第七讲 圆的定义和垂径定理 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

圆的定义和垂径定理 【同步知识梳理】 如图1，观察下列图形，从中找出共同特点． 图1 如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 图2 1、 基本概念： 1. 圆的概念：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；固定端点O是圆心；线段OA是圆的半径；以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O” 2. 同心圆、等圆： 圆心相同，半径不同 半径相同，圆心不同 注：确定一个圆的两个要素: 一 是圆心，二 是半径． 如右图，你能说出弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的定义吗？ 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 4.直径：经过圆心的弦叫作直径； 5.弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 6.弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”； 等弧：在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． 7.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆； 8.优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如； 9.劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧. 想一想：判断下列说法的正误： （1）弦是直径； （ ） （2）半圆是弧； （ ） （3）过圆心的线段是直径；（ ） （4）半圆是最长的弧；（ ） （5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（ ） （6）半径相等的两个半圆是等弧．（ ） ×√×××√ 二：垂径定理 1.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距. 想一想：1.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 由此可以发现： ．（圆的对称性） 2.按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，沿着垂线折叠得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？（垂径定理) 由此可以得知：垂直于弦的直径的性质： （1） （2） 做一做：1.如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径． 图3 2.如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法． 图4 【精题精练精讲】 题型一：圆的定义 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 3．如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】连接，，交于点，证明，即可求证， 【详解】证明：连接，，交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴，，，四点在以为圆心，以长为半径的同一个圆上． 题型二：与圆的相关概念 1．如图，图中 是直径， 是弦，以为端点的劣弧有 ，以为端点的优弧有 ．    【答案】；，，；，，，，；，，， 2．下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以①正确； ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．所以②正确； ③半径相等的两个圆是等圆；正确； ④能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以④错误； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，所以⑤正确； ∴符合题意的是①②③⑤，共4个． 故选：D． 3．下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 【答案】B 【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意； B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意； D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 4．下列结论正确的有（　　） ①劣弧一定比优弧短．②面积相等的两个圆是等圆．③过圆心的直线是圆的直径．④圆上任意两点间的部分是圆的弦．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①劣弧一定比优弧短是错误的，要在同圆或者等圆中才是劣弧一定比优弧短； ②面积相等的两个圆是等圆是正确的，因为，面积相等的两个圆的半径也相等； ③过圆心的直线是圆的直径是错误的，如果过圆心的线段的两个端点不在圆上，那么这条线段就不是圆的直径； ④圆上任意两点间的部分是圆的弦是错误的，而是圆上任意两点间的部分是圆的弧． 故选：A． 5．有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，符合题意； ②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，原说法正确，符合题意． 故选：C． 题型三：圆中角度的计算 1．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于_________ 【答案】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 2．已知为的直径，弦与的延长线交于⊙O外一点C，且，，求的度数为___________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，则 ． 【答案】15度 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于______      【答案】解：    连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ， ∴， ∴， 题型四：圆中弦的问题 1．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 2．若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：的半径为3， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 3．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【详解】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条. 故选：A. 题型五：垂径定理 1．如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 连接， 的直径， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 2．如图，中，弦，已知的半径为，，，那么与间的距离是 ． 【答案】7 【详解】过O点作OM⊥AB于M点，延长MO交CD于点N，连接AO、CO，如图， ∵，OM⊥AB， ∴OM⊥CD，即ON⊥CD， ∴AM=MB=AB，CN=ND=CD， ∵AB=6，CD=8， ∴AM=3，CN=4， ∵⊙O的半径为5， ∴AO=CO=5， ∵OM⊥AB，即ON⊥CD， ∴在Rt△AMO和Rt△COD中，利用勾股定理可求得MO=4，NO=3， ∵MN⊥AB，， ∴AB与CD的距离即为线段MN的长， ∴MN=OM+ON=4+3=7， 故答案为：7． 3．如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦与大圆的弦在同一条直线上，你认为与的大小有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析． 【详解】解：．理由如下： 如图，过点作的垂线，垂足为， ，， ， ． 4．如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 题型六：垂径定理中的最值问题 1．半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ． 【答案】 6 10 【详解】解：如图，在直径上，于点P， 过点的最短的弦是垂直于的弦，即的长 ，， 由勾股定理得：， ， 过点的最短的弦长是6； 过点的最长的弦是直径，即的长， ，． 过点的最长的弦长是10， 故答案为：6；10．    2．如图，在中，弦，点C在上移动，连结，过点C作交⊙O于点D，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵为⊙O的半径，， ∴， ∵为半径是定值， ∴最大，最小， ∴当时，最小，此时D与B（或A）重合， 由垂径定理可得，CD的最大值是， 故答案为：． 3.已知点p是半径为5的内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条 。 答案：4 题型七：垂径定理的实际应用 1．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为_________ 【答案】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 设圆的半径为，则 ∴ ∴ 解之：． ∴圆的直径为． 2．一条公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．已知，，那么这段弯道的半径为 ．    【答案】 【详解】 解：连接， 是的中点，与相交于点， ， ， ， 设，则， ， ， 在中， ， ， 解得． 故答案为：． 3．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）． 【答案】(1) (2)这座石拱桥主桥拱半径约为 【详解】（1）解：∵半径， ∴． 故答案为：． （2）设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 因此，这座石拱桥主桥拱半径约为． 4．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： (1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 【答案】(1)桥拱的半径为50米；(2)水面上涨的高度为10米． 【详解】（1）解：如图1， 设圆的半径是r， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 【能力拓展训练】 1．如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），，垂足分别为C，D，则CD的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接AB，如图， ∵OA=OB=1，∠AOB=90°， ∴AB=OA=， ∵OC⊥AP，OD⊥BP， ∴AC=PC，BD=PD， ∴CD为△PAB的中位线， ∴CD=AB=． 故答案为：． 2．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ． 【答案】. 【详解】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1， 可见，AP1+EP1＞AE， 即AP2是AP的最小值， ∵AE=，P2E=1， ∴AP2=. 故答案为：. 3．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图像被截得的弦的长为，则a的值是________ 【答案】解：作轴于C，交于D，作于E，连接，如图， ∵的圆心坐标是， ∴， 把代入得， ∴D点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【课后知识应用】 1．如图，若点为的圆心，则线段 是圆的半径；线段 是圆的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆．    