专题02 一定是直角三角形吗（四大题型，35题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题02 一定是直角三角形吗（四大题型，35题） 目录 题型一：勾股定理的证明方法 1 题型二：以弦图为背景的计算题 5 题型三：用勾股定理构造图形解决问题 9 题型四：勾股定理与无理数 12 一、题型一：勾股定理的证明方法 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 3．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 4．（23-24八年级下·山东德州·期中）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)证明：； (2)若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值． 5．（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 6．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 7．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 8．（22-23八年级上·山东济宁·期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． (1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示） (2)已知：两数x，y满足，，求的值． (3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简） 9．（22-23八年级下·广东江门·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 二、题型二：以弦图为背景的计算题 11．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 13．（23-24八年级下·山东青岛·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    15．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 17．（23-24八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 18．（2023·贵州·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 20．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 三、题型三：用勾股定理构造图形解决问题 21．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（    ）米处折断 A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 26．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米） 28．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 29．（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    30．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 四、题型四：勾股定理与无理数 31．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上点表示的数为2，过点的垂线段长度为1，以原点为圆心，如图方法作图，交数轴于点，则点表示的数值为（    ）    A．2.5 B．3 C． D． 32．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m． 33．（23-24八年级下·北京·期中）“在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法．    （1）直接写出图1中的面积 ； （2）若中有两边的长分别为、，且的面积为，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为的网格中画出符合题意的）． 34．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． (1)在图①中画出一个三边长分别为、、的三角形； (2)在图②中画出一个三边长均为无理数，且面积为的钝角三角形． 35．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如何在数轴上画出表示，的点？ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一定是直角三角形吗（四大题型，35题） 目录 题型一：勾股定理的证明方法 1 题型二：以弦图为背景的计算题 13 题型三：用勾股定理构造图形解决问题 25 题型四：勾股定理与无理数 35 一、题型一：勾股定理的证明方法 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即， 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东德州·期中）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)证明：； (2)若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，完全平方公式变形求值； （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （2）根据完全平方公式的变形解答即可． 【详解】（1）解：证明：大正方形的面积表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）∵大正方形的面积为， ∴ ∵小正方形的面积为， ∴ ∵大正方形的面积， ∴， ∴， ∴． 5．（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 【答案】①在锐角三角形中，．②在钝角三角形中，；证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明． 【详解】解：①当三角形是锐角三角形时， 证明：如图，作垂足是，设的长为， 根据勾股定理得： 整理得： ②当三角形为钝角三角形时 证明：如图，过点作的垂线交于点，设的长为， 在直角三角形中， 在直角三角形中，， 整理得： ，． 所以：①在锐角三角形中，． ②在钝角三角形中，． 6．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键． 由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得． 【详解】证明：由弦图可知，， ∴四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ， ∴． 7．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 8．（22-23八年级上·山东济宁·期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． (1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示） (2)已知：两数x，y满足，，求的值． (3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出； （2）根据（1）中等式，整体代入计算； （3）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出． 【详解】（1）解：如图2，正方形的面积， 正方形的面积， ； （2），且，， ， 即， 的值为． （3）如图3，正方形的面积， 正方形的面积， ， 即． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：．解题时注意数形结合思想的运用． 9．（22-23八年级下·广东江门·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； ， 满足的关系式为：． （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可； （2）根据材料中勾股定理的推论，完成面积的计算过程即可； （3）设，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2）在中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）如图2，设， 由勾股定理，得， ， 解得， ， ∴， ∴． 二、题型二：以弦图为背景的计算题 11．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用.根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决. 【详解】解：， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍，即， ， 故选：C. 12．