角度计算模型专项训练之角平分线专题2023-2024学年北师大版数学八年级下册

八上数学：角度计算模型专项训练之角平分线专题 【类型一 两内角平分线模型】 1．如图所示，AC⊥BC，AO，BO 分别是 ∠A，∠B 的平分线，且相交于点 O，则 ∠AOB 等于（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC的角平分线BD与CE交于点O，若∠COD＝50°，则∠BAC的度数是__________． 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC＝ ； （2）若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠BPC＝ ； （3）若∠A＝80°，则∠BPC＝ ； （4）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC＝ （提示：用∠A表示）． 6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，则∠BOD的度数为（ ） A．120° B．125° C．130° D．135° 7．如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________． 8．如图，DC平分，EC平分，已知，，则________． 9．如图，四边形 ABCD 中， A B 200 ， ADC 、 DCB 的平分线相交于点 O ，则COD 的度数是_____. 10．探究与发现： （1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系？ 已知：如图1，在中，DP、CP分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）探究二：四边形的两个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系？ 已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由． （3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系？ 已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分和，请求出与的数量关系． 11．如图①，ABC的角平分线BD、CE相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A． ①若将直线MN绕点P旋转，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由； ②当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问①中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 12．（1）特例发现：如图1，，平分，平分．请观察猜想的度数并说明理由； （2）类比探究：如图2，点是上一点，当保持不变，移动直角顶点，使平分．与存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）拓展应用：如图3，为线段上一定点，点为直线上一动点，点不与点重合．与有何数量关系?猜想结论并说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，A(，0)，C(b，2)，且满足，过C作CB⊥轴于B． (1)求三角形ABC的面积． (2)如图2，若过B作BD∥AC交轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数． (3)若AC交轴于点F，在轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 【类型二 两外角平分线模型】 1．如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ①若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°－ ； ②若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－ ； ③若∠A＝100°，则∠P＝40°＝90°－ . (1)根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝________； (2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系； (3)请说明(2)中结论的正确性． 2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 5．如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系. 6．如图，已知射线射线，、分别为、上一动点，、的平分线交于点.问、分别在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由. 7．如图，已知点是四边形的外角和外角的平分线的交点．若，，求的度数． 8．如图，五边形中，、的外角分别是、，、分别平分和且相交于点，若，，，则__________． 9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角，如图①，，是四边形的两个外角． ∵四边形的内角和是360°， ∴， 又∵， 由此可得，与，的数量关系是______； （2）知识应用：如图②，已知四边形，，分别是其外角和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图③，四边形中，，和是它的两个外角，且，，求的度数． 10．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β （1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式； （3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 11．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________． 12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ） A．25° B．30° C．40° D．50° 13．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 14．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是 和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），且为整数． （1）若，求的度数； （2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程； （3）当时，请直接写出+与的数量关系． 【类型三 内外角平分线模型】 1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E． （1）求∠E的度数； （2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由． 2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ） A．10° B．15° C．20° D．30° 3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________． 4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（） A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能确定 5．如图，在中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，则∠M的大小为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点．若∠ABD=20°，，则（ ） A．70° B．90° C．80° D．100° 7．如图所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（ ） A．50° B．45° C．40° D．35° 8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，⋯，∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4，得∠A4，则∠A4的度数为（ ） A．5° B．10° C．15° D．20° 9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ） A．10° B．15° C．30° D．40° 10．