专题1.3 从立体图形到平面图形（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3 从立体图形到平面图形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】几种常见的几何体的展开与折叠 1. 正方体的展开与折叠； 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体表面展开，可以得到十一种不同的展形图； 2. 棱柱的展开与折叠； 棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的，几个常见的棱柱展开图如下： 3. 圆柱、圆锥的展开与折叠. 圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆和一个长方形组成；圆锥的表面展开图是由一个扇形和一个圆组成，其中扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的周长。 圆柱的侧面展开图 圆锥的侧面展开图 【知识点二】截一个几何体 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 2. 正方体常见的截面如图所示： 【知识点三】从不同方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左边看，从上面看. 2. 常见的几何体从不同方向看的形状图 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】展开与折叠 【例1】（23-24八年级上·江西吉安·阶段练习）请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形能构成正方体表面展开图．（注：①添加的正方形用阴影表示；②要求用3种不同的方法） 【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图是正方体的展开图，则原正方体中与“春”字对面的字是（   ） A．祝 B．节 C．快 D．乐 【变式2】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，正方体中每个面印有不同数字，在展开图中的值可以等于3的是 ． 【例2】如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·阶段练习）把左边的正方体的表面展开，可能得到的展开图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式2】有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 ． 【题型2】截一个几何体 【例3】如图是一个圆柱，任意切一刀，切口会是什么形状?请画出两种可能的图形． 【变式1】用一个平面截下列立体图形，截面不可能是圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期中）如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面有 个面．    【题型3】从三个不同方向看物体形状 【例4】（23-24七年级下·江西吉安·开学考试）如图是由小正方体搭成的一个几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图． 【变式1】（2024·四川达州·模拟预测）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从上面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23六年级上·山东烟台·期末）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 【例5】（23-24六年级上·山东东营·期中）如图，是用几个相同的正方体搭出的几何体，请解答下列问题：    (1)分别在方格纸中画出从正面、左面、上面看这个几何体时看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加几个相同的小正方体，使新几何体和原几何体分别从上面和从左面看到的形状相同，添加小正方体个数最少可以摆______个，最多可以摆______个． (3)若每个小正方体的棱长为，要给这个几何体地面以上的部分涂上颜色，求涂色部分的面积； 【变式1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 【变式2】（23-24六年级上·山东威海·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，右图是从正面、上面看到的形状图，组成这个几何体最多需要 个小正方体． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 2、拓展延伸 【例1】从正面和从左面看一个长方体得到的形状图如图所示(单位： cm)，则其从上面看到的形状图的面积是 ． 【例2】（22-23六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 从立体图形到平面图形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】几种常见的几何体的展开与折叠 1. 正方体的展开与折叠； 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体表面展开，可以得到十一种不同的展形图； 2. 棱柱的展开与折叠； 棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的，几个常见的棱柱展开图如下： 3. 圆柱、圆锥的展开与折叠. 圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆和一个长方形组成；圆锥的表面展开图是由一个扇形和一个圆组成，其中扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的周长。 圆柱的侧面展开图 圆锥的侧面展开图 【知识点二】截一个几何体 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 2. 正方体常见的截面如图所示： 【知识点三】从不同方向看几何体 1. 从不同方向看几何体，往往看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左边看，从上面看. 2. 常见的几何体从不同方向看的形状图 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】展开与折叠 【例1】（23-24八年级上·江西吉安·阶段练习）请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形能构成正方体表面展开图．（注：①添加的正方形用阴影表示；②要求用3种不同的方法） 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的展开图中每个面都有对面，可得答案． 解：如图： 【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图是正方体的展开图，则原正方体中与“春”字对面的字是（   ） A．祝 B．节 C．快 D．乐 【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图的特征：根据相对面展开后间隔一个正方形，解答即可． 解：原正方体中与“春”字对面的字是“快”， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，正方体中每个面印有不同数字，在展开图中的值可以等于3的是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，根据正方体的表面展开图，同时与1，2相连的两个面是展开b或c，即可解答． 解：同时与相连的两个面是展开或，则图中的值可以等于3的是或 故答案为：或． 【例2】如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【答案】（1）2；（2）11 【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论； （2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和． 