第一章 三角形的证明-角度计算模型专项训练之8字型 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

八上数学：角度计算模型专项训练之8字型专题 1．如图所示，∠α的度数是（ ） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（ ） A．180° B．90° C．270° D．240° 4．如图，线段AB、CD相交于点O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，当∠B＝50°，∠D＝40°时，∠E的度数是 ． 5．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ． 6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ °． 7．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．设∠A＝n°，求∠F的度数（用含n的式子表示）． 8．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D． （1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ °． （2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 9．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC． （1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 10．（1）如图1，求证∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度数； （3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点O，请探究∠O与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论． 11．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： （1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC． （2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ； （3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由． 12．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ； （2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个； ②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数； ③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ． （3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 14．探究与发现： 平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O． （1）如图1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数； （2）如图2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM∠BAD，∠BCM∠BCD，求∠M的度数； （3）如图3，设∠B＝x°，∠D＝y°，∠BAM∠BAD，∠BCM∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数（直接写答案）． 15．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC； ①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数； ②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明． （3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ∠ABC，∠EDP∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明． 16．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是 ； （2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝ ； （3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果∠MCD∠BCD，∠NDE∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，试求∠M+∠N的度数． 17．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P） 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ． 参考答案与试题解析 1．如图所示，∠α的度数是（ ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD， ∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D ∴30°+20°＝40°+α， ∴α＝10° 故选：A． 2．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°， ∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC． 又∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC． ∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG． 同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE． ∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE． ∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E， ∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE． ∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）． ∴∠A+∠C＝2∠P． 又∵∠A＝45°，∠P＝40°， ∴∠C＝35°． 故选：B． 3．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（ ） A．180° B．90° C．270° D．240° 【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O， 由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC， 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°， 即五角星的五个内角之和为180°． 故选：A． 4．如图，线段AB、CD相交于点O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，当∠B＝50°，∠D＝40°时，∠E的度数是 45° ． 【解答】解：∵AE平分∠DAB，CE平分∠BCD， ∴∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE， ∴由三角形内角和定理得：∠DAE+∠D＝∠DCE+∠E，∠BAE+∠E＝∠BCE+∠B， ∴∠D﹣∠E＝∠E﹣∠B， ∴∠E（∠D+∠B）， ∵∠B＝50°，∠D＝40°， ∴∠E＝45°， 故答案为：45°． 5．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 360° ． 【解答】解：连接AD， 在△AOD和△BOC中， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， ∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD， ∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°， ∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360°． 6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 540 °． 【解答】解：连接CF， ∵∠D+∠E+∠DOE＝∠OCF+∠OFC+∠COF＝180°，∠DOE＝∠COF， ∴∠D+∠E＝∠OCF+∠OFC， ∵∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°． 7．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．设∠A＝n°，求∠F的度数（用含n的式子表示）． 【解答】解：∵DF平分∠ADE，BF平分∠ABC， ∴∠ADE＝2∠ADF，∠ABC＝2∠ABF， ∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠ADE＝2∠ADF， ∵∠ABF+∠A＝∠F+∠ADE， ∴∠ABF＝∠F+∠ADE﹣n°， ∠BCD＝∠A+∠ABC， ∴2∠ADF＝n°+2∠ABF， ∴2∠ADF＝n°+2（∠F+∠ADE﹣n°） ＝n°+2∠F+2∠ADE﹣2n°， ∴∠Fn°． 