精品解析：辽宁省部分高中2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题

2023—2024学年度下学期高一年级期末联考数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据复数模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 3. 已知，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以， 所以，则， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 4. 已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化 【详解】因为，解得， 所以 . 故选：C 6. 要得到函数y＝cos（2x）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】变换得到，根据三角函数平移法则得到答案. 【详解】，. 故向左平移个单位. 故选：. 【点睛】本题考查了三角函数平移，变换是解题的关键. 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则， 底面周长，所以， 所以圆锥的体积为. 故选：B 8. 已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由数量积的几何意义得到，再利用求解. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以，，， 又，则， 所以圆的半径为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，由面面平行的性质可得，故A正确； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C正确； 对于D：若，，则或， 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、垂直， 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、垂直，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式，从而判断A、B；由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质求出的范围，即可判断C，最后求出、，从而判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，又， 所以，则，又， 所以，故B正确； 所以， 又，则，因为在上单调递增， 所以，解得，故C正确； 因，， 所以，故D错误. 故选：BC 11. 在棱长为2的正方体中，点，，分别为平面，平面，平面的中心，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面平面 D. 几何体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0得到直线垂直，利用法向量数量积为0得到两个平面垂直，判断AC两个选项；利用中位线证明面面平行，证明几何体为棱台，利用点到平面的距离得到两个平面的距离进而得到体积，判断BD两个选项. 【详解】A选项，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图 ，， 因为，所以与不垂直，A错误； B选项， 四边形、、都是正方形，点、、分别是中心， 所以是的中点，是的中点，所以， 又在面内，不在面内，则面， 是的中点，是的中点，所以， 又在面内，不在面内，所以面， 又面，，所以，平面平面，B正确； C选项， ， ， 设平面的法向量，则即，从而，取， 设平面的法向量，则即，从而，取， 因为，所以平面平面，C正确； D选项， 因为四边形、、都正方形，点、、分别是中心， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 所以直线交于一点，且平面平面，所以几何体为三棱台， 因为，平面的法向量，所以点到平面的距离， 因为平面平面，所以两平面间的距离即为， 在正方体中，，， 所以，， 所以，D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何中的证明 （1）线线平行：两条不同的直线，直线的方向向量，直线的方向向量，； （2）线线垂直：两条不同的直线，直线的方向向量，直线的方向向量，； （3）线面平行：平面的法向量为，直线的方向向量为，则直线平面； （4）线面垂直：平面的法向量为，直线的方向向量为，则直线平面； （5）面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，则； （6）面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 函数在上的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式化简函数解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 又，则， 所以当，即时取得最大值，即. 故答案为： 14. 在三棱锥中，，，△是正三角形，，则三棱锥的体积为______；此三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取中点，连接，，可得，，根据线面垂直的判定定理得，，所以三棱锥的体积，再根据数据计算即可.确定球心的位置，再由球的表面积公式即可求解外接球的表面积. 【详解】如图，取中点，连接，. 由题知△是正三角形，△是等腰直角三角形， 所以，，又，，面，所以. 根据题意得，，， 在△中，，所以， 所以，， 则三棱锥的体积. 因为，且为中点，所以P为外接圆的圆心， 设为外接圆的圆心，则， 过点P作平面BCD的垂线，过作平面的垂线，则两条垂线的交点即为球心O， 由可得，所以， 球的半径即为，此三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的一个对称中心为. （1）求的值； （2）讨论在区间上的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）根据代入计算可得； （2）利用两角差的正弦公式化简，再根据的取值范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为函数的一个对称中心为， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，所以， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 16. 如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，分别为，的中点，. （1）求证：平面； （2）若，求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）依题意可得平行四边形为菱形，即可得到，再由得到，从而得证. 【小问1详解】 设，连接，， 则为的中点，又，分别为，的中点， 所以且，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，所以平行四边形为菱形，所以， 又，，所以， 又，平面， 所以平面. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理、基本不等式及三边关系求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 又，所以 【小问2详解】 由余弦定理，即， 所以，又，所以，显然， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以周长的取值范围为. 18. 如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为. （1）求棱锥的体积（结果用表示）； （2）当时， ①请在图中直接画出平面与平面的交线；（不写过程，保留作图痕迹） ②求证：平面平面. 【答案】（1） （2）①作图见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设矩形的面积为，则，，即可得到四棱锥的体积与三棱锥的体积相等，再由锥体与体积的关系即可得解； （2）①延长、交于点，连接，即可说明即为两平面的交线；②首先说明，即可得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证. 【小问1详解】 因为，则，所以， 设矩形的面积为，则，， 所以四棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 又三棱锥的体积等于，所以棱锥的体积为； 【小问2详解】 ①当时，平面，延长、交于点， 连接， 因为，平面，，平面， 所以平面，平面， 又平面，平面， 所以平面与平面的交线为 ②因为，，所以，又为等边三角形， 所以，则，所以， 则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 19. 在中，是边上中点，的平分线分别交，于点，. （1）若，，，求； （2）若的面积是的面积的倍，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理求出，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）记的面积为，的面积为，则，过点作交于点，即可得到，从而用、表示出、，再由数量积的运算律得到，从而得到，再由面积比得到，最后利用余弦定理计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，， 在中由正弦定理，即， 解得，又， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 记的面积为，的面积为， 所以， 过点作交于点，所以， 所以， 所以 ， ， 又， 所以 ， 所以，即 所以， 又的平分线为，所以， 所以，所以， 令，所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是用、作为一组基底表示出、，根据数量积的运算律推导出，再利用面积公式推导出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期高一年级期末联考数学 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数y＝cos（2x）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 已知圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（ ） A. B. C D. 11. 在棱长为2的正方体中，点，，分别为平面，平面，平面的中心，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面平面 D. 几何体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则______. 13. 函数在上最大值为______. 14. 在三棱锥中，，，△是正三角形，，则三棱锥体积为______；此三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的一个对称中心为. （1）求的值； （2）讨论在区间上的单调性. 16. 如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，分别为，的中点，. （1）求证：平面； （2）若，求证：平面. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 18. 如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为. （1）求棱锥的体积（结果用表示）； （2）当时， ①请在图中直接画出平面与平面的交线；（不写过程，保留作图痕迹） ②求证：平面平面. 19. 在中，是边上的中点，的平分线分别交，于点，. （1）若，，，求； （2）若的面积是的面积的倍，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$