解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6， 故2的对面是1，即第一个图的下底面为1， 又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5， 故第一个图的左面是4，后面为3， 故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2； （2）由第一个图可知，4的对面是5， 故第二个图和第三个图的下底面都为5， 故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11． 【点拨】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·阶段练习）把左边的正方体的表面展开，可能得到的展开图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力，这类问题动手实际操作是解决问题的关键． 解：由题意可知，“■”、“★”、“●”、三个图案应该相邻， A、“■”与“★”图案相对，故不符合题意； B、“■”与“★”图案相对，故不符合题意； C、根据有图案的表面之间的位置关系，是正确的展开图； D、“★”图案的位置应在“●”上面，故不符合题意． 故选：C． 【变式2】有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 ． 【答案】 51 26 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值； 要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值． 解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26， 故答案为：51，26． 故答案为：51，26． 【点拨】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力． 【题型2】截一个几何体 【例3】如图是一个圆柱，任意切一刀，切口会是什么形状?请画出两种可能的图形． 【分析】根据几何体的形状得出即可． 解：沿平行于圆面切得到一个圆形； 沿不平行线圆面切可得到椭圆或梯形； 沿垂直于圆面切可得到一个长方形． ． 【点拨】此题主要考查了截一个几何体，根据已知几何体得出不同的截面是解题关键，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【变式1】用一个平面截下列立体图形，截面不可能是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的截面图像，逐一判断其截面即可解题． 解：A选项圆柱的截面可能是圆，不符合题意； B选项圆锥的截面可能是圆，不符合题意； C选项球的截面肯定是圆，不符合题意； D选项长方体的截面不可能是圆，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期中）如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面有 个面．    【答案】7 【分析】本题考查了立体图形的认识，截面的形状．观察图形，数剩下的几何体的面数和棱数即可． 解：观察图形可知：剩下的几何体有7个面． 故答案为：7． 【题型3】从三个不同方向看物体形状 【例4】（23-24七年级下·江西吉安·开学考试）如图是由小正方体搭成的一个几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据题目给出的平面图形还原原图形是解题关键．从正面看有3列，每列小正方形数目分别为2、3、4，从左面看有3列，每列小正方数形数目分别为2、4、1，据此可画出图形． 解：如图所示 【变式1】（2024·四川达州·模拟预测）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从上面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的平面图形即可判断求解，掌握从不同方向看几何体的画法是解题的关键． 解：几何体从上面看到的图形是， 故选：． 【变式2】（22-23六年级上·山东烟台·期末）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 【答案】左面和上面 【分析】此题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的图可得． 解：从上面看得到的图形都是第一层三个小正方形，第二层是一个小正方形，从左边看都是第一层是一个小正方形，第二层两个小正方形， 故答案为：左面和上面． 【例5】（23-24六年级上·山东东营·期中）如图，是用几个相同的正方体搭出的几何体，请解答下列问题：    (1)分别在方格纸中画出从正面、左面、上面看这个几何体时看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加几个相同的小正方体，使新几何体和原几何体分别从上面和从左面看到的形状相同，添加小正方体个数最少可以摆______个，最多可以摆______个． (3)若每个小正方体的棱长为，要给这个几何体地面以上的部分涂上颜色，求涂色部分的面积； 【答案】(1)图见解析 (2)1；3 (3) 【分析】本题考查从不同方向看几何体．正确的画出从不同方向看到的平面图形，是解题的关键． （1）画出从前面，左面，上面看到的图形即可； （2）根据从上面和从左面看到的形状相同，得到最小可以在第二层添加1个小正方体，最多可以在第二层添加1个，第三层添加2个，共3个； （3）根据三视图，求出地面以上部分的面积即可． 【详解】（1）解：画出图形，如图所示：    （2）∵从上面和从左面看到的形状相同， ∴最小可以在第二层添加1个小正方体，最多可以在第二层添加1个，第三层添加2个，共3个； 故答案为：1，3； （3）． 【变式1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由图可得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可，最后将的值代入即可求解． 解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有4个小正方体， 第二层最少有2个，最多有4个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为∶(个)， 至多需要小正方体木块的个数为∶(个)， 故选∶A． 【变式2】（23-24六年级上·山东威海·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，右图是从正面、上面看到的形状图，组成这个几何体最多需要 个小正方体． 【答案】11 【分析】本题考查的是从不同方向看小正方体堆砌图形，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．根据从上面看到的小正方体的分布，再结合从正面看到的图形可得答案． 解：组成这个几何体最多需要的小正方体的情况如下图所示： 则小正方体的个数最多为， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 【例2】（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答． 解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”， 故选：D． 2、拓展延伸 【例1】从正面和从左面看一个长方体得到的形状图如图所示(单位： cm)，则其从上面看到的形状图的面积是 ． 【答案】12cm2 解：试题解析：根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得； 从正面看到的形状图是长为4cm宽为2cm的长方形， 从左面看到的形状图是长为3cm宽为2cm的长方形， 则从上面看到的形状图的面积是4×3=12cm2. 【例2】（22-23六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体 【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：    最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 【点拨】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$