专题01 探索勾股定理（七大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题01 探索勾股定理（七大题型，40题） 目录 题型一：用勾股定理解三角形 1 题型二：勾股数问题 2 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 3 题型四：勾股定理与网格问题 6 题型五：勾股定理与折叠问题 8 题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10 题型七：利用勾股定理证明线段平方关系 11 题型一：用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．    3．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为 ． 4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，求底部边缘处与之间的距离的长．      题型二：勾股数问题 6．（21-22八年级下·重庆忠县·期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）下列各数中，属于勾股数的是（    ） A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13 8．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、　 　、　 　； (2)若第一个数用字母a（a为奇数，且）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为　 　、　 　； (3)用所学知识加以说明． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 11．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 13．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 15．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 17．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 18．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为 ． 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 20．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 题型四：勾股定理与网格问题 21．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 22．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）． 23．（23-24八年级下·山东临沂·期末）操作与探究 (1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； (2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 24．（23-24八年级下·江西抚州·期中）如图在网格中，三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的平分线，交于点． (2)在图2中，作的平分线，交于点． 25．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 26．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 题型五：勾股定理与折叠问题 27．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    28．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 29．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 30．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是 ． 31．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，垂直直线于点P． (1)当时，求的长； (2)当时， ①求的长； ②将沿直线翻折后得到，连接，请直接写出的周长为___________． 题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 32．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 34．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 35．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 36．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 题型七：利用勾股定理证明线段平方关系 37．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 38．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 39．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 40．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 探索勾股定理（七大题型，40题） 目录 题型一：用勾股定理解三角形 1 题型二：勾股数问题 6 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 10 题型四：勾股定理与网格问题 21 题型五：勾股定理与折叠问题 30 题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 39 题型七：利用勾股定理证明线段平方关系 44 一、题型一：用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由和勾股定理可得到的长度，根据题意可知，，最后由即可得到答案． 【详解】解：，， ， 又中，， ， 根据作图可知，，， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于，过点作，证明和全等，得，则，由得，则，进而得当面积的最大值，则的面积为最大，即为最大，根据“垂线段最短”得，即，由此得的最大值为5，此时与重合，即，然后由勾股定理求出，据此可得的长． 【详解】解：延长交于，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴当面积的最大值，则的面积为最大， ， 根据“垂线段最短”得：，即， ∴的最大值为5， ∴的最大值为5， ∴面积最大为， 当面积的取最大值时，与重合，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积，垂线的性质，角平分线，熟练掌握三角形的面积，垂线的性质，角平分线是解决问题的关键，理解垂线段最短，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，求底部边缘处与之间的距离的长．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．利用勾股定理先求出，再求出，即可解答． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， 答：底部边缘处与之间的距离的长为． 二、题型二：勾股数问题 6．（21-22八年级下·重庆忠县·期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． 7．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）下列各数中，属于勾股数的是（    ） A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13 【答案】D 【分析】解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足， 则是直角三角形，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、不是正整数，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不是正整数，故选项不符合题意； D、，是勾股数，故选项符合题意； 故选：D． 8．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、　 　、　 　； (2)若第一个数用字母a（a为奇数，且）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为　 　、　 　； (3)用所学知识加以说明． 【答案】(1)， (2)、 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股数找出规律即可得到答案； （2）根据勾股数找出规律即可得到答案 （3）根据平方差公式证明即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2， ∴第二个数是，第三个数是， 故答案为，； （2）解：由题意可得， 第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2， ∴第二个数是，第三个数是， 故答案为：、； （3）解：由题意可得， ∴勾股数规律是a，，． 【点睛】本题考查勾股数规律问题，解题的关键是找出规律第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 三、题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 11．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、等腰直角三角形的面积，半圆，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果． 【详解】解：设两直角边分别为，，斜边为， 则第一个图中，， ， ，故第一个图符合题意； 第二个图中，三个三角形是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质，斜边的高就是斜边的中线，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一关，则三个等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半， ∴， ， ， ， ，故第二个图符合题意； 第三个图中，，，， ， ，故第三个图符合题意； 这3个图形中面积关系满足的有3个， 故选：D． 12．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理得，得． 的面积的面积的面积． 故选：C． 13．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，根据题意过作于，连接，进而结合全等三角形的判定与性质得出进行分析计算即可. 【详解】解：在中，，斜边， ，， 过作于，连接，    在和中， ， ， 同理，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 、、三点共线， ，， ， 图中， ， 在和中， ， ， 同理，， ． 故选：B． 15．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分的面积和 三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积， ； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的相关知识，有一定难度；解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 16．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案． 