精品解析：云南省保山市隆阳区保山市智源初级中学2023-2024学年八年级下学期7月月考数学试题

保山市智源中学2023—2024学年下学期八年级 第三次单元检测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目；非选择题必须用黑色字迹的签字笔填写在答题卡，字体工整．在试卷上作答无效． 一、选择题（共15题，每题只有一个正确选项，每题2分，共30分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，近似轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示．关于志愿者服务时间的描述正确的是（　　） 时间/ 2 3 4 5 6 人数 1 3 2 3 1 A. 众数是6 B. 平均数是4 C. 中位数是3 D. 方差是1 6. 如图，菱形中，，过点作于点，并交于点，过点作于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 如图是一块等腰三角形空地，已知点，分别是边，的中点，量得米，若用篱笆将空地隔开，则需要篱笆的长是（　　） A. 6米 B. 12米 C. 18米 D. 24米 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 9. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ） A. B. C. D. 1 10. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的3倍 D. 扩大到原来的3倍 11. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（－3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　） A. －5和－4之间 B. －4和－3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 12. 如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 13. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 14. 如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 15. 小明上午从家出发，外出散步，到图书馆看了一会儿书，再继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图所示的图象描述了小明在散步过程中离家的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系，则下列信息错误的是（ ） A. 小明看书用了 B. 小明一共走了 C. 小明回家的速度为 D. 上午小明在离家处 二、填空题（共4题，每题2分，共8分） 16. 代数式有意义时，应满足的条件是_____． 17. 分解因式的结果是______． 18. 在东京奥运会比赛前，有甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表，则这四人成绩最好且发挥最稳定的是______． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.4 9.4 9.2 9.2 方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.027 19. 将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点A的对应点为，与交于点D，则点D的坐标为________． 三、解答题（共8题，共62分） 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在y轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点P的坐标． 22. 为了提高学生的消防安全意识，某校对七、八年级的学生进行了消防安全知识测试，并分别从各年级随机抽取名学生的成绩进行整理、分析，得到如下部分信息： 七、八年级测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 七年级测试成绩统计图 七年级学生的成绩在范围内具体为，，，，，，，，. 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）学校将成绩高于所在年级抽取成绩的平均分的学生评为优秀，请判断这次抽取的学生中，哪个年级的优秀学生多，并说明理由： （3）若该校七年级有名学生，八年级有名学生，请通过计算，估计本次七、八年级消防安全知识测试的平均成绩． 23. 观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… （1）请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； （2）求证：． 24. 如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线． （1）求直线的表达式； （2）已知点A，当时，求点的坐标． 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 26. 某商场准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A商品的件数是用7500元采购B商品的件数的2倍，一件A商品的进价比一件B商品的进价多10元． （1）求一件A，B商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进A，B商品共250件进行试销，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于20件．A商品的售价与A商品销量之间的关系如下表所示： A型商品的销量（件） 0 5 10 15 20 … A型商品的售价（元/件） 240 230 220 210 200 … B商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 27. 在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． （1）【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________； （2）【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学2023—2024学年下学期八年级 第三次单元检测数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目；非选择题必须用黑色字迹的签字笔填写在答题卡，字体工整．在试卷上作答无效． 一、选择题（共15题，每题只有一个正确选项，每题2分，共30分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，近似轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有B选项； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能合并，原计算不正确； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 3. 三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；由勾股定理的逆定理及三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A.∵， ，可判断是直角三角形，故A不符合题意； B. ∵， ∴，即，可判断是直角三角形，故B不符合题意； C. ，即，可判断是直角三角形，故C不符合题意； D. ， ∵ ，不能判断是直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 4. 如果一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角和和外角和，根据题意列出方程求得边数，即可求得每个外角． 【详解】解：正多边形的内角和为，正多边形的外角和， ∵正多边形的内角和是其外角和的2倍， ∴， 解得， 则这个正多边形的每个外角为． 故选：C． 5. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示．关于志愿者服务时间的描述正确的是（　　） 时间/ 2 3 4 5 6 人数 1 3 2 3 1 A. 