案】 【分析】根据题意可得方程：，再利用直接开平方法解方程即可； 【详解】由题意得：， ， 或 解得：； 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，列出方程． 二、题型二：配方法解一元二次方程 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同加上一次项系数一半的平方，计算即可． 【详解】∵, ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 9．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）将方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 10．（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则得到一元二次方程，求解后再对方程的解进行判断即可 【详解】解：若，则 所以，，得： ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴，即，的值为：， 故答案为： 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：可得， ， ， 所以． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 13．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 【答案】(1)①4；②16；③2 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解方程． （1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案； （2）类比例题求解、画图、计算即可． 【详解】（1）解：①， ； ② 将代入，可得； ③， ， 或， ， ； （2）解：第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形如图， 第三步：求得右下角正方形面积的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入，可得， ， 或， ， ． 14．（22-23八年级·上海·假期作业）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：由，得：， ∴， ∴， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键． 三、题型三：配方法的应用 15．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 16．（2023九年级·安徽·专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 17．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将变形为，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 即， ∵与是“同族二次方程”， ∴与是“同族二次方程”， ∴，， 解得：，， 则 ， 当时，取最大值2024， 故选A． 18．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 19．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】(1)， (2) (3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 20．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 21．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约780—约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个正根．他的构思为：将边长为的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的________． A．直接开平方法    B．公式法    C．配方法    D．因式分解法 (2)他所用的最主要数学思想方法是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．整体思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形．（画出拼接的正方形并求出正根） 【答案】(1)C (2)B (3)，图见解析 【分析】本题考查配方法的应用： （1）由阅读材料所用方法可知答案； （2）材料中利用几何图形求方程的解，可知利用了数形结合思想； （3）仿照材料中的作法，构造一个边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：由可知：求解过程中所用的方法与配方法是一致的， 故选C； （2）解：所用的数学思想方法为数形结合思想， 故选B； （3）解：如图， 将边长为的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为，宽为3，拼合在一起面积就是，即， 而由原方程变形得， 即边长为的正方形面积为16． 所以， 所以， 解得，或 因此的正根为． 22．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题： (1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____； (5)已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)4；是 (2)12 (3) (4) (5)当时，的最小值为9 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键； （1）根据“平和数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“平和数”的定义证明结论； （5）根据题中结论求解； 【详解】（1）4是“平和数”， 理由：因为； 29是“平和数”， 理由：因为． 故答案为：4(答案不唯一)，是； （2） 故答案为：12； （3） ． 故答案为：； （4） 由题意得：， （5）， ∴当时，的最小值为9． 四、题型四：根据判别式判断一元二次方程根的情况 23．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，将作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 当时，，方程由两个相等的实数根； 当时，，方程没有实数根； 故选A． 24．（2024·浙江湖州·一模）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． 25．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 26．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算得出，解之可得到答案； （2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）根据运算定义，可得， 化简得   ， 解得∶ ； （2）根据运算定义，可得， ∴， ∴， ∴在方程 中， ， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，求出此方程的判别式得：，即可得到答案， （2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为，，其中，若”，得到关于的一元一次方程，解之即可 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程． 【详解】（1）证明：根据题意得： ， 此方程有两个不等的实数根， （2） 解：方程的两个根分别为，，其中，若， 由（1）知，， ， ，， ， 解得：， 即的值为． 28．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明方程的根的判别式即可． （2）把代入方程，得到关于m的方程，解答即可． 本题考查了根的判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）∵方程，， ∴， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）把代入方程， 得， 解得． 29．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 30．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程． (1)证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的根是整数 【分析】（1）由可得结论； （2）求方程得，要使方程的解为整数，则为平方数，设，整理得，根据与的奇偶性相同，得出或，求出或即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 要使方程的解为整数，则为平方数， 设， 整理得：， ∵与的奇偶性相同， ∴或， 解得：或， 当时，方程变为， 解得：或， ∴当时，方程的根是整数． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 五、题型五：根据一元二次方程根的情况求参数 31．（2024·江苏盐城·三模）点是正方形边延长线上的一点，连接，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，，利用勾股定理可得，，即有，设，可得一元二次方程：，根据方程有解可得，化简得：，即可解得：，问题随之得解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∵根据勾股定理有：，， ∴，， ∴， 设：，即，， ∴， 整理可得一元二次方程：， 显然上述方程有解， ∴， 化简得：， ， 结合，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程的判别式，解一元二次方程等知识，问题的难度在于设，引入一元二次方程，利用代数的知识解答几何问题． 32．（21-22九年级下·上海·自主招生）如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数 ． 【答案】6或 【分析】先确定是方程的一个根，再由有两个相等的根或有一个根是2，分别求解的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：方程可变形为：， 即， ∴， ∴或， ∴是方程的一个根， 方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长， 有两个相等的根或有一个根是2， 当有两个相等的根时，△， 解得， 此时方程的根为， 三角形的三条边长分别为2，，； 当有一个根是2时，， 此时方程的根为或， 三角形的三条边长分别为2，2，3； 综上所述：的值为6或， 故答案为：6或． 【点睛】本题是一元二次方程的综合题，主要考查了解一元二次方程、根的判别式以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，求出是方程的一个根是解题的关键． 33．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围． 