【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴， ， ∴， ， ∵∠ABC＝∠CAD＝90°， ∴ ∴， ∴S1＋S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7， ∴3＋1＝7﹣S4， ∴S4＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键． 17．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 18．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为 ． 【答案】6 【分析】如图，连接，过点作，证明，从而得到、、在一条直线上，在类比赵爽弦图可得，，，现只需求出边的长度即可计算面积． 【详解】如图，连接，过点作， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴ 在与中： ∴（AAS） ∴ 又∵是正方形， ∴，， ∴， ∴是平行四边形， ∴ ∴、、在一条直线上， 故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略） 则： ∵， ∴ ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 20．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键． 根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可． 【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， ． 一般规律为： ，则． 故答案为：． 四、题型四：勾股定理与网格问题 21．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，勾股定理等知识，根据邻等四边形定义利用网格即可画图． 【详解】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 22．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为的正方形即可． 【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为的正方形，符合题意； 如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为的正方形，符合题意； 按照②中剪法，无法拼接成边长为的正方形，不符合题意； 故选①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查图形的拼接，解题的关键在于根据所给小正方形的面积求出所拼接成的正方形的边长． 23．（23-24八年级下·山东临沂·期末）操作与探究 (1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； (2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 【答案】(1)详情见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了图形的割补，勾股定理的证明等知识点，熟悉掌握图形的面积公式是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）利用割补法建立图形，然后利用图形面积建立式子即可． 【详解】（1）解：如图所示建立完整的四边形： 则：； ； ； （2）解：以边建立正方形，割补出以下图形，则此时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24八年级下·江西抚州·期中）如图在网格中，三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的平分线，交于点． (2)在图2中，作的平分线，交于点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由图可知，，根据正方形的对角线性质，取格点，连接并延长，交于即可作出图形； （2）由勾股定理可得，根据对称性作图，取格点，使，取格点，可得，连接，由对称性可知，网格中，则，从而得到，延长交于点即可作出图形． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求． 【点睛】本题考查网格中作图，难度较大，不容易想出来，涉及角平分线定义，正方形对角线性质、对称性、勾股定理、全等的判定与性质等知识，数形结合，灵活掌握相关几何性质用于作图是解决问题的关键． 25．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，分类讨论等知识和方法，灵活运用相关知识及方法是解答本题的关键． （1）根据关联点的定义，首先可判断， 两点是的关联点； （2）根据线段垂直平分线的性质可知，的关联点在三边的垂直平分线上，根据，关联点可以在以点A为圆心，长为半径的圆上，根据，关联点也可以在以点C为圆心，长为半径的圆上，在内处于3条垂直平分线和2个圆弧上，又是格点的点即为所求作的关联点； （3）作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，分当点K与点E重合时，当点F与点M重合时，当点F与点B重合时，当时，当时，讨论即可． 【详解】（1）与中的相等， 点为的关联点， 与中的边均不相等， 点不是的关联点， 与中的相等， 点为的关联点， 故答案为：，． （2）如图，点，，即为满足条件的点P的位置；    （3）如图，作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，    当点F与点M重合时，此时，与交于点H， ， ∴点M，点H是的关联点，此时上有2个的关联点， ， ， ， ； 当时，此时上有1个的关联点，为与的交点，不符合题意； 当点F与点B重合时，此时，与交于点Q， ， ∴点Q，点是的关联点，此时上有2个的关联点， ； 当时，此时上有2个的关联点，为与的交点，和圆弧与的交点，符合题意； 综上所述，结合图形可知，或，线段上存在的两个关联点， 的取值范围是：． 26．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②图见解析，；③图见解析， (2)有最小值，最小值为10 【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即；    ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接，      故在中，，则， 在中，，故， 即； （2）解：有最小值； 理由如下：设，则，如图：    ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． 五、题型五：勾股定理与折叠问题 27．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】过点作于， 在中，，，， ∴ ∵， ， 在中， ∴， 当时，如图    由折叠性质可知，， 又 ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 28．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 【答案】或3． 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点E只能落和上，分别画出图形，进行分析，利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，， ①如图，设边中点为M，连接， ，， 当E在上时， 由折叠可知，，，， ， 在中， 即： 解得： ②如图，设边的中点为N，连接， 当E点落在上时， ，， 由折叠可知， ， 四边形是正方形 ③如图，设、中点分别为M、N，作射线， ， 点D到的距离为 由折叠可知， 故E点不可能落在上, 综上所述， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 29．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可． 【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，， ①如图1，当点E在线段CD上时， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴在中，； ②如图2，当点E在射线CD上时， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴在中，． 综上所述，AE的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 30．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是 ． 【答案】1 【分析】先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得，所以∠CBF=∠BED=30°，在RtBCF中可计算出，，则，在RtDEF中计算出，，然后利用计算即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=，BC=1， ∴， ∴∠BAC=30°， ∵ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处， ∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE， ∵AD⊥ED， ∴， ∴∠CBF=∠BED=30°， 在RtBCF中，，， ∴， 在RtDEF中，，， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形三边的关系，平行线的性质及折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等． 31．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，垂直直线于点P． (1)当时，求的长； (2)当时， ①求的长； ②将沿直线翻折后得到，连接，请直接写出的周长为___________． 【答案】(1)20 (2)①25或5；②或 【分析】（1）根据双勾股列方程即可求出，进而求得的长； （2）分情况讨论当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，分别求出的长和的周长． 【详解】（1）如图： ∵ ∴，， 设，则 ∴， 解得： ∴ （2）①当是锐角三角形时， 当时， ； ； ∴ 当是钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∴ 综上所述：或5 ②当是锐角三角形时，由①知，，，，如图，与交于过点作， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴ ∴的周长为： 当是钝角三角形时，如图， 同理可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴的周长为： 综上所述：的周长为或． 【点睛】本题考查等积法求高，双勾股定理的求直角三角形边长，解题的关键是在做题时注意分类讨论． 六、题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 32．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 33．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 34．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 35．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 36．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 七、题型七：利用勾股定理证明线段平方关系 37．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理即可得出④． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故③正确； ，， ， 故④不正确， 故选：A． 38．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 39．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 40．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$