第一章 三角形的证明--角度计算模型专项训练之A字型 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

八上数学：角度计算模型专项训练之A字型专题 1．如图，已知△ABC中，∠A＝70°，则∠1+∠2＝（ ） A．290° B．250° C．150° D．145° 2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（ ） A．90° B．135° C．270° D．315° 3．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的大小关系为（ ） A．∠1+∠2＞∠3+∠4 B．∠1+∠2＜∠3+∠4 C．∠1+∠2＝∠3+∠4 D．大小关系取决于∠C的度数 4．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ） A．150° B．240° C．300° D．330° 5．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ） A．30° B．40° C．45° D．50° 6．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ） A．15° B．20° C．25° D．35° 7．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ． 8．如图所示，是某建筑工地上的人字架．已知这个人字架的夹角∠1＝120°，那么∠2﹣∠3的度数为 ． 9．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM＝ON＝MN，那么∠APQ+∠CQP＝ ． 10．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，D、E分别是AB、AC上两点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，此时，∠F＝35°，则∠1的度数为 ． 11．如图，已知∠CBE+∠BCD＝256°，求∠A的度数． 12．如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数． 13．如图，已知点P是四边形ABCD的外角∠CDE和外角∠DCF的平分线的交点．若∠A＝149°，∠B＝91°，求∠P的度数． 14．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB ∠A+180°（横线上填＞、＜或＝） 初步应用： （2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝ ． （3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ． （4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系． 15．【尝试探究】 如图1，在一张三角形纸片上，剪去△ABC，得到四边形BCHG，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角 （1）请你试着说明：∠1+∠2＝180°+∠A （2）如图2，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关系为 （3）如图3，EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF与∠A的数量关系： 【拓展提升】 如图4，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分∠FEG、∠EFH，请写出∠EPF，∠1、∠2这三个角的数量关系，并说明理由． 参考答案与试题解析 1．如图，已知△ABC中，∠A＝70°，则∠1+∠2＝（ ） A．290° B．250° C．150° D．145° 【解答】解：如下图，延长AB至D， ∵∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°； ∵∠DAC+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠DAC＝360°﹣110°＝250°． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（ ） A．90° B．135° C．270° D．315° 【解答】解：如图．∵△ABC为直角三角形，∠B＝90°， ∴∠BNM+∠BMN＝90°， ∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN， ∴∠1+∠2＝270°． 故选：C． 3．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的大小关系为（ ） A．∠1+∠2＞∠3+∠4 B．∠1+∠2＜∠3+∠4 C．∠1+∠2＝∠3+∠4 D．大小关系取决于∠C的度数 【解答】解：∵∠3＝∠CEF，∠4＝∠CFE，∠C+∠CEF+∠CFE＝180°， ∴∠C+∠3+∠4＝180°， 又∵∠C+∠1+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 故选：C． 4．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ） A．150° B．240° C．300° D．330° 【解答】解：如图， 在△ABC中，∠1+∠2＝180°﹣30°＝150°． 在△ADE中，∠3+∠4＝180°﹣30°＝150°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4＝300°． 故选：C． 5．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ） A．30° B．40° C．45° D．50° 【解答】解：如图，在△ADE中， ∵∠A+∠1+∠2＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2）， 在△BMN中， ∵∠B+∠3+∠4＝180°， ∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4）， 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°， ∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°， ∴∠5＝220°﹣180°＝40°， 故选：B． 6．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ） A．15° B．20° C．25° D．35° 【解答】解：∵△ABC沿EF翻折， ∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE， ∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE， ∵∠1＝95°， ∴∠AEF（180°﹣95°）＝42.5°， ∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°， ∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°， ∴∠2＝25°， 故选：C． 7．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为 130° ． 【解答】解：如图， ∵∠1＝40°， ∴∠1＝∠3＝40°， ∵∠A＝90°， ∴∠2＝∠3+∠A＝130°， 故答案为：130°． 8．如图所示，是某建筑工地上的人字架．已知这个人字架的夹角∠1＝120°，那么∠2﹣∠3的度数为 60° ． 【解答】解：∵∠3+∠4＝∠1，∠1＝120°， ∴∠3+∠4＝120°， ∵∠4＝180°﹣∠2， ∴∠3﹣∠2＝120°﹣180°，即∠2﹣∠3＝60°． 故答案为：60°． 9．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM＝ON＝MN，那么∠APQ+∠CQP＝ 240° ． 