（基础卷）九年级数学上学期开学摸底卷（范围：八下全部）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 编者小注： 本套专辑专为苏科版2024-2025学年第一学期开学摸底考试研发。 7-9年级（满分100分制），分基础卷（范围是八下全册内容）、提升卷（八下+九上第一章）、满分卷（八下+九上第一、二章），满分卷亦可作为第一次月考模拟卷使用。 来源为近两年苏科版数学教材使用地真题，包含详细解析。 所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。 （基础卷）开学摸底卷（苏科版） （范围：八下全部） 一、单选题（每小题2分，共16分） 1．有关部门规定，初中学生每天睡眠时间不得少于小时．某校兴趣小组想了解全校名学生每天的睡眠时间，随机抽取了名学生进行问卷调查．下列表述不正确的是（  ） A．总体：全校名学生每天的睡眠时间 B．个体：每名学生每天的睡眠时间 C．样本：随机抽取的名学生 D．样本容量： 2．不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，则布袋中红球的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．如图，将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点D恰好落在边上，点A的对应点为点E，连接，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约）项目，前以原计划平均速度完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原划晚到达目的地，则小阳前的平均速度为（    ） A． B． C． D． 6．已知∶如图，中，，根据作图痕迹判断四边形是（  ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 7．已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 8．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．“a是实数， ”这一事件是 事件． 10．一次数学测试后，某班40名学生的成绩，其中最高分为139，最低分为92，若取组距为8，则应分为 组. 11．计算： ． 12．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 13．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 14．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 15．已知点与点关于原点对称，则 ． 16．已知，且，则的值为 ． 17．琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 18．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ． 三、解答题（满分64分） 19．计算： (1)； (2)． 20．解分式方程： (1)； (2)． 21．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 22．为建设书香校园，某学校开展了读书月活动，想了解全校学生的日人均阅读时间（单位：小时），学校的数学兴趣小组设计了调查方案． 调查的方法：学校每班50人，从18个班中分别抽取了学号是5、15、25、35、45的学生进行调查； 调查的途径：问卷调查； 调 查 问 卷 根据每天阅读的时间共分为A、B、C、D四组，每组对应的阅读时间图表 组别 A B C D 本人阅读时间 根据自己的时间，你每天阅读时间的组别是 数据的整理与表示：不完整的频数分布表和频数分布直方图 组别 A B C D 本人阅读时间 学生人数 9 a 40 11 解决问题： (1)此次稠查样本容量是： ； (2)求a的值并补全图的频数分布直方图； (3)小红在整理数据后，想用扇形图表示数据；请帮忙计算D组对应的圆心角度数． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式组的解集． 24．为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张． (1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ (2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱． 25．如图，点D为的斜边的中点，连接，过点C作，连接，交于点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，点M、N分别为线段的中点，连接，求线段的长． 26．【发现结论】 （1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选） ①；②；③ 【类比迁移】 （2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接． ①（1）中结论依然成立的是______（填序号） ②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外） 【类比迁移】 （3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 编者小注： 本套专辑专为苏科版2024-2025学年第一学期开学摸底考试研发。 7-9年级（满分100分制），分基础卷（范围是八下全册内容）、提升卷（八下+九上第一章）、满分卷（八下+九上第一、二章），满分卷亦可作为第一次月考模拟卷使用。 来源为近两年苏科版数学教材使用地真题，包含详细解析。 所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。 （基础卷）开学摸底卷（苏科版） （范围：八下全部） 一、单选题（每小题2分，共16分） 1．有关部门规定，初中学生每天睡眠时间不得少于小时．某校兴趣小组想了解全校名学生每天的睡眠时间，随机抽取了名学生进行问卷调查．下列表述不正确的是（  ） A．总体：全校名学生每天的睡眠时间 B．个体：每名学生每天的睡眠时间 C．样本：随机抽取的名学生 D．样本容量： 【答案】C 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此即可判断求解，掌握以上概念是解题的关键． 【详解】解：、总体是全校名学生每天的睡眠时间，该选项正确，不合题意； 、个体是每名学生每天的睡眠时间，该选项正确，不合题意； 、样本是随机抽取的名学生每天的睡眠时间，该选项错误，符合题意； 、样本容量是，该选项正确，不合题意； 故选：． 2．不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，则布袋中红球的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件的分类办法分析即可得解． 【详解】解∶ ∵不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件， ∴布袋里全是红球， ∴布袋中红球的个数是3， 故选∶A． 3．如图，将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点D恰好落在边上，点A的对应点为点E，连接，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 由旋转的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴A、C选项错误，D选项正确， ∵无条件能求得， ∴B选项不一定正确． 故选：D． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，进而得到在第二象限，，在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，在反比例函数的图象上， ∴在第二象限，，在第四象限， ∵， ， ∴， 故选：D． 5．2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约）项目，前以原计划平均速度完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原划晚到达目的地，则小阳前的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出分式方程解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即小阳前的平均速度为． 故选：C 6．已知∶如图，中，，根据作图痕迹判断四边形是（  ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的画法及性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线，即得，，又根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可得，即可得，得到，进而得到，，即可证明，得到，据此可得四边形是平行四边形，掌握角平分线和线段垂直平分线的画法及平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选：． 7．已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 取大于2的整数，为整数，取整数，整数的值可以为2或6，故②正确； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 8．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可． 