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_________°． 11．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________． 12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__________，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝________，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为________． 13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数 14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数． 15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E. （1）∠DBE的度数； （2）若∠A=70,求∠D的度数； （3）若∠A=,求∠E的度数(用含的式子表示). 16．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β， （1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝____（用含α，β的式子表示）； （2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝___（用含α，β的式子表示）； （3）当α，β满足条件___时，不存在∠F． 17．如图，，点、分别在、上运动（不与点重合）． （1）如图1，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点． ①若，则为多少度？请说明理由． ②猜想：的度数是否随、的移动发生变化？请说明理由． （2）如图2，若，，则的大小为 度（直接写出结果）； （3）若将“”改为“（）”，且，，其余条件不变，则的大小为 度（用含、的代数式直接表示出米）． 参考答案及解析 【类型一 两内角平分线模型】 1．如图所示，AC⊥BC，AO，BO 分别是 ∠A，∠B 的平分线，且相交于点 O，则 ∠AOB 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据角平分线的定义得到∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵AC⊥BC， ∴∠C=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°， ∵AO，BO 分别是 ∠A，∠B 的平分线，且相交于点 O， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°， 在△OAB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 180°-45°=135°， 故选：A． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，可以得到，，再根据三角形内角和定理和进行求解即可. 【详解】 解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠BCA， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B. 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．如图，△ABC的角平分线BD与CE交于点O，若∠COD＝50°，则∠BAC的度数是__________． 【答案】80° 【分析】 依据三角形外角性质，即可得到∠OBC+∠OCB=50°，再根据△ABC的角平分线BD，CE相交于点O，可得∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=100°，最后根据三角形内角和定理，即可得到△ABC中，∠A=80°． 【详解】 解：∵∠COD=50°， ∴∠OBC+∠OCB=50°， ∵△ABC的角平分线BD，CE相交于点O， ∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=100°， ∴△ABC中，∠BAC=80°， 故答案为：80°． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理的运用和三角形外角的性质，能结合定理正确识图，得出相应角之间的关系是解题关键． 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 【详解】 （1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【点睛】 本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC＝ ； （2）若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠BPC＝ ； （3）若∠A＝80°，则∠BPC＝ ； （4）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC＝ （提示：用∠A表示）． 【答案】（1）125°；（2）120°；（3）130°；（4）90°+∠A． 【分析】 （1）由∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠2+∠4=25°+30°＝55°，在△BCP中，由三角形内角和为180°可得答案； （2）同理，由ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4＝×120°＝60°，在△BCP中，由三角形内角和为180°可得答案； (3) A＝80°，可得ABC+∠ACB＝100°，∠2+∠4＝×100°＝50°，可得∠BPC的度数； （4）ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4＝×（180°﹣∠A），在△BCP中，∠P＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A 【详解】 解：（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝25°+30°＝55°， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣55°＝125°， 故答案为125°； （2）∵∠ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝×120°＝60°， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣60°＝120°， 故答案为120°； （3）∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝×100°＝50°， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣50°＝130°， 故答案为130°； （4））∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝×（180°﹣∠A）， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A． 故答案为90°+∠A． 【点睛】 本题主要考查三角形的内角和定理与角平分线的性质： 三角形的内角和是180, 得到相应规律是: 三角形两个内角平分线所夹的钝角等于90 +第三个角的一半. 6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，则∠BOD的度数为（ ） A．120° B．125° C．130° D．135° 【答案】D 【分析】 由题意易得，由四边形内角和可知，则有，进而问题可求解． 【详解】 解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O， ∴， ∵∠A＝150°，∠C＝60°， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】 本题主要考查四边形内角和及角平分线的定义，熟练掌握四边形内角和及角平分线的定义是解题的关键． 7．如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________． 【答案】70° 【分析】 先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】 如图， ∵∠1+∠2+∠3=220°， ∴∠4+∠5=360°-220°=140°， ∴∠EAB+∠CBA=220°， ∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA=110°， ∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°． 