众数是6 B. 平均数是4 C. 中位数是3 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据众数、平均数、中位数、方差的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 这组数据中出现次数最多的是3和5，故众数是3和5，本选项错误，不符合题意； B. 这组数据的平均数是，本选项正确，符合题意； C. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第5位和第6位的是4和4，故这组数据的中位数是，本选项错误，不符合题意； D. 这组数据的方差是，本选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，菱形中，，过点作于点，并交于点，过点作于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、角平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即， 故选：D． 7. 如图是一块等腰三角形空地，已知点，分别是边，的中点，量得米，若用篱笆将空地隔开，则需要篱笆的长是（　　） A. 6米 B. 12米 C. 18米 D. 24米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．三角形中位线平行且等于底边的一半，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点，分别是边，的中点， ∴为的中位线， ∵米 ∴米． 故选：A． 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 9. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ，， ． 故选：D． 10. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的3倍 D. 扩大到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的x、y分别用替换，利用分式的性质约分后即可得到答案． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大到原来的3倍后变为， ∴变化后的分式的值是原来分式的3倍， 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（－3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　） A. －5和－4之间 B. －4和－3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点在负半轴，即可求得点的横坐标的范围． 【详解】解：∵点P坐标为（－3，2）， ∴ 根据题意 故选B 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理与无理数的估算是解题的关键． 12. 如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围． 【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即， h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度， 由勾股定理得，杯子的斜边长度，即， h的取值范围是， 故选：C． 13. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据题意画出图形，由三角形中位线定理以及矩形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形的对角线，点G，F，E，H分别为边，，，的中点， 在中， 分别为，的中点， ， ， 在中， 分别为，的中点， ， ， ， ， 为平行四边形， 又∵在中， 分别为，的中点， ， 又，， ， ∴四边形为矩形． 故选B． 14. 如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到C（2，），把C（2，）代入y＝kx+2得到y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3，求得B（0，2），A（3，0），于是得到结论． 【详解】解：∵点C的横坐标为2， ∴当x＝2时，y＝x＝， ∴C（2，）， 把C（2，）代入y＝kx+2得，k＝﹣， ∴y＝﹣x+2， 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3， ∴B（0，2），A（3，0）， ∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确； ②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确； ③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＜2，故③错误； ∵C（2，）， ∴方程组的解为，正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数． 15. 小明上午从家出发，外出散步，到图书馆看了一会儿书，再继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图所示的图象描述了小明在散步过程中离家的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系，则下列信息错误的是（ ） A. 小明看书用了 B. 小明一共走了 C. 小明回家的速度为 D. 上午小明在离家处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像、行程问题等知识点，正确从函数图像中获取所需信息成为解题的关键． 根据函数图象获得的信息逐项判定即可． 【详解】解：A.由图可得，小明看杂志用了分钟，故选项A不合题意; B.小明一共走了米，故选项B不合题意， C.小明回家的速度是米/分，故选项C不合题意， D.由，可得上午小明在离家800米处，故选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（共4题，每题2分，共8分） 16. 代数式有意义时，应满足的条件是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题中准确把二次根式有意义的条件与分式有意义条件结合是解题的关键． 【详解】解：由题可得， 解得：， 故答案为：． 17. 分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 在东京奥运会比赛前，有甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表，则这四人成绩最好且发挥最稳定的是______． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.4 9.4 9.2 9.2 方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.027 【答案】乙 【解析】 【分析】先比较这四人的平均数，再利用方差越小数据就越稳定性即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵甲和乙的平均数相等，且大于丙和丁的平均数，且， ∴这四人成绩最好且发挥最稳定的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了利用方差判断数据的稳定性，根据平均数相等时，方差越小这组数据越稳定来解决问题是解题的关键． 19. 将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点A的对应点为，与交于点D，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键；根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，求得，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：长方形中，， ， 由折叠的性质得，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共62分） 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内分式的加减，再计算分式的乘除，最后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】 ， 当时，原式． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在y轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点P的坐标． 【答案】（1）如图，由图可知． （2） 如图，点P即为所求点P的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出、、的对应点，，即可． （2）连接交y轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 22. 为了提高学生的消防安全意识，某校对七、八年级的学生进行了消防安全知识测试，并分别从各年级随机抽取名学生的成绩进行整理、分析，得到如下部分信息： 七、八年级测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 七年级测试成绩统计图 七年级学生的成绩在范围内具体为，，，，，，，，. 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）学校将成绩高于所在年级抽取成绩的平均分的学生评为优秀，请判断这次抽取的学生中，哪个年级的优秀学生多，并说明理由： （3）若该校七年级有名学生，八年级有名学生，请通过计算，估计本次七、八年级消防安全知识测试的平均成绩． 【答案】（1） （2）八年级的优秀学生多，理由： ∵七年级学生的成绩的平均数为，中位数是， ∴七年级学生多于一半的学生成绩低于平均数， 即七年级学生的成绩优秀的人数少于人， ∵八年级学生的成绩的平均数为，中位数是， ∴八年级学生多于一半的学生成绩高于平均数， 即八年级学生的成绩优秀的人数多于人， ∴八年级的优秀学生多； （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图、数据的分析和样本估计总体，从统计图得出信息并熟练的分析数据是解题关键． （1）从图中得出的人数，即可知中位数是第多少人，再结合的成绩即可得出； （2）分别结合各个年级的平均数和中位数分析每个年级优秀的人数即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：∵七年级抽取总人数为， ∴七年级成绩的中位数是成绩从小到大排列后的第和个数的平均数， ∵由图可知七年级成绩在范围内的有人， ∴成绩从小到大排列后的第和个数是从小到大排列后的第和个数， 即为和， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵该校七年级有名学生，八年级有名学生， ∴， ∴估计本次七、八年级消防安全知识测试的平均成绩为． 23. 观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… （1）请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵（是正整数且）， ∴ ； ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索： （1）观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即； （2）根据（1）的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论． 【小问1详解】 解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推可知； 【小问2详解】 略 24. 如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线． （1）求直线的表达式； （2）已知点A，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的坐标或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确点坐标，过点作轴于，结合点，易得，进而求得的值，结合即可确定的值，设点，则，根据三角形面积公式求得的值，即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为（）， ∵、点在直线上， ∴可有，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线交轴于， ∴令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， 过点作轴于，如下图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则， ∴， ∴，， ∴点的坐标为或． 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 某商场准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A商品的件数是用7500元采购B商品的件数的2倍，一件A商品的进价比一件B商品的进价多10元． （1）求一件A，B商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进A，B商品共250件进行试销，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于20件．A商品的售价与A商品销量之间的关系如下表所示： A型商品的销量（件） 0 5 10 15 20 … A型商品的售价（元/件） 240 230 220 210 200 … B商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 【答案】（1）160元，150元 （2）最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进230件 【解析】 【分析】（1）设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品件，建立不等式组，运用一次函数的性质解答即可． 本题考查了分式方程的应用，方案设计问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为元． 由题意：， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元． 【小问2详解】 设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品件， 由题意：， 解得，， 由表中数据可知，商品A的售价y与销量m是一次函数关系，可设为， 代入两组数据得：， 解得， ， 设总利润为w元，根据题意得，， ， 当时，w随m的增大而减小， ， 当时，w有最大值为， 答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进货230件． 27. 在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． （1）【问题发现】如图1，当点是的中点时，线段与的数量关系是________，与的位置关系是________； （2）【猜想论证】如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】若，其他条件不变，连接．当是等边三角形时，请直接写出的面积为________． 【答案】（1）， （2）成立， 理由如下， 如图所示，延长到，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）运用等腰直角三角形的判定和性质即可求解； （2）根据题意，延长，使得，可证，再根据三角形中位线的定理即可求解； （3）分类讨论，当点在下方时是等边三角形，作于；当点在上方时是等边三角形；根据等边三角形的性质，勾股定理等知识分别求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， 当点是中点时，，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形，，即点是的中点，是中线， ∵点是中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所述，点在下方，当是等边三角形时，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； 点在上方，当是等边三角形时，过点作于点， 同法可得，， ∴； 综上所述，的面积为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的方法，分类讨论思想等综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $