11.1.2 立方根（分层作业，6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第11章 数的开方 11.1.2 立方根（大题型提分练） 题型一 立方根的概念理解 1．下列说法：①负数没有立方根；②任意正数的平方根和立方根都是无理数；③0只有一个平方根；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．错误的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据立方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根和平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【详解】①负数有立方根，错误； ②任意正数的平方根和立方根不一定都是无理数，，错误； ③0平方根是0，正确； ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0或．错误； 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．64的立方根是 B．没有立方根 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据立方根、算术平方根的性质解答即可． 【详解】解：A、64的立方根是4，故错误，不合题意； B、的立方根是，有立方根，故错误，不合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：C． 3．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 4．绝对值是它本身的数是 ，平方和平方根都是它本身的数是 ，倒数是它本身的数是 ，相反数是它本身的数是 ． 【答案】 正数和0 0 0 【分析】本题考查了绝对值，倒数，相反数和平方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：绝对值是它本身的数是正数和0，平方和平方根都是它本身的数是0，倒数是它本身的数是，相反数是它本身的数是0． 故答案为：正数和0，0，，0． 5．下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 【答案】（1）一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2））①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3），； 【分析】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）通过将数进行四次方即可得到答案． 【详解】解：（1）类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根． （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）；（2）； 【点睛】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 题型二 求一个数的立方根 1．的立方根是（   ） A． B．4 C．16 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 2．若，则x的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，直接根据求立方根的方法得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．，则 【答案】1 【分析】本题考查了立方根的意义，根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，立方根的规律问题，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．已知一个正数a的两个平方根分别是、． (1)求x的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)4 (2)2 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用以及立方根的性质.解答此题的关键是要明确：一个正数的两个平方根互为相反数．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据正数a的两个平方根互为相反数列出方程，解方程即可； （2）由（1）中的值可求出a的值，代入求出值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， ， ∴， 的立方根是． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 1．两个实数，若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是（    ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义， 首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵n的立方根是， ∴， 把，代入， 所以的算术平方根是4． 故选：D． 2．如果，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】 本题考查已知一个数的立方根求这个数．根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故选C． 3．已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．依据立方根和算术平方根的定义得到和，然后再求得代数式的值，最后再求得的平方根即可． 【详解】解：因为的立方根是， 所以． 因为的算术平方根是5， 所以， 所以． 所以的平方根是． 故答案为：． 5．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求这个正数x的立方根； (2)求的平方根． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的计算方法． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a的值，然后再求出x，最后求出立方根即可； （2）根据（1）可求得，再求出，根据平方根的求法，即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则， ∴这个正数为， ∴这个正数的立方根为； （2）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 题型四 与立方根有关的规律计算 1、（2022春·七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当被开立方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位．由此即可得出答案． 【详解】A．=，由题意不能得出其近似值； B．，由题意不能得出其近似值； C．，由题意不能得出其近似值； D．≈－1.710×10－1=－0.1710． 故选D． 【点睛】本题考查了立方根的知识，并考查了学生的转化思想，需要利用已知数据来表示未知数据；也要掌握：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位． 2、（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位． 3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 【答案】（n为不小于2的整数） 【分析】分析被开方数的变换规律即可求得 【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点： ①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5， ②整数部分与分数部分的分母有下列关系：， 2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数） 故答案为：（n为不小于2的整数）． 【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键． 4．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（或互为相反数） (3)9 【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可； （2）观察规律若，则； （3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律， 若，则， 故答案为：（或a，b互为相反数）； （3）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键． 题型五 立方根的实际应用 1、地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据： 地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：） 地球仪A 地球仪B 已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义及性质即可求得答案．本题考查立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【详解】解：设地球仪的半径为， 则， 那么， ， 由表格数据可得， 则， 即它的半径约为， 故选：B． 2．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选C． 3．如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【详解】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故答案为：36． 4．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为：． 5．如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 【答案】(1)这个铁块的棱长为 (2)另一个小立方体铁块的棱长为 【分析】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）根据题意，得 铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）设另一个小立方体铁块的棱长为， 则． ∵， ∴． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 题型六 平方根与立方根的综合应用 1、（2023上·浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 2．（2023下·甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 【答案】B 【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值． 