故答案是：70°． 【点睛】 本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 8．如图，DC平分，EC平分，已知，，则________． 【答案】 【分析】 连接DE，根据三角形角平分线的性质及内角和定理可求出∠DCE与∠A、∠ADC、∠AEC之间的关系，同理可求出∠DCE与∠A、∠ADB、∠AEB之间的关系，代入数值进行计算即可； 【详解】 连接DE，如图1 在△BDE中，∠1＋∠2＝180°−∠DBE＝70°， 在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180°−∠DAE＝130°， ∴∠ADB＋∠AEB＝（∠ADE＋∠AED）−（∠1＋∠2）＝60°， ∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴∠3＋∠4＝30°， 在△DEC中，∠DCE＝180°−（∠1＋∠2）−（∠3＋∠4） ＝180°−70°−30°＝80°. 故答案为：. 【点睛】 本题考查三角形角平分线的性质及内角和定理，掌握上述知识点是解题关键. 9．如图，四边形 ABCD 中， A B 200 ， ADC 、 DCB 的平分线相交于点 O ，则COD 的度数是_____. 【答案】100 【分析】 先根据四边形的内角和得到∠ADC+∠BCD=160°，再根据ADC 、 DCB 的平分线得到∠ODC+∠OCD=80°，再根据三角形的内角和即可求解. 【详解】 ∵四边形 ABCD 中， A B 200 ∴∠ADC+∠BCD=360°-（A B）=160° ∵ADC 、 DCB 的平分线相交于点 O ∴∠ODC+∠OCD=ADC+DCB=（∠ADC+∠BCD）=80°， 在△COD中，COD=180°-（∠ODC+∠OCD）=100°. 故填：100. 【点睛】 此题主要考查四边形的角度求解，解题的关键是熟知多边形的内角和及角平分线的性质. 10．探究与发现： （1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系？ 已知：如图1，在中，DP、CP分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）探究二：四边形的两个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系？ 已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由． （3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系？ 已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分和，请求出与的数量关系． 【答案】（１）∠P=90°+∠A；（２）∠P =（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；（３）∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°． 【分析】 （1）先根据角平分线的定义表示出∠CDP和∠DCP，然后再根据三角形内角和为180°即可得到∠P和∠A的数量关系； （2）先根据角平分线的定义表示出∠CDP和∠DCP，根据四边形内角和为360°，即可得到∠BCD+∠ADC=360°-（∠A+∠B），再结合三角形内角和为180°，可得∠P与∠A+∠B的数量关系； （3）先根据角平分线的定义表示出∠CDP和∠DCP，根据六边形内角和为720"，可得∠BCD+∠ADC=720°-（∠A+∠B+∠E+∠F）,再结合三角形内角和为180°，可得∠P与∠A+∠B的数量关系． 【详解】 解：（1）∠P=90°+∠A,理由如下： ∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD ∴∠CDP=∠ADC，∠DCP=∠ACD ∵∠A +∠ADC+∠ACD=180° ∴∠ADC+∠ACD=180°-∠A ∵∠P+∠PDC+∠PCD=180° ∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠ACD） ∴∠P=180°-（180°-∠A）=90°+∠A； （2）∠P=（∠A+∠B）,理由如下： ∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD ∴∠CDP=∠ADC，∠DCP=∠BCD ∵∠A +∠B+∠ADC+∠BCD=360° ∴∠BCD+ ∠ADC=360°-（∠A+∠B） ∵∠P+∠PDC+∠PCD=180° ∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD） =180°-（∠ADC+∠BCD） =180°- [360°-(∠A-∠B)] = （∠A+∠B）； （3）∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180° 理由如下： ∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD ∴∠PDC=∠EDC，∠DCP=∠BCD ∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+ ∠EDC=720° ∴∠BCD+∠EDC=720°-（∠A+∠B+∠E+∠F） ∵∠P+∠PDC+∠PCD=180° ∴∠P =180°-（∠PDC+∠PCD） =180°-（∠EDC+∠BCD） =180°- [720°-（∠A+∠B+∠E+∠F）] =（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°． 【点睛】 本题主要考查了多边形的内角和、角平分线的性质等知识点，掌握运用多边形的内角和表示角的数量关系是解答本题的关键． 11．如图①，ABC的角平分线BD、CE相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A． ①若将直线MN绕点P旋转，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由； ②当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问①中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 【答案】（1）130°；（2）①仍然成立，见解析；②不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣∠A，见解析 【分析】 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题． （2）运用（1）中的结论，结合三角形的内角和定理逐一分类解析，即可解决问题． 【详解】 解：（1）如图①∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB， ∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°． （2）①如图③，由（1）知：∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）； ∵∠1+∠2＝（180°﹣∠A）＝90°-∠A， ∴∠BPC＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A； ∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A． ②不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣∠A． 如图④，由①知：∠BPC＝90°+∠A， ∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC ＝180°﹣（90°+∠A） ＝90°﹣∠A． 【点睛】 该题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点是基础，灵活运用是关键． 12．（1）特例发现：如图1，，平分，平分．请观察猜想的度数并说明理由； （2）类比探究：如图2，点是上一点，当保持不变，移动直角顶点，使平分．与存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）拓展应用：如图3，为线段上一定点，点为直线上一动点，点不与点重合．与有何数量关系?猜想结论并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）．理由见解析；（3）或．（或）理由见解析． 【分析】 （1）过点E作EF//AB，根据平行线的性质推出∠BAE=∠AEF，∠BAC+∠ACD=180°，根据角平分线的性质得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，从而推出∠AEC=90°； （2）过E作EF//AB，由平行线的性质推出∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，结合图形有∠BAE+∠ECD=90°，再根据角平分线的性质推出∠MCE＝∠ECD=∠MCD，从而得到∠BAE+∠MCD＝90°； （3）根据题意分当点Q在射线CD上运动时和当点Q在射线CD的反向延长线上运动时两种情况进行讨论，结合图形根据平行线的性质及三角形的内角和进行求解即可． 【详解】 解：（1） 理由如下：过点作，则． ， . 平分，平分， ，， ， ， 即. （2）． 过作， ， ， ，． ， ， 平分，， . （3）当点在射线上运动时（如图3）， （或） 理由：过点过作， ， ， ，． . 当点在射线的反向延长线上运动时（点除外） 理由：，. ， 综上，或（或） 【点睛】 本题考查平行线的判定与性质，通常需要根据题意作出相关的辅助线（EF//AB），运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． 13．如图1，在平面直角坐标系中，A(，0)，C(b，2)，且满足，过C作CB⊥轴于B． (1)求三角形ABC的面积． (2)如图2，若过B作BD∥AC交轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数． (3)若AC交轴于点F，在轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)45° (3)P坐标为(0，3)或(0，-1) 【分析】 （1）根据非负数的性质可列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b，即得出A、B、C三点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）过E作EF∥AC，根据平行线的性质结合角平分线定义即可求解； （3）连接OC．根据和，即可求出，从而可求出．分类讨论①当P点在x轴上方时，作轴，轴，轴，分别交于点M、N．设P(0，m)，根据，即可求出m的值，即得出答案；②当P点在x轴下方时，作轴，轴，轴，分别交于点、．设设P(0，n)，根据，即可求出n的值，即得出答案． (1)解：∵， ∴， 解得：． ∴A(-2，0)，C(2，2)． ∵CB⊥AB， ∴B(2，0)， ∴AB=4，CB=2， ∴； (2) 如图，过E作EF∥AC． ∵CB⊥x轴， ∴CB∥y轴，∠CBA=90°， ∴∠ODB=∠6． 又∵BD∥AC， ∴∠CAB=∠5， ∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°-∠CBA=90°． ∵BD∥AC， ∴BD∥AC∥EF， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． ∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠3=∠CAB，∠4=∠ODB， ∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4= (∠CAB+∠ODB)=45°； (3) 如图，连接OC． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 分类讨论：①当P点在x轴上方时，如图，作轴，轴，轴，分别交于点M、N． 设P(0，m) 则AM=m，MP=2，NP=2，NC=m-2，MN=4， ∴ ， ∴， 解得：． ∴此时点P坐标为(0，3)； ②当P点在x轴下方时，如图，作轴，轴，轴，分别交于点、． 设P(0，n)， 则=-n， =2， =2， =2-n，， ∴ ， ∴， 解得：． ∴此时点P坐标为(0，-1)． 综上可知点P坐标为(0，3)或(0，-1)． 【点睛】 本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形，角平分线的定义，三角形的面积公式，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键 【类型二 两外角平分线模型】 1．如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ①若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°－ ； ②若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－ ； ③若∠A＝100°，则∠P＝40°＝90°－ . (1)根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝________； (2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系； (3)请说明(2)中结论的正确性． 【答案】（1）15°；（2）∠P＝90°－∠A；（3）见解析. 【详解】 【试题分析】（1）按照规律求解即可；（2）根据题意中的规律写出等量关系；（3）根据外角的性质，证明. 【试题解析】 (1) ∠P＝90°－ =15°； (2)∠P＝90°－∠A； (3)因为∠DBC是△ABC的一个外角， 所以∠DBC＝∠A＋∠ACB. 因为BP是∠DBC的平分线， 所以∠PBC＝∠A＋∠ACB. 同理可得∠PCB＝∠A＋∠ABC. 因为∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， 所以∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB) ＝180°－ ＝180°－ ＝90°－∠A. 【方法点睛】本题目是一道规律探究题，先猜想后证明，主要利用外角的性质，三角形的内角和来证明. 2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解. 【详解】 ∵ ∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120° ∵、是的外角角平分线 ∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120° ∴∠A=60° 故选：B. 【点睛】 此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题. 3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案． 【详解】 解：如图： ， 由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m， 由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m， 由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得 ∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m， 由三角形的内角和，得 ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m． 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键． 4．如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【答案】 【分析】 运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系． 【详解】 解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G， 在中， ∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB） =180°-（180°-m°+180°-n°）； = 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出． 5．如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系. 【答案】 【分析】 先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含的式子表示出和的和，再利用三角形外角的性质即可得到和的数量关系. 【详解】 解：∵, ∴, ∵点是的外角和的角平分线交点， ∴ +＝， 又∵＝ +， ∴. 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键. 6．如图，已知射线射线，、分别为、上一动点，、的平分线交于点.问、分别在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由. 【答案】不变，. 【分析】 根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°-∠O． 【详解】 解：∠C的度数不会改变． ∵∠ABE、∠BAF的平分线交于C， ∴∠CAB=∠FAB   ∠CBA=∠EBA ∴∠C=180°-（∠CAB +∠CBA） =180°-（∠ABE+∠BAF） =180°-（∠O+∠OAB+∠BAF） =180°-（∠O+180°） =90°-∠O=45°． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 7．