（满分卷）九年级数学上学期开学摸底卷（范围：八下+九上第一、二章）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 编者小注： 本套专辑专为苏科版2024-2025学年第一学期开学摸底考试研发。 7-9年级（满分100分制），分基础卷（范围是八下全册内容）、提升卷（八下+九上第一章）、满分卷（八下+九上第一、二章），满分卷亦可作为第一次月考模拟卷使用。 来源为近两年苏科版数学教材使用地真题，包含详细解析。 所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。 （满分卷）开学摸底卷（苏科版） （范围：八下+九上第一、二章） 一、单选题（每小题2分，共16分） 1．有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（    ） A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件 C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 2．嘉琪将本班某次数学成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），下列说法错误的是（   ） A．频数分布直方图的组距为10 B．成绩在内的人数最多 C．优秀（分）的人数是22人 D．成绩在内的人数占总人数的 3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 4．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的一条弦，点C是的中点，连接，，交于点D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴于点，，线段的垂直平分线分别交于点，交于点，若双曲线经过、两点，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 7．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 8．如图，中，，，，，，则的长为（  ）    A．6 B． C．7 D．8 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ． 10．已知数据：，，，，0，其中无理数出现的频率为 ． 11．如图，在菱形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 12．如图，平行四边形中，，，点是边上一点，将沿着折叠，使得点的对应点恰好落在的延长线上，若，则的长度为 ． 13．若关于x的方程解为正数，则m的取值范围是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为 ． 15．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 17．若是方程的一个根，则的值为 ． 18．如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ． 三、解答题（满分64分） 19．计算： (1)； (2)． 20．（1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中实数x，y满足． 21．已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． (1)若，求的周长． (2)若求． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 23．如图，在中， ，过点 C 的直线，D为边上一点，过点D作 ，垂足为F，交直线于 E，连接、． (1)求证： (2)当D为中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当 的度数为多少时，四边形是正方形？说明理由． 24．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 25．我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 分数段（成绩为分） 频数 频率 请你根据统计图表解答下列问题： (1)此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______； (2)请补全参与者成绩分布直方图； (3)竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？ 26．点，在反比例函数的图象上，且． (1)直接写出，的大小关系； (2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 编者小注： 本套专辑专为苏科版2024-2025学年第一学期开学摸底考试研发。 7-9年级（满分100分制），分基础卷（范围是八下全册内容）、提升卷（八下+九上第一章）、满分卷（八下+九上第一、二章），满分卷亦可作为第一次月考模拟卷使用。 来源为近两年苏科版数学教材使用地真题，包含详细解析。 所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。 （满分卷）开学摸底卷（苏科版） （范围：八下+九上第一、二章） 一、单选题（每小题2分，共16分） 1．有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（    ） A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件 C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟记定义是解题关键．根据随机事件的定义即可得． 【详解】解：某射击运动员射击一次，命中靶心，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件， 掷一枚硬币，正面朝上，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件， 综上，事件和事件都是随机事件， 故选：A． 2．嘉琪将本班某次数学成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），下列说法错误的是（   ） A．频数分布直方图的组距为10 B．成绩在内的人数最多 C．优秀（分）的人数是22人 D．成绩在内的人数占总人数的 【答案】C 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，从直方图上获得所需信息是解题的关键． 根据从直方图上获取的信息逐项判断即可解答． 【详解】解：A．由图可知按成绩分了5组，组距是10，故A选项正确，不合题意； B．由统计图可知，成绩在90分100分之间的人数是14，是最多的，故B选项说法正确，不符合题意； C．优秀（分）的人数是，故C选项说法错误，符合题意； D．成绩在分的人数是12，占总人数的，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是， ， 故选：B． 4．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 5．如图，是的一条弦，点C是的中点，连接，，交于点D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴于点，，线段的垂直平分线分别交于点，交于点，若双曲线经过、两点，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，线段垂直平分线的性质，两点中点坐标公式，连接，设，则，则可得，，再把代入反比例函数解析式得到，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， ∴， ∵线段的垂直平分线分别交于点， ∴点C是的中点， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， 故选：B． 7．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，再由题意得出，，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，， 解得：且， 故选：B． 8．如图，中，，，，，，则的长为（  ）    A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形判定和性质及三角形中位线的性质是解题的关键．延长交于F，证明可得，，即是的中点，又由，可得是的中位线，根据中位线性质可得，进而可求得答案． 【详解】延长交于F，如图所示：    ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，，即是的中点， 又∵， ∴点E是的中点， ∴是的中位线， ∴, ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ． 【答案】8 【分析】先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再根据一组数据中，各组的频率和是1可得第六组的频率，由此即可得． 【详解】解：由题意得：第一组到第四组的频率和是， ∵第五组的频率是， ∴第六组的频率为， ∴第六组的频数为． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了频率与频数，熟练掌握各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1是解题关键． 