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以， 故选：B 13．（23-24八年级下·山东青岛·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，三角形三边关系灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据三角形三边关系可判断①正确；根据完全平方公式即可得到②③正确；将不等式两边平方再相减即可得出④正确． 【详解】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知，故①正确； ②，， 即，故②正确； ③，， ，故③正确； ④， ， 、、都大于0， ，故④正确； 故选：D． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    【答案】9 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，得出，求出的值即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是14， ∴， ∴， ∵小正方形的面积是2， ∴直角三角形的面积为， 又∵直角三角形的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，设出八个全等的直角三角形的两直角边长是解题的关键． 设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，由图形可得出，，再由即可得出结果． 【详解】解：设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，则 ，，， ， ， ， ， 即正方形的面积为12， 正方形的边长为， 故答案为：． 18．（2023·贵州·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 先根据勾股定理和正方形的性质可得，再根据勾股弦图可得，再结合的面积为6可得，再运用完全平方公式可得，最后再求周长即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， 正方形的面积是25， ， 的面积为6，即， ， ， 即， 阴影部分的周长为． 故答案为：28． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； （3）用代数法思路证：设，正方形的边长为b，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 20．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【答案】(1) (2)2 (3)D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． 故答案为：2； （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：数形结合思想． 三、题型三：用勾股定理构造图形解决问题 21．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键． 通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可． 【详解】解：如图： 由题意可知： ∵， ∴，即， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 22．（23-24七年级上·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（    ）米处折断 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是关键． 【详解】解：如图，由题意知：， 设， ， ， ， 解得：， ∴这棵大树离地面约， 故选：C． 23．（22-23八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 【答案】 【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值． 【详解】构造两直角三角形如图，      ，，，，点为上一个动点，，，则：，，， 由图可知：， ∴的最小值为线段的长， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②； （2） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． （2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 26．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；设每只油桶底面的直径为，，得到，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】如图，设每只油桶底面的直径为，，则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，遮雨棚的高度起码要有． 28．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 29．（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    【答案】绳子的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，四边形是矩形，，设绳子的长度为，则，再由勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，四边形是矩形， ， ， 设绳子的长度为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：绳子的长度为． 30．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 【答案】尺 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸尺． 答：门的宽度（两扇门宽度的和）为尺． 四、题型四：勾股定理与无理数 31．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上点表示的数为2，过点的垂线段长度为1，以原点为圆心，如图方法作图，交数轴于点，则点表示的数值为（    ）    A．2.5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，即点表示的数值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，圆的基本概念，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 32．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据坡比等于铅直高与水平距离的比值，求出铅直高，进而利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴， ∴； 故答案为：． 33．（23-24八年级下·北京·期中）“在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法．    （1）直接写出图1中的面积 ； （2）若中有两边的长分别为、，且的面积为，写出它的第三条边长 （试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为的网格中画出符合题意的）． 【答案】 //3.5 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用分割法求三角形的面积即可； （2）根据题意，画出，求解即可． 【详解】解：（1）由图可知： 的面积； 故答案为：． （2）如图：    此时：， ，满足题意， ∴； 故答案为：． 34．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． (1)在图①中画出一个三边长分别为、、的三角形； (2)在图②中画出一个三边长均为无理数，且面积为的钝角三角形． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数： （1）根据网格的特点结合勾股定理进行作图即可； （2）根据网格的特点结合勾股定理进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由勾股定理，得：， 满足题意． （2）如图：即为所求； 由勾股定理得：， ， 满足题意． 35．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如何在数轴上画出表示，的点？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了在数轴上表示无理数，勾股定理的应用，数轴上两点之间的距离，熟练掌握利用勾股定理构造无理数并在数轴上表示出来是解题的关键． ①由，如图1，记点表示的数为，作垂直于数轴且，以A为圆心，以长为2的线段为半径画弧交数轴正半轴于点C，则，由勾股定理得，，则点C表示的数为，即，点C即为所求；②如图2，记点表示的数为2，点表示的数为1，作垂直于数轴且，由勾股定理得，，以C为圆心，以长为半径画弧交点C左侧数轴于点D，则，点D表示的数为，点D即为所求． 【详解】解：如图1，点C表示的数为； 如图2，点D表示的数为． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$