如图，已知点是四边形的外角和外角的平分线的交点．若，，求的度数． 【答案】60° 【分析】 根据四边形的内角和公式即可求出，然后根据平角的定义即可求出，再根据角平分线的定义即可求出，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】 解：因为，，， 所以． 因为，， 所以． 因为点是四边形的外角和外角的平分线的交点， 所以，． 所以， 所以． 【点睛】 此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键． 8．如图，五边形中，、的外角分别是、，、分别平分和且相交于点，若，，，则__________． 【答案】95 【分析】 根据多边形的内角和定理：，可得出∠BCD、∠EDC的和，从而得出相邻两外角和，然后根据角平分线及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】 解：多边形的内角和定理可得五边形的内角和为：=540°， ∴∠BCD+∠EDC=540°-140°-120°-90°=190°， ∴∠FCD+∠GDC=360°-190°=170° 又∵CP和DP分别是∠BCD、∠EDC的外角平分线， ∴， 根据三角形内角和定理可得：∠CPD=180°-85°=95°． 故答案为：95． 【点睛】 本题主要考查了多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角， 如图①，，是四边形的两个外角， ∵四边形的内角和是360°， ∴， 又∵， 由此可得，与，的数量关系是______； （2）知识应用：如图②，已知四边形，，分别是其外角和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图③，四边形中，，和是它的两个外角，且，，求的度数． 【答案】（1）+= +；（2）65°；（3）45° 【分析】 （1）根据平角的定义即可解答； （2）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解； （3）由四边形内角和定理得，可求得，再由，可求得，最后利用四边形内角和定理求出． 【详解】 解：（1）如图①，，是四边形的两个外角， ∵四边形的内角和是360°， ∴， 又∵， ∴+= +， 故答案为：+= +； （2）∵ ∴ ∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线 ∴∠ADE= ∴ ∴； （3）∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 【点睛】 本题考查了四边形的两个外角和等于与它不相邻的两个内角的和的性质，四边形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键． 10．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β （1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式； （3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行，理由见解析 【分析】 （1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可； （2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可． 【详解】 解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°， ∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）， ∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180° ∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β， ∵α+β＝150°， ∴∠MBC+∠NDC＝150°， （2）β﹣α＝90° 理由：如图1，连接BD， 由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC， ∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β）， 在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β， 在△BDG中，∠BGD＝45°， ∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°， ∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°， ∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°， ∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°， ∴β﹣α＝90°， （3）平行， 理由：如图2，延长BC交DF于H， 由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC， ∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β）， ∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB， ∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β）， ∵α＝β， ∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β， ∴∠CBE＝∠DHB， ∴BE∥DF． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． 11．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________． 【答案】36° 【详解】 试题分析：由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴可得∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°， ∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°， ∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质． 12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】 根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得，继而即可求解． 【详解】 解：∵平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选择C． 【点睛】 本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得． 13．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 【答案】15° 【分析】 先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E． 【详解】 解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=∠E=×30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质． 14．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是 和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数． （1）若，求的度数； （2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程； （3）当时，请直接写出+与的数量关系． 【答案】（1）； （2），过程见解析； （3） 【详解】 （1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 +，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可（3） 试题分析： 试题解析：（1）， ∵、分别是和的角平分线， ∴ ∴.    （2）在△中， +， ， （3） 点睛：本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键. 【类型三 内外角平分线模型】 1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E． （1）求∠E的度数； （2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由． 【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E． 