10．已知数据：，，，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【答案】0.6或 【分析】判断出无理数的个数，根据概率的意义求解即可． 【详解】解：在数据，，，，0中，无理数有3个， ∴无理数出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数、算术平方根以及概率的意义，理解无理数、算术平方根和概率的意义是正确解答的前提． 11．如图，在菱形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】连接、相交于O，根据菱形的性质，得出，，，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，然后由，求解即可． 【详解】解：连接、相交于O，如图， ∵菱形 ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据的对称性，可得 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形面积，扇形面积，直角 三角形的性质，勾股定理，掌握“割补法”求面积是银题的关键． 12．如图，平行四边形中，，，点是边上一点，将沿着折叠，使得点的对应点恰好落在的延长线上，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先根据折叠的性质可得，，，结合证明，由勾股定理可解得，进而可得，再证明，设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，，， ∵将沿着折叠，使得点的对应点恰好落在的延长线上， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得 ∴． 故答案为：． 13．若关于x的方程解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程解为正数，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程解为正数， ∴， 解得，，， 故答案为：且． 14．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，设，根据平行四边形面积计算公式可得，再由两点中点坐标公式得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵的面积为24， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵反比例函数图象经过点D， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 17．若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义以及分式方程的求解方法是解题的关键 根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得解答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 18．如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值． 【详解】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于， ∵是等边三角形，半径为1 ∴， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（满分64分） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先把中括号内的二次根式化为最简二次根式，合并后再进行的除法运算； （2）将二次根式化为最简二次根式，同时利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，再利用平方差公式作进一步的计算，最后进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．（1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中实数x，y满足． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，正确掌握运算法则是解答本题的关键 （1）直接去分母，进而解方程，再检验得出答案； （2）根据二次根式有意义的条件分别求出，根据分式的混合运算法则把原式公共利益，把的值代入计算即可 【详解】解：（1） 去分母得，， 去括号得，， 解得，， 检验：把代入公分母得：， 即是原分式方程的增根； 所以，原方程无解， （2）要使有意义，则，即， 要使有意义，则，即， ∴， ∴， . 把，代入，原式. 21．已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． (1)若，求的周长． (2)若求． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键． （1）根据切线长定理得到，，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）证明，得到和，计算即可． 【详解】（1）连接， 、与圆相切， ， 同理可得：，， 的周长； （2）与圆相切， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 23．如图，在中， ，过点 C 的直线，D为边上一点，过点D作 ，垂足为F，交直线于 E，连接、． (1)求证： (2)当D为中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当 的度数为多少时，四边形是正方形？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形是平行四边形，再由，根据菱形的判定推出即可； （3）当时，证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由是：为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形． 理由：当时， ， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明，解（2）的关键是求出扇形的面积，此题难度一般． （1）连接，先证明，进而得到，于是得到，进而证明是的切线； （2）分别求出的面积和扇形的面积，利用即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在圆上，为圆的半径， 是圆的切线； （2）在中，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 阴影部分的面积为． 25．我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 分数段（成绩为分） 频数 频率 请你根据统计图表解答下列问题： (1)此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______； (2)请补全参与者成绩分布直方图； (3)竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？ 【答案】(1)，，，， (2)图见详解 (3)80分 【分析】本题考查频数分布直方图，根据频数分布直方图、样本容量、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据频数除频率等于总人数，可得样本容量，再根据频数、频率、总人数的关系和表格数据即可求出其他数值． （2）由（1）中数据即可补全参与者成绩分布直方图． （3）由上可得分数段在和的频率分别为，，即，故可得出一等奖的最低分数线是分． 【详解】（1）解：∵分数段在的频数为，占总体频率为， ∴此次抽样调查的样本容量是人， ∵分数段在的频数占总体频率为， ∴其频数， ∵分数段在的频数为， ∴占总体频率， ∴分数段在占总体频率为， 频数， 故答案为：，，，，． （2）由（1）可得参与者成绩分布直方图，如图所示： （3）∵分数段在和的频率分别为，， ∴， ∴一等奖的最低分数线是分． 26．点，在反比例函数的图象上，且． (1)直接写出，的大小关系； (2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②． 【分析】（）根据反比例函数的性质即可判断求解； （）①由，，四边形为矩形，可得，，设直线的解析式为，把代入可得，再把代入得，得到点在直线上，即可求证； ②由矩形的性质可得，，进而得，再由轴于，得到轴，即得，即可得到，进而由三角形外角性质得到，又由可得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，平行的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握反比例函数与正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴； （2）解：①证明：∵，，四边形为矩形，轴于， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴点在直线上， ∴点三点共线； ②解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵轴于， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$