2.1 等式性质与不等式性质（7大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 知识点1 不等关系与不等式 1、不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 3、用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 知识点2 实数大小比较的依据 1、实数的特征 （1）任何实数的平方都不小于0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点3 等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点 4 不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 1、用不等式表示不等关系的步骤 （1）认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系； （2）找出体现不等关系的关键词，比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”，“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到． 2、比较大小的方法 （1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． （2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （3）平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意应用函数的有关性质． 3、利用不等式的性质求取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 题型一 用不等式（组）表示不等关系 【例1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式1-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【变式1-3】（23-24高一上·湖北襄阳·月考）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较大小 【例2】（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【变式2-2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【变式2-3】（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 题型三 作商法比较大小 【例3】（23-24高一上·北京·月考）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式3-1】（已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式3-2】（设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·山东泰安新泰·月考）设，比较与的大小 题型四 利用不等式的性质判断命题真假 【例4】（22-23高一上·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-1】（23-24高一上·上海·月考）如果，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·河南鹤壁·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 利用不等式的性质求取值范围 【例5】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 题型六 利用不等式的性质证明不等式 【例6】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式6-1】（23-24高一上·安徽皖北·月考）已知，，，求证： 【变式6-2】（23-24高一上·广西南宁·月考改编）设均为正数，且，证明：若，则： 【变式6-3】（23-24高一上·四川南充·月考改编）若，求证：. 题型七 糖水不等式及其应用 【例7】（23-24高一上·山东青岛·月考）（多选）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【变式7-1】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【变式7-2】（23-24高一上·河南·月考）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【变式7-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）阅读材料： (1)下侧图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加得越多，溶液越咸”这句话，用代替溶质，代替溶液，代替添加的溶质并证明. (2)结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质.解答问题：已知，，是三角形的三边，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式性质与不等式性质 知识点1 不等关系与不等式 1、不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 3、用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 知识点2 实数大小比较的依据 1、实数的特征 （1）任何实数的平方都不小于0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点3 等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点 4 不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 1、用不等式表示不等关系的步骤 （1）认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系； （2）找出体现不等关系的关键词，比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”，“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到． 2、比较大小的方法 （1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． （2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （3）平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意应用函数的有关性质． 3、利用不等式的性质求取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 题型一 用不等式（组）表示不等关系 【例1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错.故选：C 【变式1-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，，所以有.故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是 共5种不同的购买方式.故选：D 【变式1-3】（23-24高一上·湖北襄阳·月考）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板， 每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板， 每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以.故选：BC. 题型二 作差法比较大小 【例2】（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故.故选：D 【变式2-1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【答案】C 【解析】， ∵，为正数，且，，则， ∴，∴，故选：C 【变式2-2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】C 【解析】不妨设商品原价格为， 则方案甲两次降价后的价格为：； 方案乙两次降价后的价格为：； 方案丙两次降价后的价格为：. 所以，方案甲和方案乙两次降价后的价格相同； 又（因为，故不能取“”） 所以，方案丙两次降价后的价格最高.故选：C 【变式2-3】（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为， 乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济，故答案为：乙. 题型三 作商法比较大小 【例3】（23-24高一上·北京·月考）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又，. 故答案为：>. 【变式3-1】（已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 【变式3-2】（设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则. 故，当且仅当时，取等号，故选：D 【变式3-3】（23-24高一上·山东泰安新泰·月考）设，比较与的大小 【答案】 【解析】， ， ，. 题型四 利用不等式的性质判断命题真假 【例4】（22-23高一上·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，若，又，则，故A正确， 对于B，若，，满足，但是，故B错误， 对于C，若，则，故C错误， 对于D，若，，满足，但是，故D错误，故选：A． 【变式4-1】（23-24高一上·上海·月考）如果，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A、B：例如，满足，但，故A、B错误； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：因为，且，所以，故D正确；故选：D. 【变式4-2】（23-24高一下·河南鹤壁·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误.故选：B. 【变式4-3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误.故选：ABC 题型五 利用不等式的性质求取值范围 【例5】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确；故选：ACD. 【变式5-1】（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则，又，所以.故选：C 【变式5-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 又所以，即， 所以的取值范围是.故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为.故选：A. 题型六 利用不等式的性质证明不等式 【例6】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）， 因为，， 所以，所以，所以； （2）， 因为，， 所以，所以， 所以，即. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽皖北·月考）已知，，，求证： 【答案】证明见解析 【解析】∵，∴， 又∵，∴，即， ∴， 又∵，∴. 【变式6-2】（23-24高一上·广西南宁·月考改编）设均为正数，且，证明：若，则： 【答案】证明见解析 【解析】因为， 又因为，则为正数， 所以， 因此. 【变式6-3】（23-24高一上·四川南充·月考改编）若，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：， 题型七 糖水不等式及其应用 【例7】（23-24高一上·山东青岛·月考）（多选）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【解析】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC 【变式7-1】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【解析】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ，即， ，即. 【变式7-2】（23-24高一上·河南·月考）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 【变式7-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）阅读材料： (1)下侧图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加得越多，溶液越咸”这句话，用代替溶质，代替溶液，代替添加的溶质并证明. (2)结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质.解答问题：已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)(，)，证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意可得(，)， 证明：因为， 又、、且，所以，， 所以，即，所以. （2）因为，，是三角形的三边， 则，，， 所以，，， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$