汇编08 一元二次方程及应用2022-2024年中考数学试题汇编（湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编08《一元二次方程及应用》 湖南专版 知识点1 一元二次方程的相关概念及解法 一、填空题 1．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　 ； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　 个． 知识点2 一元二次方程根的判别式 一、选择题 1．【2022•怀化】下列一元二次方程有实数解的是　　 A． B． C． D． 二、填空题 2.（2022•岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 3. （2022•长沙）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________． 4．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　 ． 5．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 ． 三、解答题 6.（2022 •张家界）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． 求抛物线的函数表达式及点的坐标； 若四边形为矩形，点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； 抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图象上的动点．若过点的直线：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 知识点3 一元二次方程根与系数的关系 一、填空题 1. （2022•娄底）已知实数是方程的两根，则______． 2．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　　． 知识点4 一元二次方程的应用 1.（2022•湘潭） 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. （2022永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______． 二、解答题 1．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 2. （2024•长沙）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 2022-2024年中考数学真题知识点汇编08《一元二次方程及应用》解析 湖南专版 知识点1 一元二次方程的相关概念及解法 一、填空题 1．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　18　； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　7　个． 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【分析】①把m，x1＝9代入求值即可； ②由题意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，则4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三种情况讨论即可． 【解答】解：①把m，x1＝9时，（9﹣2）×（x2﹣2）＝4， 解得：x2＝18； 故答案为：18． ②当m，x1，x2为正整数时， （mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，m2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1， 而4＝1×4＝2×2＝4×1， ∴或或， ∴或或， 当时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2， 故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个； 当时，m＝1时，x1＝4，x2＝4；m＝2时，x1＝2，x2＝2，m＝4时，x1＝1，x2＝1， 故（x1，x2）为（4，4），（2，2），（1，1），共3个； 当时，m＝1时，x1＝6，x2＝3；m＝3时，x1＝2，x2＝1， 故（x1，x2）为（6，3），（2，1），共2个； 综上所述：共有2+3+2＝7个． 故答案为：7． 【点评】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 知识点2 一元二次方程根的判别式 一、选择题 1．【2022•怀化】下列一元二次方程有实数解的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．△，方程没有实数根；． △，方程没有实数根；．△， 方程有两个不相等的实数根；．△，方程没有实数根． 2、 填空题 2.（2022•岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【解析】解：根据题意得， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可． 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 2. （2022•长沙）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________． 【答案】 【解析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求解即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　a＜1　． 【考点】根的判别式． 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a＝4﹣4a＞0， 解得：a＜1， ∴a的取值范围是：a＜1． 故答案为：a＜1． 【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 4．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣1　． 【考点】根的判别式 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0， 解得a＞﹣1． 故答案为：a＞﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 三、解答题 5.（2022 张家界）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． 求抛物线的函数表达式及点的坐标； 若四边形为矩形，点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； 抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图象上的动点．若过点的直线：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 解：设二次函数表达式为：， 将、代入得： ， 解得，， 抛物线的函数表达式为：， 又，， 顶点为； 依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为． 当∽时， ， 解得； 当∽时， ， 解得； 综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似； 点关于点的对称点为点， ， 直线：与抛物线图象只有一个公共点， 只有一个实数解， ， 即：， 解得：， 利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立，结合已知， 解得：， 同理可得：， 则：，， ， 的值为．  【解析】 二次函数表达式可设为：，将、代入，解方程可得和的值，再利用顶点坐标公式可得点的坐标； 根据秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为分两种情形，当∽时，得，解得；当∽时，得，解得； 首先利用中点坐标公式可得点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，再根据直线：与抛物线图象只有一个公共点，联立两函数解析式，可得，再求出点和的横坐标，从而解决问题． 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题． 知识点3 一元二次方程根与系数的关系 一、填空题 1. （2022•娄底）已知实数是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解： 实数是方程的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键． 2．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　3　． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0， ∴m＞2． ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2， ∵x1+x2+x1•x2＝2， ∴﹣2m+m2﹣m+2＝2， 解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3， ∴实数m的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键． 知识点4 一元二次方程的应用 1、 填空题 1.（2022•湘潭） 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1， ∴大正方形的面积为5， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0， ∴a2+(a+1)2=5，其中a>0， 解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)， ===2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 2. （2022永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______． 【答案】3 【解析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1， 根据题意，设AF=DE=CH=BG=x， 则AE=x-1， 在Rt∆AED中， ， 即， 解得：x=4（负值已经舍去）， ∴x-1=3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 二、解答题 3．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 4. （2024•长沙）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】（1） （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 （3）存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【小问1详解】 将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． 【小问2详解】 此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． 【小问3详解】 因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$