【详解】∵a是的平方根， ∴a=±2， ∵b是的立方根， ∴b=2， ∴a+b=2+2=4或a+b=-2+2=0． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键． 3．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ． 【答案】8 【分析】利用算术平方根、立方根的定义求出的值，代入进行计算即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根是， ，， 解得：，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 4．（2023秋·全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 1．如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 2．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 3．已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，那么a的立方根是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，以及立方根，掌握方程的解满足方程是解题的关键．把方程的解代入二元一次方程可得到关于a的方程，算出a的值，进而得到a的立方根． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解， ， 解得， a的立方根是， 故选：B． 4．如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 是关于的方程的解的立方根， 是此方程的解， ， 解得． 故选：A 5．的平方根是x，的立方根是y，则的值为（   ） A．2 B．0 C．0或 D．2或 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，4的平方根为，即， ， 当，时，， 当，时，， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 6．的绝对值是 ；16的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的计算、实数的绝对值，掌握算术平方根和立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 16的算术平方根是， 的立方根是， 故答案为：；；． 7．的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值，立方根．熟练掌握立方根是解题的关键．根据的立方根为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，的立方根为， 故答案为：2． 8．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 9．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是，求这个正整数．华罗庚脱口而出：．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，，可以确定是两位数；②由，，可知，的十位数字是；③考虑到至的立方中，只有的立方个位数字是，所以确定的个位数字是，所以．请你根据上述步骤求出的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可．理解题干中的解题方法是解题的关键． 【详解】解：设的立方根是， ∵，， ∴可以确定是两位数， ∵，，， ∴的十位数字是， ∵至的立方中，个位数字为的只有的立方， ∴确定的个位数字是，即． 故答案为：． 10．已知聪明的同学你能不用计算器得出（1） ．（2） ． 【答案】 【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先化简绝对值、求算术平方根、立方根再合并即可． 【详解】解：原式 ． 12．已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根是 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值； （2）结合平方根的定义以及（1）中所求，代入得出答案． 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的立方根是2， ∴， ∴ （2）由（1）可知，，，， ∴ ∴的平方根是． 13．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 【答案】(1)，16.1，1.67； (2)5 【分析】本题考查算术平方根、平方根，立方根，能熟练从表格中找到相关信息和掌握夹值法求平方根是解题的关键． （1）根据表格找到275.56对应的为16.6，因为平方根有两个，所以275.56的平方根是，同理计算，，即可解答； （2）根据夹值法求平方根，因为280在278.89和282.24之间，所以在167和168之间，则其整数部分为167，即，将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据表格，等于275.56时对应的为16.6， ∵的平方都等于275.56， ∴275.56的平方根是； 同理可得，， 故答案为：；；； （2）解：由． 故． 则， ∴125的立方根为：5． 15．观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 数的开方 11.1.2 立方根（大题型提分练） 题型一 立方根的概念理解 1．下列说法：①负数没有立方根；②任意正数的平方根和立方根都是无理数；③0只有一个平方根；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．错误的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．下列说法正确的是（   ） A．64的立方根是 B．没有立方根 C． D． 3．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 4．绝对值是它本身的数是 ，平方和平方根都是它本身的数是 ，倒数是它本身的数是 ，相反数是它本身的数是 ． 5．下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 题型二 求一个数的立方根 1．的立方根是（   ） A． B．4 C．16 D． 2．若，则x的值是（    ） A． B． C． D．3 3．，则 4．已知，，，则 ． 5．已知一个正数a的两个平方根分别是、． (1)求x的值； (2)求的立方根． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 1．两个实数，若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是（    ） A．16 B．8 C． D．4 2．如果，则（    ） A．4 B． C．8 D． 3．已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 4．已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 5．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求这个正数x的立方根； (2)求的平方根． 题型四 与立方根有关的规律计算 1、（2022春·七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 2、（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式： 用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数） 4．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 题型五 立方根的实际应用 1、地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据： 地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：） 地球仪A 地球仪B 已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（    ） A． B． C． D． 2．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 4．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 5．如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 题型六 平方根与立方根的综合应用 1、（2023上·浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 2．（2023下·甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 3．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ． 4．（2023秋·全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 1．如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 3．已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，那么a的立方根是（    ） A． B．2 C． D．4 4．如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 5．的平方根是x，的立方根是y，则的值为（   ） A．2 B．0 C．0或 D．2或 6．的绝对值是 ；16的算术平方根是 ；的立方根是 ． 7．的立方根是 ． 8．已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 9．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是，求这个正整数．华罗庚脱口而出：．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，，可以确定是两位数；②由，，可知，的十位数字是；③考虑到至的立方中，只有的立方个位数字是，所以确定的个位数字是，所以．请你根据上述步骤求出的立方根是 ． 10．已知聪明的同学你能不用计算器得出（1） ．（2） ． 11．计算：． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 13．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 14．根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 15．观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$