【详解】解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3， 当6＜t≤25时，=15， 当25＜t≤30时，=-2t+65， ∴当1≤t≤6时，=， 当6＜t≤25时，=， 当25＜t≤30时，= = ， ∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A． 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．“a是实数， ”这一事件是 事件． 【答案】不可能 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据实数的乘方法则、事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“a是实数， ”这一事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 10．一次数学测试后，某班40名学生的成绩，其中最高分为139，最低分为92，若取组距为8，则应分为 组. 【答案】6 【分析】此题主要考查了频数分布表，首先计算出最大值和最小值的差，再利用极差除以组距即可，首先计算极差，即计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数． 【详解】解：最高分为139，最低分为92，组距为8， ， 应分的组数为6． 故答案为：6． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 13．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 14．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据点D、E分别是边、的中点得是的中位线，即可得，根据，，和勾股定理的逆定理得，根据E是边的中点得，即可得；掌握中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横坐标与纵坐标分别互为相反数，解二元一次方程组；根据关于原点对称的点的坐标特征求出a与b的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得：； 则； 故答案为：8． 16．已知，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先将变形得到，将其代入化简计算即可． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：1． 17．琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 18．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于对称，可得当点B、P、F三点共线时，的最小，此时，点P在对角线上，利用勾股定理求得，由折叠的性质得，，再利用求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（满分64分） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程， （1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 化系数为1得，， 把代入，是原方程增根， ∴原方程无解． （2）解：， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 把代入， ∴是原方程的解． 21．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 22．为建设书香校园，某学校开展了读书月活动，想了解全校学生的日人均阅读时间（单位：小时），学校的数学兴趣小组设计了调查方案． 调查的方法：学校每班50人，从18个班中分别抽取了学号是5、15、25、35、45的学生进行调查； 调查的途径：问卷调查； 调 查 问 卷 根据每天阅读的时间共分为A、B、C、D四组，每组对应的阅读时间图表 组别 A B C D 本人阅读时间 根据自己的时间，你每天阅读时间的组别是 数据的整理与表示：不完整的频数分布表和频数分布直方图 组别 A B C D 本人阅读时间 学生人数 9 a 40 11 解决问题： (1)此次稠查样本容量是： ； (2)求a的值并补全图的频数分布直方图； (3)小红在整理数据后，想用扇形图表示数据；请帮忙计算D组对应的圆心角度数． 【答案】(1)90 (2)30，补图见解析 (3) 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，解题的关键是∶ （1）利用18乘以每班抽取的人数即可求解； （2）用样本容量减去其余各组人数即可求出a，然后补图即可； （3）用乘以D组所占百分比即可求解． 【详解】（1）解∶样本容量为， 故答案为∶90； （2）解∶， 补图如下∶ （3）解∶， ∴D组对应的圆心角度数为． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题．理解交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，继而可确定点的坐标，再将点、代入得到方程组，求解即可； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）根据图像直接写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 在上， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得：， ∴； （2）解：中，当时，； ∴直线和x轴交点是， ∴ ∴； （3）解：∵一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点， 不等式表示反比例函数的图像位于一次函数的下方， 则其解集为：或， 而不等式表示一次函数的图像位于轴的下方， 则其解集为：， ∴不等式组的解集为． 24．为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张． (1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ (2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱． 【答案】(1)弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元； (2)购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题． （1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张”列分式方程解答即可； （2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元； （2）解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张，由题意得： ， 解得； 设购买休闲椅所需的费用为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， ； 答：购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用 25．如图，点D为的斜边的中点，连接，过点C作，连接，交于点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，点M、N分别为线段的中点，连接，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再证明即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得为等边三角形，进而求得、、，如图：过N作,再求得、，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点D为的斜边的中点，连接， ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵点D为的斜边的中点，连接， ∴， ∵在中，，， ∴, ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴,,, ∴为等边三角形，, ∴,即, ∴, ∵点M、N分别为线段的中点， ∴，， 如图：过N作, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．【发现结论】 （1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选） ①；②；③ 【类比迁移】 （2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接． ①（1）中结论依然成立的是______（填序号） ②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外） 【类比迁移】 （3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）①（1）中结论依然成立的是①②③；②；（3）成立，理由见解析过程 【分析】（1）由余角的性质可得，由“”可证，可得，可得，由勾股定理可求解； （2）①由余角的性质可得，由“”可证，可得，可得，由勾股定理可求解； ②由全等三角形的性质可得； （3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①②③； （2）①∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①②③； ②∵， ∴， ∴， 则还可以发现：； （3）成立，理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$