【答案】 或或 或或 直径 【详解】解：如图，若点为的圆心， 则线段或或是圆的半径； 线段或或是圆的弦，其中最长的弦是直径； 或是劣弧；是半圆． 故答案为：或或；或或；直径；；； 2．有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定，还要确定圆心位置，故①错误， 直径是弦，故②正确， 弦不一定是直径，故③错误， 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故④正确， 圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，故⑤错误， 综上所述：①③⑤的说法是错误的．共3个， 故选：C． 3．下列语句中正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：A、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误． B、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误． C、对称轴是直线，而直径是线段，故错误． D、正确． 故选：A． 4．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 【答案】 【详解】解：连接，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是________ 【答案】∵圆中最长的弦为直径， ∴． 6．如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为 ． 【答案】 【详解】 解：过点P作于点A，如图所示： ∴， ∵以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的与平行于y轴的直线交于两点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设, 则PM=OP=a, ∵点M的坐标是， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为：． 故答案为：． 7．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸． 【答案】26 【详解】解：如图，连接， 则， 设寸，则寸，寸， ∵是的直径，弦于点，寸， 寸， 在中，，即， 解得， 则寸， 故答案为：26． 8．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该输水管的半径为 【答案】 【详解】解：如图，作于，连接， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 该输水管的半径为， 故答案为：． 9．的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 【答案】7cm或17cm． 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，CF＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝12−5＝7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，CF＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝OF＋OE＝17cm． ∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 10．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． (1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径； (2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】(1)拱桥所在的圆的半径 (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【详解】（1）如图，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接， 设半径为，则， 由垂径定理可知， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理可得，， 即， 解得， ∴拱桥所在的圆的半径； （2）∵， ∴ 在中，由勾股定理可得， ， ∴， ∴不需要采取紧急措施． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的定义和垂径定理 【同步知识梳理】 如图1，观察下列图形，从中找出共同特点． 图1 如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 图2 1、 基本概念： 1. 圆的概念：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；固定端点O是圆心；线段OA是圆的半径；以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O” 2. 同心圆、等圆： 圆心相同，半径不同 半径相同，圆心不同 注：确定一个圆的两个要素: 一 是圆心，二 是半径． 如右图，你能说出弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的定义吗？ 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 4.直径：经过圆心的弦叫作直径； 5.弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 6.弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”； 等弧：在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． 7.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆； 8.优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如； 9.劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧. 想一想：判断下列说法的正误： （1）弦是直径； （ ） （2）半圆是弧； （ ） （3）过圆心的线段是直径；（ ） （4）半圆是最长的弧；（ ） （5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（ ） （6）半径相等的两个半圆是等弧．（ ） 二：垂径定理 1.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距. 想一想：1.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 由此可以发现： ．（圆的对称性） 2.按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，沿着垂线折叠得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？（垂径定理) 由此可以得知：垂直于弦的直径的性质： （1） （2） 做一做：1.如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径． 图3 2.如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法． 图4 【精题精练精讲】 题型一：圆的定义 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 3．如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上． 题型二：与圆的相关概念 1．如图，图中 是直径， 是弦，以为端点的劣弧有 ，以为端点的优弧有 ．    2．下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 4．下列结论正确的有（　　） ①劣弧一定比优弧短．②面积相等的两个圆是等圆．③过圆心的直线是圆的直径．④圆上任意两点间的部分是圆的弦．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：圆中角度的计算 1．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于_________ 2．已知为的直径，弦与的延长线交于⊙O外一点C，且，，求的度数为___________． 3．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 5．如图，在中，，则 ． 6．如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于______      题型四：圆中弦的问题 1．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 3．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型五：垂径定理 1．如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为 ． 2．如图，中，弦，已知的半径为，，，那么与间的距离是 ． 3．如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦与大圆的弦在同一条直线上，你认为与的大小有什么关系？为什么？ 4．如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为 ． 题型六：垂径定理中的最值问题 1．半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ． 2．如图，在中，弦，点C在上移动，连结，过点C作交⊙O于点D，则的最大值为 ． 3.已知点p是半径为5的内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条 。 题型七：垂径定理的实际应用 1．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为_________ 2．一条公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．已知，，那么这段弯道的半径为 ．    3．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）． 4．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： (1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 【能力拓展训练】 1．如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），，垂足分别为C，D，则CD的长为 ． 2．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图像被截得的弦的长为，则a的值是________ 【课后知识应用】 1．如图，若点为的圆心，则线段 是圆的半径；线段 是圆的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆．    2．有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列语句中正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 5． 、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是________ 6．如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为 ． 7．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸． 8．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该输水管的半径为 9．的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 10．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． (1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径； (2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 学科网（北京）股份有限公司 $$