精品解析：江苏省常州市金坛第四中学2024届高三考前适应性考试（三模）数学试题

江苏省常州市金坛第四中学2023-2024学年高三考前适应性考试（三模）数学试题 命题人:王亚娟 审核人:孙惠萍 出卷时间:2024.5 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在等小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若复数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞尔曲线，其中 ， 在的图象上，在点 ， 处的切线分别过点 ， .若，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且点满足，，若记点 构成的图形为 ，则 的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线在 处的切线 10. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”， 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标 服从正态分布，现从中随机抽取 个，这 个芯片中恰有 个的质量指标 位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，） A. B. C. D. 取得最大值时， 的估计值为53 11. 已知椭圆 经过点，且离心率为．记 在 处的切线为 ，平行于OP的直线与 交于A，B两点，则（ ） A. C的方程 B. 直线OP与 的斜率之积为-1 C. 直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D. 直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为______． 13. 已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则______. 14. 《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为______m． 四、解答题:本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中， ，分别是线段的中点， ，， ，， ． （1）求证：平面 ； （2）求二面角的正弦值． 16. 记是等差数列的前 项和，已知 ，. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 17. 佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率． （1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； （2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率． 18. 已知函数，． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明； （3）当 时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系． 19. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． （1）求动点M的轨迹 ； （2）设过的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市金坛第四中学2023-2024学年高三考前适应性考试（三模）数学试题 命题人:王亚娟 审核人:孙惠萍 出卷时间:2024.5 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在等小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由指数不等式可得，再由集合交集的定义即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2. 已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义式，结合题意即可求得. 【详解】由向量，可得， 因向量在上的投影向量为， 由题意，，解得. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使函数有意义，即得关于 的不等式组，解之即得函数定义域. 【详解】函数有意义，等价于， 解得， ，故函数的定义域为 . 故选：A. 4. 若复数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合圆上一点与定点距离的关系计算即可. 【详解】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点， 而在复平面中对应的点不妨设为， 所以， 易知. 故选：B 5. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性结合指数对数的转化可得，再计算即可. 【详解】令，显然函数为R上单调递增函数， 又，， 所以. 故选：C 6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为 ， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 7. 贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞尔曲线，其中 ， 在的图象上，在点 ， 处的切线分别过点 ， .若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解. 【详解】设，则， 由题意，解得，所以. 故选：C. 8. 已知函数，且点满足，，若记点 构成的图形为 ，则 的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将图形直观化，可得到区域 是一个圆的去掉一个三角形，再分别计算面积即可. 【详解】 将函数表达式代入条件可得， 即. 所以区域 即为圆的内部位于 轴上方的部分， 即该圆的去掉一个底为，高为 的三角形，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将问题直观化，数形结合方可直接解决问题. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线在 处的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件求出，即得.对于A,B两项，只需将看成整体角，利用正弦函数的图象即可判断，对于C，只需将代入解析式，根据函数值即可检验，对于D，利用导数的几何意义即可求出切线方程进行判断. 【详解】由题意可得，，则，因，则，于是. 对于A，令，由可得，，因在上单调递减，故在区间单调递减，即A正确； 对于B，令，由可得，，因在上有两个极值点，故B正确； 对于C，当时，，因，故直线不是曲线的对称轴，即C错误； 对于D，由求导得，，则，又， 故曲线在 处的切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”， 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标 服从正态分布，现从中随机抽取 个，这 个芯片中恰有 个的质量指标 位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，） A. B. C. D. 取得最大值时， 的估计值为53 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 设， ， 解得，， 由， 解得，即， 所以取得最大值时， 的估计值为53，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆 经过点，且离心率为．