【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为： 当时，即时，有， 即：，其根为：是负数， 当时，即，时，有， 即：， 要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解， ∴， ∴， （1）当时，即时，方程只有一个根， ∵当时，， ∴，， ∴此时方程只有一个根符合题意， ∴不符合题意； （2）当时，方程的两个根都符合题题意， ∵当时，， ∴，， ∴方程只有一个根符合题意， ∴当时，恰好有三个不相等的实数根； （3）∵当时，方程的一个根，另外一个根， ∴此时方程只有一个根符合题意， ∵，， ∴当时，方程最多有一个根符合题意， ∴当时不可能有三个不相等的实根； 综上分析可知，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键． 34．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．分和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：对于关于的方程， 当时，可有，解得； 当时，该方程为一元二次方程， 则有， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 35．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布情况，由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】根据题意得，， ∴， ①当时，即， ∴原方程为， ∴，不满足条件； ②当时，原方程有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内， ∴Ⅰ、， ∴， Ⅱ、， ∴无解； 故答案为：． 36．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）使得方程有两个不相等实根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次根的情况得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等实根， ∴， ∴， 又∵，解得， ∴k的取值范围为 故答案为： 37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，旁熟练掌握各自的性质是解本题的关键。 (1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可; (2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得： ； （2）∵该方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则m的值为． 38．（23-24九年级上·江苏·期中）阅读下列材料： 若设关于的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，，，． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于的二次三项式能用上面方法分解因式，求的取值范围； (3)若关于的方程的两个根为，，请直接写出关于的方程的两个根（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)且； (3)，． 【分析】()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； ()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； ()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． 【详解】（1）令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； （2）令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； （3）∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． 六、题型六：公式法解一元二次方程 39．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用公式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根小于3 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴原方程有两个实数根 （2）解： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的 关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根小于3 ， 找出关于的一元一次不等式 40．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 41．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 42．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】原式； 【分析】解一元二次方程，再化简分式代入求解即可得到答案； 【详解】解：解一元二次方程得， ， ∴或， 原式， 当时， 原式， 当时， 原式， ∴原式； 【点睛】本题考查解一元二次方程及分式化简求值，解题的关键是注意先化简划到最简分类讨论． 43．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】先定系数，再判断判别式，最后代入求根公式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，； 【点睛】本题考查求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握． 七、题型七：因式分解法解一元二次方程 44．（2024·江苏宿迁·三模）若使分式的值为0，则a的值为（   ） A．或1 B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程为零的条件、解一元二次方程等知识点，掌握分式为零的条件成为解题的关键． 先根据分式列不等式组，然后再解一元二次方程和不等式组即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选Ｃ． 45．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 46．（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，三角形三边关系，先利用因式分解的方法求出方程的两个根，根据三角形三边关系确定符合题意的边长，即可求出最后结果． 【详解】解：， ， ，， 角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根， （舍）， 则三角形周长， 故选：D． 47．（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 48．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 49．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．    【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理；根据题意得出为正方形，设，设则，根据题意，根据勾股定理建立方程，得出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：根据图1可得， 由图1图2两个图形可得正方形与正方形的面积和即，四边形的面积为， 根据两个图形对应，，则对应图2中可得， ∴四边形为矩形， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴四边形为正方形， ∵ 设 ∴ 如图所示，   ， ，， 设则 ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得：或（舍去） ∴ ∴ 故答案为：． 50．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 51．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 52．（2024·江苏南京·一模）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法 （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）设，则原方程可化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， 或， ； （2）设，则原方程可化为：， 由（1）可得：或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 53．（2024·安徽合肥·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 【答案】(1) (2) (3)图n中有66个白色正方形 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程： （1）求出前面几个图形中彩色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）求出前面几个图形中白色正方形比彩色正方形的多的个数，进而得到规律求解即可； （3）求出前面几个图形中等边三角形的个数，进而得到规律求解即可； （4）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：， ……， 以此类推可知，图n的彩色正方形有， 故答案为：； （2）解：图1中，白色正方形比彩色正方形多1个； 图2中，白色正方形比彩色正方形多2个： 图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； ……， 以此类推可知，图n 的白色正方形比彩色正方形多n个， ∴图n 的白色正方形有个， 故答案为：； （3）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或舍， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 八、题型八：换元法解一元二次方程 54．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案． 【详解】解：设， 根据题意可得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 55．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键． 56．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 57．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 58．（23-24九年级上·广东江门·期中）若，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，设，则原方程可变形为，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 整理得，， ， ，， ∴，， 即或， 故答案为：1或． 59．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： 2． 60．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$