【解答】解：∵OM＝ON＝MN， ∴三角形OMN为正三角形， 所以∠APQ+∠CQP＝（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP）， ＝360°﹣（∠OPQ+∠OQP）， ＝360°﹣（180°﹣∠POQ）， ＝180°+60°， ＝240°． 故答案为：240°． 10．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，D、E分别是AB、AC上两点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，此时，∠F＝35°，则∠1的度数为 145° ． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠F＝35°， ∴∠ADE＝∠B+∠F＝85°， ∵∠A＝60°， ∴∠1＝∠A+∠ADE＝60°+85°＝145°， 故答案为：145°． 11．如图，已知∠CBE+∠BCD＝256°，求∠A的度数． 【解答】解：∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE＝∠1+∠A， ∵∠BCD是△ABC的外角，∴∠BCD＝∠2+∠A， ∵∠CBE+∠BCD＝256°， ∴∠1+2∠A+∠2＝256°， ∵∠1+∠2+∠A＝180°， ∴∠A+180°＝256°， ∴∠A＝256°﹣180°＝76°． 12．如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数． 【解答】解：∵∠BDF＝130°， ∴∠EDF＝180°﹣130°＝50°． ∵∠E＝30°， ∴∠AFC＝30°+50°＝80°． ∵∠C＝54°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣54°﹣80°＝46°． 13．如图，已知点P是四边形ABCD的外角∠CDE和外角∠DCF的平分线的交点．若∠A＝149°，∠B＝91°，求∠P的度数． 【解答】方法一：解：延长DA，CB交于点M， ∵∠DAB＝∠M+∠ABM，∠CBA＝∠M+∠BAM， ∴∠DAB+∠CBA＝∠M+∠ABM+∠M+∠BAM＝∠M+180°， ∵∠DAB＝149°，∠CBA＝91°， ∴149°+91°＝∠M+180°， 解得∠M＝60°， ∵∠EDC＝∠M+∠BCD，∠FCD＝∠M+∠ADC， ∴∠EDC+∠FCD＝∠M+∠BCD+∠M+∠ADC＝180°+∠M＝240°， ∵点P是四边形ABCD的外角∠CDE和外角∠DCF的平分线的交点， ∴∠PCD+∠PCD＝120°， ∵∠PCD+∠PDC+∠P＝180°， ∴∠P＝60°． 方法二：解：∵∠A＝149°，∠B＝91°， ∴∠ADC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B＝120°， ∵∠ADC＝180°﹣∠EDC，∠BCD＝180°﹣∠FCD， ∴180°﹣∠EDC+180°﹣∠FCD＝120°， ∴∠EDC+∠FCD＝240°， ∵DP平分∠EDC，CP平分∠FCD， ∴∠EDC＝2∠PDC，∠FCD＝2∠PCD， ∴∠PDC+∠PCD＝120°， ∵∠PDC+∠PCD+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣120°＝60°． 14．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB ＝ ∠A+180°（横线上填＞、＜或＝） 初步应用： （2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝ 45° ． （3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ∠P＝90°∠A ． （4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系． 【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°， 理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°． 故答案为：＝． （2）∠2﹣∠C＝45°． 理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°， ∴∠2﹣∠C+135°＝180°， ∴∠2﹣∠C＝45°． 故答案为：45°； （3）∠P＝90°∠A， 理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB， ∴∠CBP∠DBC，∠BCP∠ECB， ∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°（∠DBC+∠ECB）， ∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A， ∴∠P＝180°（180°+∠A）＝90°∠A． 故答案为：∠P＝90°∠A， （4）∠P＝180°（∠A+∠D）． 理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2， ∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB， ∴∠3∠EBC＝90°∠1，∠4∠FCB＝90°∠2， ∴∠3+∠4＝180°（∠1+∠2）， ∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D）， 又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）（∠1+∠2）， ∴∠P[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°（∠A+∠D）． 15．[尝试探究] 如图1，在一张三角形纸片上，剪去△ABC，得到四边形BCHG，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角 （1）请你试着说明：∠1+∠2＝180°+∠A （2）如图2，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关系为 ∠1+∠2＝∠3+∠4 （3）如图3，EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF与∠A的数量关系： [拓展提升] 如图4，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分∠FEG、∠EFH，请写出∠EPF，∠1、∠2这三个角的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵三角形的内角和为180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A； （2）由（1）得，∠1+∠2＝180°+∠A， 同理，∠3+∠4＝180°+∠A， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 故答案为：∠1+∠2＝∠3+∠4； （3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°+∠A， ∵EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH， ∴∠PEFGEF，∠PFEHFE， ∴∠PEF+∠PFE（∠GEF+∠HFE）（180°+∠A）， ∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°（180°+∠A）＝90°A； （4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P＝360°， 理由：如图，由（3）可知，∠A+2∠P＝180°， 由（1）可知，∠1+∠2＝180°+∠A， ∴（∠1+∠2﹣180°）+2∠P＝180° ∴∠1+∠2+2∠P＝360°． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$