记 在 处的切线为 ，平行于OP的直线与 交于A，B两点，则（ ） A. C的方程 B. 直线OP与 的斜率之积为-1 C. 直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D. 直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A；根据直线与椭圆相切的可求出直线 的方程即可判断B，C；通过计算可判断D. 【详解】椭圆方程为：，故A正确； 如图，因为点 在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：，则， 所以，所以，故B错误； ，则为等腰三角形，故C正确； ，消 可得， 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】表示出样本中心点的横、纵坐标，将其代入回归直线方程即可求解. 【详解】样本中心点的横坐标为，样本中心点的纵坐标为， 所以由样本中心点必在回归方程所对应的直线上，可得，解得. 故答案为：4.5. 13. 已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则______. 【答案】 【解析】 【分析】令得或，排除即可. 【详解】在中，令，有，解得或， 若，则在中，令 ，有恒成立，但这与矛盾， 所以只能，经检验符合题意. 故答案为：. 14. 《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为______m． 【答案】20 【解析】 【分析】确定每个角的大小，可得均为等腰三角形，在中，设，通过余弦定理计算即可. 【详解】在中，延长 与 的延长线交于点E，如图所示. 由题意可知，， 因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发， 所以三点在同一条直线上. 所以， 所以为等腰三角形， 即. 设，即，， 在中，由余弦定理得 , 即，， 所以， 又因为， 所以 . 故答案为： . 四、解答题:本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中， ，分别是线段的中点， ，， ，， ． （1）求证：平面 ； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 由于 是 的中点， ，故 . 而 分别是的中点，故且，而，所以. 由，知，而 ，故. 而，在平面 内交于点 ，故平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线知识得到，然后使用线面垂直的判定定理； （2）直接使用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已证 ，平面 ， 故可以 为原点，分别作为 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，且由知. 设，分别是平面和的一个法向量， 则由可知. 故可取，，得. 所以二面角的正弦值是. 16. 记是等差数列的前 项和，已知 ，. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 【答案】（1） （2） 数列的前 项和， 则， 所以 ， 因为，所以 ，则； 因为， 当 增大，则减少，所以 时，取得最大值为， 所以最大为； 综上，. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于 的方程组，解之即可得解； （2）由（1）求得，再利用累乘法求得，从而利用及与 的关系式的性质即可得证. 【小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为 ， 则由，得，解得， 所以数列通项公式为 . 【小问2详解】 略 17. 佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率． （1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； （2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数，利用二项分布的概率概率公式求即可； （2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果. 【小问1详解】 由题设，能卖出3件水牛奶的概率为，3件以下的概率为， 所以三天中卖出3件水牛奶的天数， 则. 【小问2详解】 由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A={销售0件}或B={销售1件}， 所以，， 令C={第二天货架上有1件存货}，则，， 所以. 第一天营业结束后补货的情况为D={销售3件}或E={销售2件}， 所以，， 令F={第二天货架上有1件存货}，则，， 所以. 综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率. 18. 已知函数，． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明； （3）当 时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系． 【答案】（1）1 （2）要证，，依次成等差数列，只需证， 整理可得，由依次成等比数列，则， 所以 ①当时，上式显然成立； ②当 时，则，整理可得， 由依次成等比数列可得，则， 代入得：与题意矛盾，故此时不存在； 综上：当时，存在满足要题意的； 当 时，不存在满足要题意的. （3）存在，证明:因为， ， ， 所以， 当时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 又当 时，恒成立， 当 趋于0时，趋于无穷小；当 趋于无穷大时，趋于无穷小； 所以在上各有一个零点，不妨设， 则，． 设函数，则，， 所以 在上单调递增， 故当 时，，即， 当 时，，即， 所以，， 所以， 整理可得：， 即，所以． 【解析】 【分析】（1）代入 ，再对求导，并研究其单调性，可得答案； （2）利用等差中项建立等式，结合等比中项以及对数运算律化简等式，根据分类讨论思想，可得答案； （3）先分析的单调性，结合零点存在定理得到，再构造函数，利用导数研究其单调性，建立关于的不等式，整理可即可得解. 【小问1详解】 当 时，，， 当 时， ，则在上单调递减； 当时， ，则在上单调递增， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． （1）求动点M的轨迹 ； （2）设过的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在定直线y＝8（x≠0）上． 【解析】 【详解】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4． ∵，∴，即，故动点M的轨迹 为． （2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下： 当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1． 设，，，则，，，由此知． 将y＝kx＋1代入，得，于是 ，．① 条件即，也即． 将，代入得． 显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即． 将，代入得．将式①代入得 ，解得． 当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意． 因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上． 【反思】由于关于椭圆 的极线是直线y＝8，若恒成立，由命题5知点Q在极线y＝8上，因此存在满足题意的Q，其轨迹为y＝8（x≠0）．本题实质是命题5的逆向应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $