第2章有理数（利用绝对值求最值）（暑期小升初衔接）2024-2025学年苏科版数学七年级上册

2024-2025学年苏科版数学七年级上册 第2章有理数 （利用绝对值求最值） （暑期小升初衔接） 【典型例题】 【例1】计算的最小值（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】式子的最小值为 ___________． 【例3】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题： (1) 数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是　 　； (2) 数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为　 　； (3) 若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【例4】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 　 　． （3）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． （4）对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 【举一反三】 【变式1】已知|x﹣1|＝3，|y|＝2．则x﹣y的最大值是 　 　． 【变式2】整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|＝2023，其中|a|＞1且abc＞1，则a+b+c的最小值是 　 　． 【变式3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【变式4】 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【巩固练习】 1.已知 是正实数，则 的最小值是（     ） A． B． C． D． 2.已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④当时，式子有最小值，其中正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3. 式子5－｜a＋b｜的最大值是_______，当它取最大值时，a与b的关系是______. 4.当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　，最小值是　 　． 5.实数a，b满足，则的最小值为　 　. 6.已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____． 7.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：|x+1|+|x+a|+|x﹣2|的最小值是5，则a＝　 　． 8.数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值＝　　　． 9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　　；表示﹣2和1两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝　　； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　　，最小距离是　　． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　　． （5）当a＝ 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　． 10.【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ； (4)的最小值为 ； 【解决问题】 (5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$