3.3 幂函数 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 知识点一 幂函数的判断 【解题思路】幂函数的判断及应用 1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足： ①指数为常数 ②底数为自变量， ③xα的系数为1 2.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024湖北）给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二 幂函数的单调性与奇偶性 【解题思路】1.幂函数单调性的判断 2.幂函数的奇偶性 【例2-1】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 【例2-3】（23-24 山东德州·期末）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-4】（23-24浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】 1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 知识点三 比较幂值的大小 【解题思路】比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例3-1】（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（22-23高一·全国·课堂例题）比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式】 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·全国·期中）若，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 知识点四 幂函数的综合运用 【解题思路】1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【例4-1】（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【例4-2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数. (1)求的值； (2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【变式】 1．（2024湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 2．（2024陕西）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 3．（2023山东）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 1． 单选题 1．（22-23 湖北省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．（2024山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 3．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，函数的图象是一条直线； ④幂函数当是增函数； ⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少. A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 5．（22-23高三上·黑龙江·开学考试）下列关于幂函数的命题中正确的有（    ） A．幂函数图象都通过点 B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限 C．当幂指数时，幂函数是增函数 D．若，则函数图象不通过点 6．（2024湖南）已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 7．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024深圳 ）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 10．（2024江苏苏州·阶段练习）下列函数f(x)中，满足对任意有的是（    ） A． B． C． D．f(x)=|x-1| 11．（23-24高二下·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 3． 填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 14．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 4． 解答题 15．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 16．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 17．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求实数m的值； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增． 18．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·福建三明·期中）已知幂函数，函数. (1)若，判断函数的奇偶性，并证明； (2)若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 幂函数 知识点一 幂函数的判断 【解题思路】幂函数的判断及应用 1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足： ①指数为常数 ②底数为自变量， ③xα的系数为1 2.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确故选：D. 【变式】 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C. 3．（2024陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B 4．（2024湖北）给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数， 则可知①和④是幂函数.故选；B. 知识点二 幂函数的单调性与奇偶性 【解题思路】1.幂函数单调性的判断 2.幂函数的奇偶性 【例2-1】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式，即，解得或， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为. 故选：A. 【例2-2】（23-24辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数在第一象限内单调递减，可得， 则，所以.故选：. 【例2-3】（23-24 山东德州·期末）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为为幂函数，且在上是减函数， 所以，解得， 因为当或时，不一定等于， 而当时，或成立， 所以“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：B 【例2-4】（23-24浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以.故选：A 【变式】 1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【解析】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是减函数，则，即， 所以，此时，易知其为偶函数，符合题意. 故选：B. 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 【答案】AC 【解析】，A正确； 当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 当时，的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，C正确； 当时，的值域为，D错误. 故选：AC 知识点三 比较幂值的大小 【解题思路】比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例3-1】（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 【例3-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【例3-3】（22-23高一·全国·课堂例题）比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以． 【变式】 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递增，则可知，由单调递增， 又，可得所以．故选：C． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，又在第一象限内是增函数，， 所以，即.故选：D. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在上单调递增，又因为，所以， 所以.故选：C. 4．（22-23高一上·全国·期中）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由在上单调递增，故，解得.故答案为： 5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】由函数为幂函数得，解得或，又 函数在上是减函数，则，即，所以，所以； 所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：. 知识点四 幂函数的综合运用 【解题思路】1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【例4-1】（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得； （2）由（1）可知，定义域为，且， 所以是上的单调递增函数， 又因为， 所以，解得， 所以的取值范围是. 【例4-2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数. (1)求的值； (2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)2或3(2)(3) 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或3. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以或3； （2）由（1）知，当时，，则，为奇函数； 当时，，则，为偶函数， 所以的解析式为； （3）由（2）知，，则，对称轴为， 又函数在上不是单调函数， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 【变式】 1．（2024湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：令，则， 则， 故． （2）解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 2．（2024陕西）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【解析】（1）为幂函数，∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的，，∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即，，∴a＝0，b＝1． 3．（2023山东）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2） 【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 1． 单选题 1．（22-23 湖北省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，解得即函数的定义域为， 因为函数在定义域内是单调递增函数，要求函数的单调递减区间， 即求函数在上的单调减区间由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为 故选：A. 2．（2024山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得， 将点代入函数得，解得， 所以，故①错误； 对于②：因为定义域为R，且， 所以为奇函数，故②正确； 对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确； 对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误， 综上可知，②③正确，①④错误. 故选：B. 3．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在上单调递增，值域为，由，则，又， 所以.故选：D 4．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，函数的图象是一条直线； ④幂函数当是增函数； ⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少. A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 【答案】D 【解析】对于①，当时，幂函数的图象不过原点，①错； 对于②，因为幂函数在第一象限有图象，若幂函数在第四象限有图象， 则存在，使得有两个值与之对应，与函数的定义矛盾， 故幂函数在第四象限没有图象，②对； 对于③，当时，对于函数，则， 且当时，，即幂函数的图象为两条射线，③错； 对于④，当时，在上为减函数，在上为增函数，④错； 对于⑤，当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少，⑤对. 故选：D. 5．（22-23高三上·黑龙江·开学考试）下列关于幂函数的命题中正确的有（    ） A．幂函数图象都通过点 B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限 C．当幂指数时，幂函数是增函数 D．若，则函数图象不通过点 【答案】B 【解析】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误； 对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数， 图象都经过第一、三象限，故B正确； 对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误； 对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误， 故选：B 6．（2024湖南）已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为函数在上是增函数，所以，解得， 又，所以.故选：C 7．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 8．（2024深圳 ）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 2． 多选题 9．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 【答案】AB 【解析】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错； B：根据幂函数定义也是幂函数，错； C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对； D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对. 故选：AB 10．（2024江苏苏州·阶段练习）下列函数f(x)中，满足对任意有的是（    ） A． B． C． D．f(x)=|x-1| 【答案】ABD 【解析】 对任意有， 则函数在区间上为增函数， 对于A，，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选； 对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B可选； 对于C，，函数在区间上为减函数，故C不选； 对于D， ，显然函数在区间上为增函数，故D可选； 故选：ABD 11．（23-24高二下·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】BC 【解析】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. 3． 填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【解析】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】构造函数，该函数的定义域为， 且，即函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 所以，函数为上的增函数， 由可得，可得，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 4． 解答题 15．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【解析】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 16．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以. （2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以x的取值范围是. （3）解：由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围为. 17．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求实数m的值； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得， 综上所述，． （2）由（1）可知，，则， 任取，且， 则 ， 因为，所以，，则，， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． 18．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为是幂函数， 所以有，或， 当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意； 当时，在区间上是单调递增，符合题意， 所以， 因为函数是定义域为R的奇函数，则， 所以当时， 因此的解析式为：； （2）因为时，， 所以由，又， 所以， 所以不等式的解集为； （3）当时，，此时函数单调递增，且， 当时，，此时函数单调递增，且，而， 因此奇函数是R上的增函数，于是由 恒成立， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 19．（23-24高一上·福建三明·期中）已知幂函数，函数. (1)若，判断函数的奇偶性，并证明； (2)若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）解：函数是定义域上的奇函数 证明：由函数，可得，解得，故， 所以，定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数是定义域上的奇函数. （2）解：由，解得或， 当时，可得在上为单调递减函数，不符合题意； 当时，可得在上为单调递增函数，符合题意，故， 此时，可得其对称轴为， 当时，函数在单调递减，； 当时，函数在单调递减，在单调递增，； 当时，函数在单调递增，， 综上所述，当时，； 当时，；当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$