8．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D． （1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 110 °． （2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 【解答】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D， 在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠C+∠D＝110°， 故答案为：110； （2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°， ∴2∠1+2∠3＝120°， ∴∠1+∠3＝60°， 由图知△ABF与△DEF为对顶三角形， ∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①， 又∵∠ADE比∠BED大6°， ∴∠ADE﹣∠BED＝6°②， 联立①②得， 解得， ∴∠BED＝27°． 答：∠BED的度数为27°． 9．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC． （1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由（1），得∠1+∠D＝∠3+∠P，①，∠4+∠B＝∠2+∠P．②， ①+②，得∠1+∠4+∠B+∠D＝∠2+∠3+2∠P， 即2∠P＝∠B+∠D， ∴； （3）设∠6＝x，∠8＝y． ∵，， ∴∠5＝3x，∠7＝3y， 由（1），得∠5+∠D＝∠7+∠P，∠6+∠P＝∠8+∠B， 即3x+β＝3y+γ，x+γ＝y+α， ∴3（x﹣y）＝γ﹣β，x﹣y＝α﹣γ， ∴3（α﹣γ）＝γ﹣β， 即4γ＝3α+β． ∴α，β，γ之间的数量关系是4γ＝3α+β． 10．（1）如图1，求证∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度数； （3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点O，请探究∠O与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论． 【解答】（1）证明：记AD与BC的交点为E，则∠AEC为△ABE与△CDE的外角， ∴∠AEC＝∠A+∠B，∠AEC＝∠D+∠C， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）解：记AD与BC的交点为E，AD与BP的交点为F，记PD与BC的交点为G， ∵AD与BP交于点F，PD与BC交于点G， ∴∠A+∠ABP＝∠P+∠ADP，∠P+∠PBC＝∠C+∠PDC， ∴2∠P+∠ADP+∠PBC＝∠A+∠ABP+∠C+∠PDC， ∵BP、DP分别平分∠ABC和∠ADC， ∴∠ABP＝∠PBC，∠ADP＝∠PDC， ∴2∠P＝∠A+∠C， ∵∠A+∠C＝50°， ∴2∠P＝50°， ∴∠P＝25°． （3）解：∠O＝180°（∠B+∠D），理由如下， ∵AO平分∠BAD的外角，CO平分∠BCD的外角， ∴∠OAE（180°﹣∠BAD），∠OCE（180°﹣∠BCD）， ∴∠OAE+∠OCE（180°﹣∠BAD）（180°﹣∠BCD）＝180°（∠BAD+∠BCD）， 由（1）得，∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD＝∠AEC， ∴2∠AEC＝∠B+∠D+∠BAD+∠AEC， ∴∠AEC（∠B+∠D+∠BAD+∠AEC）， ∴∠O＝360°﹣∠OAE﹣∠OCE﹣∠AEC＝360°﹣[180°（∠BAD+∠BCD）]（∠B+∠D+∠BAD+∠AEC）＝180°（∠B+∠D）． 11．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： （1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC． （2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ； （3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：过A作EF∥BC， ∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C， 又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°， ∴∠B+∠C+∠BAC＝180°； （2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°， 又∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （3）解：2∠P＝∠D+∠B． 根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②， ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B， ∴2∠P＝∠D+∠B． 12．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠B+∠C ； （2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个； ②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数； ③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； 故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP， 以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON， 以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC， 故答案为6个； ②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD， ∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB， 由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B， 整理得：∠B+∠D＝2∠P， ∴∠P45°； ③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下： ∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD， ∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB， 由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B， 整理得：∠B+∠D＝2∠P； ④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下： 由（1）中结论得： ∠2+∠P＝∠4+∠B， 3∠2+∠D＝3∠4+∠B， 整理得：2∠B+∠D＝3∠P． 13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 260° ． （3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2所示， ∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D， ∴∠A+∠E+∠D＝∠3， ∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°， ∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°， ∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°， ∵∠B+∠C＝∠1＝130°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°． 故答案为：260°． （3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P（∠B+∠C）（100°+120°）＝110°； ②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB， ∴∠BAP∠CAB，∠BDP∠CDB， 以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP（∠CDB﹣∠CAB）． ∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B， ∴4∠P＝∠B+3∠C． 14．探究与发现： 平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O． （1）如图1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数； （2）如图2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM∠BAD，∠BCM∠BCD，求∠M的度数； （3）如图3，设∠B＝x°，∠D＝y°，∠BAM∠BAD，∠BCM∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数（直接写答案）． 【解答】解：（1）如图1，设∠COD＝x°，则∠AOB＝∠COD＝x°， △COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣42°﹣x＝138°﹣x， ∵CM平分∠BCD得到： ∠BCM∠BCD＝69°x， 同理：∠BAM＝∠MAD＝78°x， 在△ABP中利用三角形内角和定理得到 ∠APB＝180°﹣24°﹣（78°x）＝78°x， 则∠CPM＝∠APB＝180°﹣24°﹣（78°x）＝78°x， 在△CPM中三内角的和是180°， 即：（69°x）+（78°x）+∠AMC＝180°， 则∠AMC＝33°； （2）如图2：设∠COD＝x°，则∠AOB＝∠COD＝x°， △COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣32°﹣x＝148°﹣x， ∵CM平分∠BCD得到： ∠BCM∠BCDx， 同理：∠BAM＝∠MADx， 在△ABP中利用三角形内角和定理得到 ∠APB＝180°﹣50°﹣（）x， 则∠CPM＝∠APB＝180°﹣50°﹣（）x， 在△CPM中三内角的和是180°， 即：（）+（x）+∠AMC＝180°， 136°+∠AMC＝180° 所以∠M＝44°． （3）∠M＝∠B（∠BAD﹣∠BCD）＝∠B（∠D﹣∠B）＝x（y﹣x）xy． 15．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC； ①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数； ②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明． （3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ∠ABC，∠EDP∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明． 【解答】解：（1）设AD与BC的交点为点O， 则∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP， 两式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP， ∵BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC， ∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP， ∴∠C+∠A＝2∠P， ∴∠P（∠A+∠C）＝32°； ②由①可得：∠C+∠A＝2∠P； （3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA， ∴∠A∠ABC∠C∠CDA， ∴∠CBQ∠C+45°﹣∠EDP， 设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC， 两式相减可得：∠BOD∠A∠C+∠ADC+∠EDP﹣45°， ∴∠BOD∠A∠C+180°﹣∠ADP﹣45°， ∴45°∠A∠C+180°﹣∠ADP﹣∠BOD， ∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP， ∴45°∠A∠C+∠P， 即∠A+3∠C+4∠P＝180°． 16．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是 ∠A+∠B＝∠C+∠D ； （2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝ 90°（∠A+∠B） ； （3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果∠MCD∠BCD，∠NDE∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，试求∠M+∠N的度数． 【解答】解：（1）如图1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°， 在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； 故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，设∠PCD＝x，∠ADP＝y， ∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE， ∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y， ∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x， ∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x， ∴∠COD＝2∠P， ∵∠COD+∠A+∠B＝180°， ∴2∠P+∠A+∠B＝180°， ∴∠P＝90°（∠A+∠B）； 故答案为：90°（∠A+∠B）； （3）如图3，延长CM、DN交于点P， 由（2）知：∠P＝90°（∠A+∠B）， ∵∠A+∠B＝80°， ∴∠P＝50°， ∴∠PMN+∠PNM＝130°， ∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°； （4）如图4，延长CM、DN交于点P， 设∠PCD＝x，∠ADP＝2y， 同理得：∠P＝y﹣x， ∠COD＝3y﹣3x， ∴∠COD＝3∠P， ∴3∠P+∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠B＝n°， ∴∠P， ∴∠PMN+∠PNM＝180°120n°， ∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120n°）＝240°n°． 17．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 25° ； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ∠P ． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ α+β﹣180° （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ∠P ．（用x、y表示∠P） 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° ． 【解答】解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D， 故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D； 探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， 即2∠P＝∠B+∠D， ∵∠B＝36°，∠D＝14°， ∴∠P＝25°， 故答案为25°； 探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3， 由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1， ①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1 ∠D+2∠B＝2∠P+∠B． ∴∠P． 故答案为：∠P． 应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A， ∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°， ∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°； ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD， ∵∠PCD＝∠P+∠PBC， ∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC（∠ACD﹣∠ABC）∠A， 故答案为：α+β﹣180°，； 应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点， ∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°， ∴∠A＝180°﹣α﹣β， ∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR， ∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB， 由应用一得：∠P∠A， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB， ∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB， ∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y， ∠PAB∠CAB，∠PDB∠CDB， ∴∠P∠CAB＝∠B∠CDB，∠P∠CDB＝∠C∠CAB， ∴2∠P＝∠C+∠B（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y（x﹣y）， ∴∠P， 故答案为：∠P； 拓展二：如图7， ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE， ∴∠PAD∠BAD，∠PCD＝90°∠BCD， 由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD， ②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD， ③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°， ∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°， 故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$