第三章 函数逇概念及性质 章末总结及测试-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念及性质 章末总结及测试 考点一 函数的定义域 1.（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24 黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 考点二 函数的解析式 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 2．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)已知为二次函数，且，求； (5)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 考点三 函数的值域或最值 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23 河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 5．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 函数的单调性 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24 黑龙江牡丹江·期末）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的单调增区间是 ． 7．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 考点五 函数的奇偶性 1．（22-23高一上·广东湛江·期中）（多选）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西北海·期末）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（23-24 山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设是定义在R上的奇函数．当时，，则时， ． 考点六 幂函数 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 2 ．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）（多选）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域是 D．为偶函数 3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（    ） A．当时，在是单调递减 B．当时，在是单调递减 C．当时，是偶函数 D．当时，是偶函数 4．（23-24高一上·山东滨州·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．函数是偶函数 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数为偶函数 D．函数的值域为 考点七 函数的应用 1．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 2．（22-23 山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．（22-23高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 4．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 5．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 考点八 抽象函数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 2．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）二次函数在上最大值为1，则实数a值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 二、多选题 9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 11．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．有四个函数解析式：①；②；③；④，其中能够被用来构造“同族函数”的是 ． 13．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·假期作业）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 16．（23-24高二下·河北·期末）已知幂函数为偶函数，且函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数恒成立，求的取值范围. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 18．（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知偶函数. (1)求的表达式； (2)设函数，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 19．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念及性质 章末总结及测试 考点一 函数的定义域 1.（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 2．（23-24 黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得函数的定义域为，可知， 即的定义域为， 所以需满足，解得， 即的定义域为. 故选：D 4．（23-24 江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以故答案为：. 考点二 函数的解析式 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【解析】（1）因为， 所以． （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或． （4）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，． 2．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)已知为二次函数，且，求； (5)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【解析】（1）因为， 所以. （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以. 解法二（配凑法）：， 因为，所以. （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或. （4）设， 则， 所以，解得， 所以. （5）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，. 考点三 函数的值域或最值 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为，所以的值域为，即，故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以．故选：C. 3．（22-23 河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【解析】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 5．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知当时，，故要使函数的值域为， 需满足，解得，故的取值范围是，选：D 考点四 函数的单调性 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增， 当，即时，需满足，解得，所以； 当，即时，需满足，即，解得，又，所以, 综上，实数的取值范围为.故选：B 3．（23-24 黑龙江牡丹江·期末）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得．故选：A． 4．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线， 其对称轴左侧的图象是下降的， ∴，故， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【解析】的对称轴为，因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为.故答案为： 7．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】】当时，， 作出函数的图象，如图（1）所示，可得函数在上单调递增，满足题意； 当时，，由二次函数的性质，可得函数在上单调递增，满足题意； 当时，， 作出函数的图象，如图（2）所示， 要使得在上单调递增，则满足或，解得或， 综上所述，的取值范围是.故答案为：. 考点五 函数的奇偶性 1．（22-23高一上·广东湛江·期中）（多选）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A.因为的定义域为， 且，A正确； B.因为的定义域为R， 且 ，B正确 C.因为的定义域为， 设，则，所以，则， 同理当时，，所以函数是奇函数，C正确； D.由，即，解得 , 所以函数的定义域是 ，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：ABC 2．（23-24高二下·广西北海·期末）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】设，则，即，即 所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以， 故选： A. 3．（23-24 山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增. 则，即，解得，或， 故选：D. 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】由题设，函数的定义域关于原点对称，即，解得或， 故答案为：或. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的图象的对称轴为，且开口向上， 所以在上严格增，且在R上是偶函数， 所以，两边平方得，所以.故答案为： 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设是定义在R上的奇函数．当时，，则时， ． 【答案】 【解析】因为是奇函数，时．所以，所以． 所以时，故答案为：． 考点六 幂函数 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【解析】设，由的图象经过点，得，解得，所以. 选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确； 选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确； 选项D，由在上是增函数，D正确. 故选：BCD. 2 ．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）（多选）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域是 D．为偶函数 【答案】BC 【解析】由幂函数， 则，即， 且，解得， ，则A错误，B正确； 的定义域为，故C正确，D错误. 故选：BC. 3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（    ） A．当时，在是单调递减 B．当时，在是单调递减 C．当时，是偶函数 D．当时，是偶函数 【答案】AD 【解析】对于A，当时，在单调递增， 且注意到，且定义域关于原点对称，即是偶函数， 所以在是单调递减，故A正确； 对于B，当时，在单调递增， 且注意到，且定义域关于原点对称，即是奇函数， 所以在是单调递增，故B错误； 对于C，当时，定义域为，它为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，当时，定义域为， 且 ，所以此时是偶函数，故D正确. 故选：AD. 4．（23-24高一上·山东滨州·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】设幂函数，由于图象经过点，所以，即，所以， 故在定义域,上单调递增，B正确； 为非奇非偶函数，A不符合题意； 当，解得，故C正确； 当时， ， 故，即成立，D正确． 故选：BD 5．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意知，，即，得，所以. A：，所以函数的定义域为，故A错误； B：由，知函数的值域为，故B正确； C：由，得且，即，故C正确； D：易知函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数，故D正确. 故选：BCD 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数为偶函数 D．函数的值域为 【答案】ACD 【解析】将代入函数中，可得，解得，故，即A正确， 易知，故的定义域为，故B错误， 对于，故函数为偶函数，即C正确， 任取， ，使，必有， 故在单调递减，由偶函数性质得在单调递增，故当时，，当时，，故函数的值域为，故D正确， 故选：ACD 考点七 函数的应用 1．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】BCD 【解析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交， ∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误； 甲车的速度为240÷4＝60（km/h）， 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h）， ∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h）， ∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确； ∵80×（4﹣3.5）＝40（km）， ∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确； 故选：BCD 2．（22-23 山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【解析】（1）当时，， 当时,， 所以. （2）当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 3．（22-23高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 【解析】（1）由题可知，， 所以； （2）当时，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以当时，取得最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 因为， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 4．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1); (2)100（百辆），2300万元. 【解析】（1）由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，； 当时，, 当且仅当， 即时取得等号； 综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元． 5．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元． 【解析】（1）由题知，当时，，代入得． ． 将代入得． 所以，所求函数为． （2）由（1）知，． 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时取等号． 所以． 故月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元． 考点八 抽象函数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由对任意，总有， 令，则，则， 又由，得， 则， （2）令，则， 则有，故，则是奇函数 （3）设任意，， 则， 又，则，则， 则在上单调递减. 2．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【解析】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为的定义域为， 所以有， 即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得， 即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ， 解得，即不等式的解集为． 4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【解析】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得且，解得且， 故的定义域为. 故选：B 3．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 4．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据幂函数的性质可知：为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数， 故A正确，BD错误， 且为偶函数，所以为非奇非偶函数，C错误； 故选：A． 5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故， 当时，有，解得或，即，或； 当时，，解得，即； 综上，不等式的解集是； 故选：B． 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）二次函数在上最大值为1，则实数a值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】，则图像开口向上，对称轴为直线. 当时，即，时有最大值1,即，解得； 当时，即，时有最大值1,即，得； 故或. 故选：D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】因为， 对于①：令，可得，故①正确； 对于②：令，可得，解得； ③令，可得，解得，故③错误； 对于④：令，可得， 且的定义域为，所以是奇函数，故④正确. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在上单调递增； 选项C，记，则，函数在上不是单调递增函数； 选项D，函数是奇函数，在上单调递增. 故选：BD 10．（23-24高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【答案】AC 【解析】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 11．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】A选项，对于，令，则，则， 所以，即的定义域为，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．有四个函数解析式：①；②；③；④，其中能够被用来构造“同族函数”的是 ． 【答案】①②④ 【解析】由①②图象关于y轴对称可知，“能够被用来构造同族”函数， ③在定义域内任意一个x值都有唯一y值于之对应，故不可构造函数， ④，与，的值域都为，是同族函数． 故答案为：①②④. 13．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 【答案】或4 【解析】因为函数， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，a的值是或4． 故答案为：或4. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·假期作业）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 16．（23-24高二下·河北·期末）已知幂函数为偶函数，且函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【解析】（1）由为幂函数，得，解得或. 因为为偶函数，所以， 则. 由，可得，令， 则， 所以. （2）由，可得， 故，， 令，则， 当且仅当1，即时，等号成立， 所以，即，所以的取值范围为. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析，增区间为，减区间为． 【解析】（1）当时， ， 当时， ， 所以； （2）作出函数的图像如下图所示：    由图可知，函数的增区间为，减区间为． 18．（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知偶函数. (1)求的表达式； (2)设函数，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，，且为偶函数 故， 即. （2）当，， 由对勾函数可知，时，，故此时， 当，， 且为偶函数，故当，， 函数，, 当，， 此时对任意的，总存在，使显然不成立； 当，， 若对任意的，总存在，使成立， 则，即，解得； 当，， 若对任意的，总存在，使成立， 则，即，解得； 综上，实数的取值范围是. 19．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【解析】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$