【分析】 （1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据（1）中的推导过程进行推论即可． 【详解】 （1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE， 由三角形的外角性质得， ∠ACD=∠A+∠ABC， ∠DCE=∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）, ∴∠A=2∠E， ∵∠A=40°， ∴∠E=20°.    （2）∠A=2∠E. 理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE， 由三角形的外角性质得， ∠ACD=∠A+∠ABC， ∠DCE=∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）, ∴∠A=2∠E， 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形外角性质得，，则，利用等式的性质得到，然后把的度数代入计算即可． 【详解】 解答：解：∵的平分线与的平分线交于点D， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键． 3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________． 【答案】80°. 【详解】 试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到∠PCD=∠A，再代入数据计算即可得解． 在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC， 在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PCB， ∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线， ∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC， ∴∠P+∠PCB=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠PCB， ∴∠PCD=∠A， ∴∠BPC=40°， ∴∠A=2×40°=80°， 即∠BAC=80°． 考点：三角形内角和定理． 4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（） A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能确定 【答案】C 【分析】 由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D. 【详解】 ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC=∠ABC=m° ∵∠ACB=n° ∴∠ACE=180°-n° 又∵CD平分∠ACE ∴∠ACD=∠ACE= 在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=， ∴∠D= 故选C. 【点睛】 本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键. 5．如图，在中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，则∠M的大小为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【分析】 先由 结合角平分线求解 再利用角平分线与求解，利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵∠BAC=80°， ∴ 平分 ∠ABC=40°，平分， ∴∠ABM=20°， ∴∠M= 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，熟记定理和概念是解题的关键． 6．如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点．若∠ABD=20°，，则（ ） A．70° B．90° C．80° D．100° 【答案】B 【分析】 根据角平分线定义求出∠DCE、∠ACE、∠DBC，根据三角形外角性质求出∠A、∠D，即可求出答案． 【详解】 解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，∠ABD=20°，∠ACD=55°， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°，∠ACD=∠DCE=∠ACE=50°， ∴∠ABC=40°，∠ACE=100°， ∴∠A=∠ACE-∠ABC=60°，∠D=∠DCE-∠DBC=50°-20°=30°， ∴∠A+∠D=90°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7．如图所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（ ） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】B 【分析】 过点E作，，，利用角平分线性质结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】 解：如图所示，过点E作，，， ∴BE，CE是角平分线， ∴，． ∴． ∵，， ∴是的角平分线． ∵， ∴，， ∴，由三角形内角和可得：． 故答案为：45． 【点评】 本题考查的知识点是角平分线性质，综合利用角平分线的性质是解此题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，⋯，∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4，得∠A4，则∠A4的度数为（ ） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】A 【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，，依此类推可知的度数 【详解】 解：与的平分线交于点， ， ， ， 同理可得，， ． 故选：A． 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系． 9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ） A．10° B．15° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】 利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 【详解】 解：，， ． 又的角平分线与的外角平分线相交于点， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键． 10．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_____°． 【答案】42 【分析】 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】 解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ACO＝∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°， ∵∠DOC＝48°， ∴∠D＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42． 【点睛】 本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角． 11．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________． 【答案】14 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC和∠ACB，再根据三角形外角的性质可求∠ACD，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC和∠BCF，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC． 【详解】 解：∵等腰△ABC中，顶角∠A=42， ∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69， ∴∠ACD=111， ∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点， ∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74， ∴∠BCF=143， ∴∠BFC=180-23-143=14． 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系． 12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__． 【答案】     48°，     24°，     96°× 【分析】 利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算． 【详解】 解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC， 而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠A1＝96°， ∴∠A1＝48°， 同理可得∠A1＝2∠A2， 即∠A＝2×2∠A2＝96°， ∴∠A2＝24°， ∴∠A＝2n， ∴ ． 故答案为48°，24°，96°×． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数 【答案】∠P=25°． 【分析】 延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数． 【详解】 解：延长ED，BC相交于点G． 在四边形ABGE中， ∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°， ∴∠P=∠FCD-∠CDP=（∠DCB-∠CDG） =∠G=×50°=25°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键． 14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数． 【答案】不变，45° 【分析】 根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解． 【详解】 解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY， ∴∠4＝∠ABY＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB， 即∠4＝45°+∠1， 又∵∠4＝∠C+∠1， ∴∠C＝45°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决． 15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E. （1）∠DBE的度数； （2）若∠A=70,求∠D的度数； （3）若∠A=,求∠E的度数(用含的式子表示). 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得 再根据平角的定义可得出结论； （2）根据角平分线的定义可得 再根据三角形外角的性质可推出则可求出∠D的度数； （3）由第（2）问的结论可知，再加上第（1）问的结论，则可表示出∠E的度数. 【详解】 （1）∵BD平分，BE平分 ∴ ∵ ∴ （2）∵CD平分, BD平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）由（2）知 ∵ ∴ 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键. 16．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β， （1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝____（用含α，β的式子表示）； （2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝___（用含α，β的式子表示）； （3）当α，β满足条件___时，不存在∠F． 【答案】（1）（α+β）﹣90°； （2）90°﹣（α+β）； （3）α+β＝180°． 【分析】 （1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解； （2）与（1）的思路相同，得到∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可； （3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在． 【详解】 解：（1）如图： 由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC， ∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°， 由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC， ∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE， ∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°， ∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°， ∵∠A＝α，∠D＝β， ∴∠F＝（α+β）﹣90°； （2）如图3， 由（1）可知，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC， ∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°， ∴∠FCE＝∠F+∠FBC， ∵∠FBC＝（360°﹣∠ABC），∠FCE＝180°﹣∠DCE， ∴∠F=∠FCE﹣∠FBC=180°﹣（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）﹣（360°﹣∠ABC）， ∴∠F=90°﹣（∠A+∠D） ∴∠F＝90°﹣（α+β）； （3）当α+β＝180°时， ∴∠F＝90°﹣， 此时∠F不存在． 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 17．如图，，点、分别在、上运动（不与点重合）． （1）如图1，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点． ①若，则为多少度？请说明理由． ②猜想：的度数是否随、的移动发生变化？请说明理由． （2）如图2，若，，则的大小为 度（直接写出结果）； （3）若将“”改为“（）”，且，，其余条件不变，则的大小为 度（用含、的代数式直接表示出米）． 【答案】（1）①45°，理由见解析；②∠D的度数不变；理由见解析（2）30 ；（3） 【分析】 （1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=∠ABN=75°、∠BAD=∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D度数； ②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案； （2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案； （3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案． 【详解】 解：（1）①45° ∵∠BAO=60°，∠MON=90°， ∴∠ABN=150°， ∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO， ∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30° ∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°， ②∠D的度数不变． 理由是：设∠BAD=α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO=2α， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，      ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=45°+α， ∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°； （2）设∠BAD=α， ∵∠BAD=∠BAO， ∴∠BAO=3α， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α， ∵∠ABC=∠ABN， ∴∠ABC=30°+α， ∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°； （3）设∠BAD=β， ∵∠BAD=∠BAO， ∴∠BAO=nβ， ∵∠AOB=α°， ∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ， ∵∠ABC=∠ABN， ∴∠ABC=+β， ∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=. 【点睛】 本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$