第1章 一元二次方程 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

第1章 一元二次方程 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 2．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 5．对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 6．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ） A． B． C．x D．1 8．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 二、填空题 9．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 10．根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 11．若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 12．已知，则的值等于 ． 13．关于x的方程无解，则 ． 14．方程有两个实数根，则实数m的取值范围为 15．已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是 ． 16．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 17．若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 ． 18．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 21．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 22．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 23．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 24．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 25．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 26．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定事件、不可能事件以及随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据事件发生可能性的大小判断即可． 【详解】解：A．因为两直线k值相同，所以直线与直线没有公共点，故本选项不符合题意； B．当a取非负数时，关于x的方程有实数根，故本选项符合题意； C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上，此为随机事件，故本选项不符合题意； D．有两条边及其中一边的对角对应相等且为直角时，这两个三角形全等，此为不确定事件，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺， 根据题意得：． 故选：B． 4．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 5．对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据新定义算法，得到，即可求解， 本题考查了，新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是：理解新定义运算法则． 【详解】解：※， 即：，解得：或， 故选：． 6．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案． 【详解】解：、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项正确； 、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项错误； 故选：． 7．若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ） A． B． C．x D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6， ∴，， 解得：， 把代入原方程可得， ∴一次项是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项． 8．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 10．根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 11．若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，可求，由，即，可得． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 12．已知，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元二次方程，首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即的值．此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍． 【详解】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 故答案为：4 13．关于x的方程无解，则 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵方程无解， ∴， ∴或， 当时，，当时，； 故答案为：0或6． 14．方程有两个实数根，则实数m的取值范围为 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解不等式等知识点，由已知中关于x的方程有两个实根，则方程的，由此构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围，其中根据已知条件，结合一元二次方程的根的情况，构造一个关于m的不等式，是解答本题的关键． 【详解】∵方程有两个实数根， ∴， ∴或， 故答案为：或． 15．已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，根据题意已知等式可得，根据点是一次函数的图象上位于第一象限的点，得出，且，，联立解方程，即可求解． 【详解】， 化简，得， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， ， 解得，或， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ，， 故点的坐标为， 故答案为． 16．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 17．若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系可得，根据关于的一元二次方程的两根的和与积相等，可得，求出的值，再检验判别式即可确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根的和与积相等， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 18．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）原方程系数化为1后，利用直接开平方法求解即可； （4）原方程化简后，利用十字相乘法因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：原方程化简为， ∴， 解得，． 20．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案． 【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根， ∴． ， ∴代数式的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键． 21．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 22．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关的知识． （1）由关于的一元二次方程有两个实数根，可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：； （2）由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得：，， ∵， 的值为． 23．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解得意义，当、是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的解的意义即可求得、的值，即可得到方程②，然后利用 配方法解方程②即可； （2）根据方程的定义得到，两边同时除以得：，即可得证； （3）根据题意得，利用根与系数的关系得到：，，进而得到，，可得，即可求解． 【详解】（1）的根为，， ， 解得：， 方程②为：， ，； （2）当方程①有一根为， ， 两边同时除以得：， 是的根， 是方程②的根； （3）， ， 方程①的根是与，方程②的根是和， ，，，， ，，， ， ． 24．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 【答案】(1)米 (2)上涨元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【详解】（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 25．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 【答案】(1)中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元，根据“购买的中果数量是大果数量的倍”，列方程即可求解； （2）先分别表示出网购中果、大果的数量和单价，再根据“这次购买车厘子的金额比上一次共多了元”，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 中果车厘子单价：（元）， 答：中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元； （2）水果店购买大果的数量：（斤）， 水果店购买中果的数量：（斤）， 网购中果的单价为：（元）， 网购大果的单价为：， 网购中果的数量：（斤）， 网购大果的数量：（斤）， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 26．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1)和； (2)； (3)或． 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$